山东省阳谷县二中2025年数学高二上期末综合测试试题含解析.doc

山东省阳谷县二中2025年数学高二上期末综合测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）
A.9 B.12
C.20 D.
2．在各项都为正数的数列中，首项为数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3．已知圆：，是直线的一点，过点作圆的切线，切点为，，则的最小值为（）
A. B.
C. D.
4．在正项等比数列中，，，则（ ）
A 27 B.64
C.81 D.256
5．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不仅是著名物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到的椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A B.
C. D.
6．过双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C.＋1 D.
7．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A.72元 B.300元
C.512元 D.816元
8．已知函数的部分图象与轴交于点，与轴的一个交点为，如图所示，则下列说法错误的是（）

A. B.的最小正周期为6
C.图象关于直线对称 D.在上单调递减
9．已知是椭圆右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）
A. B.
C. D.
10．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）
A. B.
C. D.
11．已知数列的首项为，且，若，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
12．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数.
（1）若的解集为，求a，b的值；
（2）若，a，b均正实数，求的最小值；
（3）若，当时，若不等式恒成立，求实数b的值.
14．在数列中，，，则数列中最大项的数值为
__________
15．已知的展开式中项的系数是，则正整数______________.
16．如图，在棱长为1的正方体中，点M为线段上的动点，下列四个结论：

①存在点M，使得直线AM与直线夹角为30°；
②存在点M，使得与平面夹角的正弦值为；
③存在点M，使得三棱锥体积为；
④存在点M，使得，其中为二面角的大小，为直线与直线AB所成的角
则上述结论正确的有______．（填上正确结论的序号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某初中学校响应“双减政策”，积极探索减负增质举措，优化作业布置，减少家庭作业时间．现为调查学生的家庭作业时间，随机抽取了名学生，记录他们每天完成家庭作业的时间（单位：分钟），将其分为，，，，，六组，其频率分布直方图如下图：

（1）求的值，并估计这名学生完成家庭作业时间的中位数（中位数结果保留一位小数）；
（2）现用分层抽样的方法从第三组和第五组中随机抽取名学生进行“双减政策”情况访谈，再从访谈的学生中选取名学生进行成绩跟踪，求被选作成绩跟踪的名学生中，第三组和第五组各有名的概率
18．（12分）已知圆.
（1）过点作圆的切线，求切线的方程；
（2）若直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
19．（12分）请分别确定满足下列条件的直线方程
（1）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2＝0垂直直线方程是
（2）求与直线3x-4y+7=0平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l的方程.
20．（12分）已知直线l过点，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点
（1）若的面积为，求直线l的方程；
（2）求的面积的最小值
21．（12分）已知曲线在处的切线方程为，且.
（1）求的解析式；
（2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
22．（10分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为5.
（1）求C的方程；
（2）过点的直线l交C于A，B两点，且N为线段的中点，求直线l的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
2、C
【解析】当时，，故可以得到，因为，进而得到，所以是等比数列，进而求出
【详解】由，得，得，
又数列各项均为正数，且，
∴，∴，即
∴数列是首项，公比的等比数列，其前项和，得，
故选：C.
3、A
【解析】根据题意，为四边形的面积的2倍，即，然后利用切线长定理，将问题转化为圆心到直线的距离求解.
【详解】圆：的圆心为，半径，
设四边形的面积为，
由题设及圆的切线性质得，，
∵，
∴，
圆心到直线的距离为，
∴的最小值为，
则的最小值为，
故选：A
4、C
【解析】根据等比数列的通项公式求出公比，进而求得答案.
【详解】设的公比为，则（负值舍去），所以.
故选：C.
5、C
【解析】由题意，设出椭圆的标准方程为，然后根据椭圆的离心率以及椭圆面积列出关于的方程组，求解方程组即可得答案
【详解】由题意，设椭圆的方程为，
由椭圆的离心率为，面积为，
∴，解得，
∴椭圆的方程为，
故选：C.
6、A
【解析】设F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用双曲线的定义求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.
【详解】不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，如图所示:

因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，
又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，
又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，
根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，
所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，
在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，
即a2＋4a2＝c2，所以e＝，
故选A.
【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率问题的有效方法.
7、D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价
【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元
故选：D
8、D
【解析】根据函数的图象求出，再利用函数的性质
结合周期公式逆推即可求解.
【详解】因为函数的图象与轴交于点，
所以，又，所以，A正确；
因为的图象与轴的一个交点为，即，
所以，又，解得，
所以，所以，
求得最小正周期为，B正确；
，所以是的一条对称轴，C正确；
令，解得，
所以函数在，上单调递减，D错误
故选：D.
9、A
【解析】结合椭圆的定义、勾股定理列方程，化简求得，由此求得离心率.
【详解】圆的圆心为，半径为.
设左焦点为，连接，
由于，
所以，所以，所以，
由于，所以，
所以，
，.
故选：A

10、D
【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.
【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为
故选：D.
【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
11、C
【解析】由题意，得到，利用叠加法求得，结合由，转化为恒成立，分，和三种情况讨论，即可求解.
【详解】因为，可得，所以，
所以，
各式相加可得，所以，
由，可得恒成立，整理得恒成立，
当时，，不等式可化为恒成立，所以；
当时，，不等式可化为恒成立；
当时，，不等式可化为恒成立，所以，
综上可得，实数的取值范围是.
故选：C.
12、C
【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.
【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、（1），；
（2）；
（3）.
【解析】（1）根据韦达定理解求得答案；
（2）根据题意，，进而化简，然后结合基本不等式解得答案；
（3）讨论，和x=2三种情况，进而分参转化为求函数的最值问题，最后求得答案.
【小问1详解】
由已知可知方程的两个根为，2，
由韦达定理得，，故，.
【小问2详解】
由题意得，，所以，当且仅当时取等号.
【小问3详解】
若，，不等式恒成立.
当时，，此时，
即对于恒成立，单调递减，
此时，，所以；
当时，，此时，即
即对于恒成立，在单调递减，此时，所以；
当x=2时，.
综上所述：.
14、
【解析】用累加法求出通项，再由通项表达式确定最大项.
【详解】当时，

，所以数列中最大项的数值为
故答案为:
15、4
【解析】由已知二项式可得展开式通项为，根据已知条件有，即可求出值.
详解】由题设，，
∴，则且为正整数，解得.
故答案为：4.
16、②③
【解析】对①：由连接，，由平面，即可判断；对③：设到平面的距离为，则，所以即可判断；对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用向量法求出与，比较大小即可判断；对②：设与平面夹角为，利用向量法求出，即可求解判断.
【详解】解：对①：连接，，在正方体中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①错误；
对③：设到平面的距离为，则，所以，故③正确；
对④：以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，

，，
设平面的法向量为，，，则，即，
取，，，又，1，是平面的一个法向量，
又二面角为锐二面角或直角，
所以，
，
，又，
，，故④错误
对②：由④的解析知，，，，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，
设与平面夹角为，令，即，又，解得或，故②正确.
故答案为：②③.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟
（2）
【解析】（1）由频率分布直方图频率之和为，建立方程求解即可；设中位数为，利用频率分布直方图中位数定义列出方程即可求解；
（2）频率分布直方图频率得到第三组和第五组的人数，从而列出所有样本点，再根据题意利用古典概率模型求解即可.
【小问1详解】
根据频率分布直方图可得：
，
解得．设中位数为，由题意得
，解得
所以这名学生完成家庭作业时间的中位数约为分钟
【小问2详解】
由频率分布直方图知，第三组和第五组的人数之比为，
所以分层抽样抽出的人中，第三组和第五组的人数分别为人和人，
第三组的名学生记为，，，，第五组的名学生记为，，
所以从名学生中抽取名的样本空间
，
共15个样本点，记事件“名中学生，第三组和第五组各名”
则，共有个样本点，
所以这名学生中，两组各有名的概率
18、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据直线与圆相切，求得切线的斜率，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）利用弦长公式，结合已知条件求得直线的斜率，即可求得直线方程.
【小问1详解】
圆，圆心，半径，
又点的坐标满足圆方程，故可得点在圆上，则切线斜率满足，
又，故满足题意的切线斜率，
则过点的切线方程为，即.
【小问2详解】
直线过点，若斜率不存在，此时直线的方程为，
将其代入可得或，
故直线截圆所得弦长为满足题意；
若斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，
由弦长公式可得：，解得，也即，解得，
则此时直线的方程为：.
综上所述，直线的方程为或.
19、（1）2x+y﹣2＝0
（2）3x-4y-12=0
【解析】（1）设与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，把（1，0）代入2x+y+m＝0，解得m即得解
（2）方法一：由题意知：可设l的方程为，求出l在x轴，y轴上的截距，由截距之和为1，解出m，代回求出直线方程；方法二：设直线方程为，由题意得，解出a，b即可.
【小问1详解】
设与直线x﹣2y﹣2＝0垂直的直线方程为2x+y+m＝0，
把（1，0）代入2x+y+m＝0，可得2+m＝0，解得m＝﹣2
所求直线方程为：2x+y﹣2＝0
【小问2详解】
方法一：由题意知：可设l的方程为，
则l在x轴，y轴上的截距分别为.
由知，.
所以直线l的方程为：.
方法二：显然直线在两坐标轴上截距不为0，则设直线方程为，
由题意得
解得
所以直线l的方程为：.
即.
20、（1）或
（2）4
【解析】（1）设直线方程为，根据所过的点及面积可得关于的方程组，求出解后可得直线方程，我们也可以设直线，利用面积求出后可得直线方程.
（2）结合（1）中直线方程的形式利用基本不等式可求面积的最小值.
【小问1详解】
法一：（1）设直线，则
解得或，所以直线或
法二：设直线，，则，
则，∴或﹣8
所以直线或
【小问2详解】
法一：∵，∴，∴，此时，
∴面积的最小值为4，此时直线
法二：∵，
∴，
此时，∴面积的最小值为4，此时直线
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据导数的几何意义得，结合对数的运算性质求出m，利用直线的点斜式方程即可得出切线方程；
(2)由(1)将不等式变形为，利用导数研究函数在、、时的单调性，即可得出结果.
【小问1详解】
，∴，
，，
，，
切线方程为，即，
∴.
【小问2详解】
令，
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，即符合题意；
当时，设，
①当，，，所以在上单调递增，
，所以在上单调递增，
所以，故符合题意；
②当时，，，
所以在上递增，在上递减，且，
所以当时，，
则在上单调递减，且，
故，，舍去.
综上：
22、（1）
（2）
【解析】（1）根据抛物线的定义可得，求得，即可得出答案；
（2）设，利用点差法求出直线l的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案.
【小问1详解】
解：由抛物线定义可知：，
解得：，
∴C的方程为；
【小问2详解】
解：设，
则，两式作差得，
∴直线l的斜率，
∵为的中点，
∴，∴，
∴直线l的方程为，
即（经检验，所求直线符合条件）.