2025-2026学年山东省济宁市嘉祥一中数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

2025-2026学年山东省济宁市嘉祥一中数学高二第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数区间上有（ ）
A.极大值为27，极小值为-5 B.无极大值，极小值为-5
C.极大值为27，无极小值 D.无极大值，无极小值
2．函数的图像大致是（）
A. B.
C. D.
3．设等比数列的前项和为，若，则（ ）
A. B.
C. D.
4．双曲线x21的渐近线方程是（）
A.y=±x B.y=±x
C.y=± D.y=±2x
5．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为（）

A. B.
C. D.
6．已知圆的方程为，圆的方程为，其中．那么这两个圆的位置关系不可能为（）
A.外离 B.外切
C.内含 D.内切
7．已知抛物线的焦点为F，直线l经过点F交抛物线C于A，B两点，交抛物浅C的准线于点P，若，则为（）
A.2 B.3
C.4 D.6
8．我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序进行疫苗接种工作，下面是我国甲、乙两地连续11天的疫苗接种指数折线图，根据该折线图，下列说法不正确的是（ ）

A.这11天甲地指数和乙地指数均有增有减
B.第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%
C.在这11天期间，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
D.第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量
9．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）
A 192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
10．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A 1 B.2
C.4 D.8
11．直线的一个方向向量为，则它的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
12．设双曲线的实轴长与焦距分别为2,4，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则函数在区间上的平均变化率为___________.
14．几位大学生响应国家创业号召，开发了一款面向中学生的应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”活动.这款软件的激活码为下面数学题的答案：记集合…，…，例如：，，若将集合的各个元素之和设为该软件的激活码，则该激活码应为________.
15．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为____.

16．在学习《曲线与方程》的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下面是四位同学的回答：
甲：曲线关于对称；
乙：曲线关于原点对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；
四位同学回答正确的有______（选填“甲、乙、丙、丁”）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形

（1）证明：是中点；
（2）求点到平面的距离
18．（12分）已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且
（1）求椭圆F的标准方程
（2）是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由
19．（12分）一位父亲在孩子出生后，每月给小孩测量一次身高，得到前7个月的数据如下表所示．
月龄
1
2
3
4
5
6
7
身高（单位：厘米）
52
56
60
63
65
68
70
（1）求小孩前7个月的平均身高；
（2）求出身高y关于月龄x的回归直线方程（计算结果精确到整数部分）；
（3）利用（2）的结论预测一下8个月的时候小孩的身高
参考公式：
20．（12分）甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响
（1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率；
（2）求甲获胜的概率
21．（12分）已知圆C：，圆C与x轴交于A，B两点
（1）求直线y＝x被圆C所截得的弦长；
（2）圆M过点A，B，且圆心在直线y＝x+1上，求圆M的方程
22．（10分）已知数列满足，，且成等比数列
（1）求的值和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】求出得出的单调区间，从而可得答案.
【详解】
当时，，单调递减.
当时，，单调递增.
所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.
故选：B
2、B
【解析】由导数判断函数的单调性及指数的增长趋势即可判断.
【详解】当时，，∴在上单调递增，
当时，，∴在上单调递减，排除A、D；
又由指数函数增长趋势，排除C.
故选：B
3、C
【解析】利用等比数列前项和的性质，，，，成等比数列求解.
【详解】解：因为数列为等比数列，则，，成等比数列，
设，则，则，
故，所以，得到，所以.
故选：C.
4、D
【解析】根据双曲线渐近线定义即可求解.
【详解】双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为，
故选：D
【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于容易题.
5、D
【解析】由向量线性运算得，利用数量积的定义和运算律可求得，由此可求得.
【详解】由题意得：，，且，
又，，
，
，.
故选：D.
6、C
【解析】求出圆心距的取值范围，然后利用圆心距与半径的和差关系判断.
【详解】由两圆的标准方程可得，，，；
则，所以两圆不可能内含.
故选：C.
7、C
【解析】由题意可知设,由可得，可求得,，根据模长公式计算即可得出结果.
【详解】由题意可知，准线方程为，设,
可知，

，解得：，代入到抛物线方程可得：.
,
故选:C
8、C
【解析】由折线图逐项分析得到答案.
【详解】对于选项A，从折线图中可以直接观察出甲地和乙地的指数有增有减，故选项A正确；
对于选项B，从第3天至第11天，甲地指数和乙地指数都超过80%，故选项B正确；
对于选项C，从折线图上可以看出这11天甲的增量大于乙的增量，故选项C错误；
对于选项D，从折线图上可以看出第9天至第11天，乙地指数的增量大于甲地指数的增量，故D正确；
故选：C.
9、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B
10、C
【解析】根据焦点弦的性质即可求出
【详解】依题可知，，所以
故选：C
11、A
【解析】根据的方向向量求得斜率.
【详解】且是直线的方向向量，.
故选：A
12、C
【解析】由已知可求出，即可得出渐近线方程.
【详解】因为，所以，所以的渐近线方程为.
故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、3
【解析】根据平均变化率的定义即可计算.
【详解】设，因，，
所以.
故答案为：3
14、376
【解析】由题设知集合的规律为最小的元素为且元素构成公差1的等差数列，共有个元素，即可写出的所有元素，应用等差数列前n项和公式求激活码.
【详解】由题设，或，即，
或，即，
所以或，
则，故各个元素之和为.
故答案为：.
15、
【解析】先证明A1B1∥平面D1EF，进而将问题转化为求点A1到平面D1EF的距离，然后建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算求得答案.
【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到平面D1EF的距离.

以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，A1(2，0，2)，所以，，.
设平面D1EF的法向量为，则，
令x=1，则y=0，z=2，
所以平面D1EF的一个法向量.
点A1到平面D1EF的距离==，即点G到平面D1EF的距离为.
故答案为：.
16、甲、乙、丙、丁
【解析】结合对称性判断甲、乙的正确性；通过对比和与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断丙丁的正确性.
【详解】对于甲：交换方程中和的位置得，所以曲线关于对称，甲回答正确.
对于乙：和两个点都满足方程，所以曲线关于原点对称，乙回答正确.
对于丙：直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，
，，
在第一象限，直线与曲线都满足，
，
，
所以在第一象限，直线的图象在曲线的图象上方，
所以，丙回答正确.
对于丁：圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积为，
在第一象限，曲线与曲线都满足，
，
，
，
所以在第一象限，曲线的图象在曲线的图象下方，
所以，丁回答正确.
故答案为：甲、乙、丙、丁

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）证明出平面，可得出，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；
（2）计算出三棱锥的体积以及的面积，利用等体积法可求得点到平面的距离.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱，平面，平面，则，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，
，则平面，平面，所以，，
因为为等边三角形，故点为的中点.
【小问2详解】
解：因为是边长为的等边三角形，则，
平面，平面，则，即，
所以，，
，
，
设点到平面的距离为，
，，解得.
因此，点到平面距离为.
18、（1）；
（2）存在点，使得为定值.
【解析】（1）设，，，结合条件即求；
（2）由题可设直线方程，利用韦达定理法可得，再结合条件可得点的轨迹方程为，然后利用椭圆的定义即得结论.
【小问1详解】
设，，，椭圆方程为：，
椭圆过点，
，解得t=1，
所以椭圆F的方程是
【小问2详解】
由题可得焦点的坐标分别为，
当直线AB或CD的斜率不存在时，点M的坐标为或，
当直线AB和CD的斜率都存在时，设斜率分别为，点，
直线AB为，
联立，得
则，，

同理可得，，
因为，
所以，化简得
由题意，知，所以
设点，则，
所以，化简得，
当直线或的斜率不存在时，点M的坐标为或，也满足此方程
所以点在椭圆上，
根据椭圆定义可知，存在定点，使得为定值
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理法及题设条件求出点M的轨迹方程，再结合椭圆的定义，从而问题得到解决.
19、（1）62；（2）；
（3）74.
【解析】（1）直接利用平均数的计算公式即可求解；（2）套公式求出b、a，求出回归方程；（3）把x=8代入回归方程即可求出.
【小问1详解】
小孩前7个月的平均身高为.
【小问2详解】
(2)设回归直线方程是.
由题中的数据可知.，
.

.
计算结果精确到整数部分,所以,于是，
所以身高y关于月龄x的回归直线方程为.
【小问3详解】
由(2)知, .
当x=8时,y=3×8+50=74,所以预测8个月的时候小孩的身高为74厘米.
20、（1）
（2）
【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式，即得解
（2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式，即得解
【小问1详解】
设事件“甲在第次投篮投中”，其中
设事件“乙在第次投篮投中”，其中
则，，其中
记“甲乙各投球一次，比赛结束”为事件，
，事件与事件相互独立
根据事件独立性定义得：

甲乙各投球一次，比赛结束的概率为
【小问2详解】
记“甲获胜”为事件，

事件、事件、事件彼此互斥
根据概率加法公式和事件独立性定义得：

甲获胜的概率为
21、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解
（2）根据已知圆的方程，令y＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径
【小问1详解】
∵圆C：，
∴，即圆心为(－1,1)，半径r＝3，
∵直线y＝x，即x－y＝0，
∴圆心(－1,1)到直线x－y＝0的距离d＝，
∴直线y＝x被圆C所截得的弦长为＝
【小问2详解】
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵圆C：，圆C与x轴交于A，B两点，
∴x2－2x－7＝0，
则，|x1－x2|＝＝，
∴圆心的横坐标为x＝，
∵圆心在直线y＝x+1上，
∴圆心为(1,2)，
∴半径r＝，
故圆M的方程为
22、（1）；；（2）
【解析】（1）由于，所以可得，再由成等比数列，列方程可求出，从而可求出的通项公式；
（2）由（1）可得，然后利用错位相减法求
【详解】解：（1）数列{an}满足，
所以，
所以a2+a3＝a1+a2+d，
由于a1＝1，a2＝1，
所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，
且a1，a2+a3，a8+a9成等比数列，
所以，
整理得d＝1或2（1舍去）
故an+2＝an+2，
所以n奇数时，an＝n，
n为偶数时，an＝n﹣1
所以数列{an}的通项公式为
（2）由于，所以
所以T2n＝b1+b2+．．．+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+．．．+[﹣22n﹣2•（2n﹣1）2]+22n﹣2•（2n）2，
＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+．．．+22n﹣2•[（2n）2﹣（2n﹣1）2]
＝20×3+22×7+．．．+22n﹣2•（4n﹣1）①，
所以，②，
①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+．．．+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），
＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），
＝，
所以