浙江省临海市白云高级中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测模拟试题含解析.doc

浙江省临海市白云高级中学2025-2026学年数学高二上期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有这样一道题目：“戴氏善屠，日益功倍.初日屠五两，今三十日屠讫，向共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？"在这个问题中，该屠夫前5天所屠肉的总两数为（）
A.35 B.75
C.155 D.315
2．双曲线的渐近线方程和离心率分别是
A. B.
C. D.
3．已知直线是圆的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（）
A.1 B.2
C.4 D.8
4．在区间内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是（）
A. B.
C. D.
5．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（）
A. B.
C. D.
6．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）
A. B.
C. D.1
7．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（）
A.1 B.2
C. D.
8．抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）
A.2 B.
C. D.
9．已知等差数列 {} 的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若，则公差 d 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
10．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（ ）
A.若，，，，则
B.若，，，则
C.若，，则
D.若，，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（ ）
A.3 B.4
C.6 D.11
12．等比数列的各项均为正数，且，则
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.
14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则_____________
15．一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为___________.
16．计算：________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和为，若.
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，点是椭圆E上一点.
（1）求E的方程；
（2）设过点的动直线与椭圆E相交于两点，O为坐标原点，求面积的取值范围.
19．（12分）已知数列满足
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
20．（12分）已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，且
（1）求抛物线的方程；
（2）若，是抛物线上一点，过点的直线与抛物线交于，两点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，求证：为定值
21．（12分）已知双曲线中心在原点，离心率为2，一个焦点
（1）求双曲线方程；
（2）设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若，求直线l的方程
22．（10分）已知圆的圆心在直线上，且经过点和.
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点且斜率存在的直线与圆交于，两点，且，求直线的方程.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】构造等比数列模型，利用等比数列的前项和公式计算可得结果.
【详解】由题意可得该屠夫每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，
所以，，
因此前5天所屠肉的总两数为.
故选：C.
【点睛】本题考查了等比数列模型，考查了等比数列的前项和公式，属于基础题.
2、A
【解析】先根据双曲线的标准方程，求得其特征参数的值，再利用双曲线渐近线方程公式和离心率定义分别计算即可.
【详解】双曲线的，
双曲线的渐近线方程为，
离心率为，故选A.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线及离心率，属于简单题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解
3、C
【解析】首先将圆心坐标代入直线方程求出参数a，求得点A的坐标，由切线与圆的位置关系构造直角三角形从而求得.
【详解】圆即，圆心为，半径为r=3，
由题意可知过圆的圆心，
则，解得，点A坐标为，

，切点为B则，

故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题.
4、C
【解析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于的区域，进而根据面积比求概率.
【详解】由题意知：若两个数分别为，则，

如上图示，阴影部分即为，
∴两数之和小于的概率.
故选：C
5、B
【解析】设，进而根据题意，结合中点弦的问题得，进而再求解准线方程即可.
【详解】解：根据题意，设，
所以①，②，
所以，①②得：，即，
因为直线AB的斜率为1，线段AB的中点的横坐标为3，
所以，即，
所以抛物线，准线方程为.
故选：B
6、A
【解析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.
【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，
解得，的面积为.
故选：A.
7、B
【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.
【详解】双曲线的实半轴长，
所以该双曲线的实轴长为2.
故选：B
8、B
【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，
由抛物线的性质可得，
所以则，
当最小时，则值最大，
所以当直线PA与抛物线相切时，θ最大，即最小，
由题意可得，
设切线PA的方程为：，
，整理可得，
，可得，
将代入，可得，所以，
即P的横坐标为1，即P的坐标，
所以，，
所以的最大值为：，
故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了抛物线的简单性质．解题的关键是利用了抛物线的定义．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化
9、A
【解析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解.
【详解】，故，故有
故d 取值范围为.
故选：A
10、D
【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.
【详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；
对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；
对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；
对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.
故选：D.
11、A
【解析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.
【详解】由椭圆的定义可知，因为，
所以，因为点分别是线段，的中点，

所以是的中位线，
所以.
故选：A.
12、B
【解析】根据等比数列的性质，结合已知条件，求得，进而求得的值.
【详解】由于数列是等比数列，故，所以，故.
故选B.
【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】根据公式求解即可.
【详解】解：当时，
当时，
因为也适合此等式，所以.
故答案为：
14、##31.5
【解析】根据等比数列通项公式，求出，代入求和公式，即可得答案.
【详解】因为数列为等比数列，
所以，又，
所以，
所以.
故答案为：
15、
【解析】先求点关于直线的对称点，连接,则直线即为所求.
【详解】设点关于直线的对称点为，则
，
解得，
所以，
又点，
所以，
直线的方程为：，
由图可知，直线即为入射光线，
所以化简得入射光线所在直线的方程:.

故答案为：.
16、
【解析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.
【详解】.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】(1)根据所给条件先求出首项，然后仿写，作差即可得到的通项公式；(2) 根据（1）求出的通项公式，观察是由一个等差数列加上一个等比数列得到，要求其前项和，采用分组求和法结合公式法可求出前项和
【小问1详解】
当时，，解得；
当时，，∴，化简得，
∴是首项为1，公比为2的等比数列，∴，
因此的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得，∴，
∴
，

∴
18、（1）；
（2）.
【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组即可求解；
(2)根据题意，直线l斜率存在，设其方程为，代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，求出PQ长度，求出原点到l的距离，根据三角形面积公式表示出△OPQ的面积，利用基本不等式求解其范围即可.
【小问1详解】
由题设知，解得.
∴椭圆E的方程为；
【小问2详解】
当轴时不合题意，故可设，则
，得.
由题意知，即，得.
从而.
又点O到直线的距离，
∴，
令，则，
，，
所求面积的取值范围为.
19、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
解：数列满足
，
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即；
∴
【小问2详解】
解：，
，
，
，

20、（1）
（2）证明见解析
【解析】(1)联立直线和抛物线方程，根据抛物线定义和焦半径公式得到，根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值，设直线的方程为，联立该直线和抛物线方程，，代入韦达定理可得到最终结果.
【小问1详解】
设点，，点，，
联立，整理得，
，
由抛物线的定义知，
解得，
抛物线的方程为
【小问2详解】
，为抛物线上一点，
，即，
设，，，，直线的方程为，
由，消去得，
，，
，
即为定值
21、（1）
（2）或
【解析】（1）依题意设所求的双曲线方程为，则，再根据离心率求出，即可求出，从而得到双曲线方程；
（2）依题意可得直线的斜率存在，设，即可得到的坐标，依题意可得或，分两种情况分别求出的坐标，再根据的双曲线上，代入曲线方程，即可求出，即可得解；
【小问1详解】
解：设所求的双曲线方程为（，），则，，
∴，又则，∴所求的双曲线方程为
【小问2详解】
解：∵直线l与y轴相交于M且过焦点，
∴l的斜率一定存在，则设．令得，
∵且M、Q、F共线于l，∴或
当时，，，∴，
∵Q在双曲线上，∴，∴，
当时，，代入双曲线可得：
，∴
综上所求直线l的方程为：或
22、（1）
（2）
【解析】（1）设圆心，由题意得，，结合两点间的距离公式求解的值，则圆心与半径可求，圆的方程可求；
（2）若直线的斜率不存在，设直线的方程为，符合题意，若直线的斜率存在，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离与半径关系求得，则直线方程可求
【小问1详解】
解：（1）设圆心，由题意得，，
，解得.
圆心坐标为，半径.
则圆的方程为；
【小问2详解】
解：（2）直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
，圆心到直线的距离，
即，解得，
得直线的方程为.