宿迁市2026届高二上数学期末调研试题含解析.doc

宿迁市2026届高二上数学期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆C：的圆心坐标和半径分别为（ ）
A.和4 B.（－3，2）和4
C.和 D.和
2．已知，则在方向上的投影为（）
A. B.
C. D.
3．在等比数列中，若，，则（）
A. B.
C. D.
4．如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，中点，，则（）

A.
B.
C.
D.
5．曲线在处的切线的斜率为（）
A.-1 B.1
C.2 D.3
6．如果，，…，是抛物线C：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，点F是抛物线C的焦点.若=10，=10+n，则p等于（ ）
A.2 B.
C. D.4
7．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ）
A. B.
C. D.
8．某班新学期开学统计新冠疫苗接种情况，已知该班有学生45人，其中未完成疫苗接种的有5人，则该班同学的疫苗接种完成率为（ ）
A. B.
C. D.
9．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度
A. B.
C. D.
10．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A.30° B.60°
C.120° D.150°
11．下列命题中正确的个数为（ ）
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；
③为空间一组基底，若，则；
④对于任意非零空间向量，，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
12．已知直线l：，则下列结论正确的是（）
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线m：，则
D.过与直线l平行的直线方程是
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．关于曲线C：1，有如下结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线x±y＝0对称；
③曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于2π；
④曲线C不是封闭图形，且它与圆x2+y2＝2无公共点；
⑤曲线C与曲线D：|x|+|y|＝2有4个公共点，这4点构成正方形
其中正确结论的个数是_____
14．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n个图案中所有着色的正方形的面积之和为，则数列的通项公式______

15．过点且与直线平行的直线的方程是______.
16．在空间直角坐标系中，已知向量，则的值为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得，，，
（1）求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
（2）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（3）利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式
中，，，其中，为样本平均值
18．（12分）在棱长为的正方体中，、分别为线段、的中点.

（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线到平面的距离.
19．（12分）已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆相交于A、B两点，求所得弦长的值.
20．（12分）已知关于的不等式
（1）若不等式的解集为，求的值
（2）若不等式的解集为，求的取值范围
21．（12分）如图，矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线在x轴上方的曲线上，求矩形面积最大时的边长.

22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点
（1）求椭圆的方程及焦点坐标；
（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】先将方程化为一般形式，再根据公式计算求解即可.
【详解】解：可化为，
由圆心为，半径，易知圆心的坐标为，半径为
故选：C
2、C
【解析】利用向量数量积的几何意义即得
【详解】,
故在方向上的投影为：
故选：C
3、D
【解析】由等比数列的性质得，化简，代入数值求解.
【详解】因为数列是等比数列，所以，由题意，所以.
故选：D
4、D
【解析】根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】
，
故选：D
5、D
【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.
【详解】因为，所以，
所以切线的斜率为.
故选：D.
6、A
【解析】根据抛物线定义得个等式，相加后，利用已知条件可得结果.
【详解】抛物线C：的准线为，
根据抛物线的定义可知，，，，，
所以，
所以，
所以，所以.
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义解题是解题关键，属于基础题.
7、A
【解析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.
【详解】如图，从5个点中任取3个有

共种不同取法，
3点共线只有与共2种情况，
由古典概型的概率计算公式知，
取到3点共线的概率为.
故选：A

【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
8、D
【解析】利用古典概型的概率求解.
【详解】该班同学的疫苗接种完成率为
故选：D
9、B
【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角
【详解】解析：由题意，设切线为，∴.
∴或.∴时转动最小
∴最小正角为.
故选B.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题
10、D
【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.
【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.
11、C
【解析】根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.
【详解】①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；
②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，
所以也是空间一组基底，故②正确；
③：由为空间一组基底，若，
则，所以，故③正确；
④：对于任意非零空间向量，，若，
则存在一个实数使得，有，
又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.
故选：C
12、D
【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、4
【解析】直接利用曲线的性质，对称性的应用可判断①②；求出可判断③；联立方程，解方程组可判断④⑤的结论
【详解】对于①，将方程中的x换为﹣x，y换为﹣y，方程不变，曲线C关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的x换为﹣y，把y换成﹣x，方程不变，曲线C关于直线x±y＝0对称，故②正确；
对于③，由方程得，故曲线C不是封闭图形，故③错误；
对于④，曲线C：，不是封闭图形，联立整理可得：，方程无解，故④正确；
对于⑤，曲线C与曲线D：由于，解得，
根据对称性，可得公共点为 ，
故曲线C与曲线D 有四个交点，这4点构成正方形，故⑤正确
故答案为：4
14、
【解析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前项和公式，即可求得的通项公式.
【详解】结合已知条件，归纳总结如下：
第一个图案中，着色正方形的面积即；
第二个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即；
第三个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即；

第个图案中，新着色的正方形面积是，故着色正方形的面积即.
故.
故答案为：.
15、
【解析】设出直线的方程，代入点的坐标，求出直线的方程.
【详解】设过点且与直线平行的直线的方程为，将代入，则，解得：，所以直线的方程为.
故答案为：
16、
【解析】由题知，进而根据向量数量积运算的坐标表示求解即可.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）＝0.3x－0.4
（2）正相关（3）1.7千元
【解析】（1）由题意得到n＝10，求得，进而求得，写出回归方程；.
（2）由判断；
（3）将x＝7代入回归方程求解.
【小问1详解】
由题意知
n＝10，，
则，
所以所求回归方程为＝0.3x－0.4.
【小问2详解】
因为，
所以变量y的值随x的值增加而增加，故x与y之间是正相关.
【小问3详解】
将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).
18、（1）；
（2）.
【解析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）证明出平面，利用空间向量法可求得直线到平面的距离.
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
易知平面的一个法向量为，，
因此，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【小问2详解】
解：，则，所以，，
因为平面，所以，平面，
，所以，直线到平面的距离为.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据条件可以确定圆心坐标和半径，写出圆的方程；
（2）先求圆心到直线的距离，结合勾股定理可求弦长.
【详解】(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2.则圆的方程为；
(2)圆心（2，0）到l的距离为d，=1，.
【点睛】圆的方程求解方法：
（1）直接法：确定圆心，求出半径，写出方程；
（2）待定系数法：设出圆的方程，可以是标准方程也可以是一般式方程，根据条件列出方程，求解系数即可.
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据关于的不等式的解集为，得到和1是方程的两个实数根，再利用韦达定理求解.
（2）根据关于的不等式的解集为．又因为，利用判别式法求解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以和1是方程的两个实数根，
由韦达定理可得，得
（2）因为关于的不等式的解集为
因为
所以，解得，
故的取值范围为
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解集和恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
21、当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长
【解析】先设出点坐标，进而表示出矩形的面积，通过求导可求出其最大面积.
【详解】设点，
那么矩形面积，.
令解得（负舍）.
所以S在（0，）上单调递增，在（，2）上单调递；..
所以当时，S有最大值.此时
答：当矩形面积最大时，矩形边AB长，BC长.
22、（1），
（2）
【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解
【小问1详解】
解：由题意可得，解得，
所以椭圆C的方程为，焦点坐标为
【小问2详解】
解：设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），
因为，所以，即，
所以①，
因为线段MN的垂直平分线过点A（0，1），所以，即②，
联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，
所以＝（8kt）2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）＝﹣16t2+16+64k2＞0，即﹣t2+1+4k2＞0（*），③，
把③代入②，得④，
把③④代入①得，
所以，即，代入（*）得，解得，又k≠0，
所以k的取值范围为