成都实验中学2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

成都实验中学2025-2026学年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列2，0，2，0，…的通项公式可以为（）
A. B.
C. D.
2．已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
3．如图，在平行六面体中，设，，，用基底表示向量，则（）

A. B.
C. D.
4．已知圆M的圆心在直线上，且点，在M上，则M的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）
A.3 B.
C.2 D.
6．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）
A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样
7．已知双曲线渐近线方程为，则该双曲线的离心率等于（）
A. B.
C.2 D.4
8．数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为
A. B.
C. D.
9．已知等比数列的前n项和为，公比为q，若，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
11．已知随机变量X的分布列如表所示，则（）
X
1
2
3
P
a
2a
3a
A. B.
C. D.
12．已知随机变量服从正态分布，且，则（）
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，若三点、、满足，则实数的值为__________.
14．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______
15．在数列中，若，则该数列的通项公式__________
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点”为___________；
（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等比数列{}中，
（1），，求；
（2），，求的值.
18．（12分）在直三棱柱中，，，，，分别是，上的点，且

（1）求证：∥平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值
19．（12分）已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：.
20．（12分）已知是公差不为零等差数列，，且、、成等比数列
（1）求数列的通项公式：
（2）设．数列{}的前项和为，求证：
21．（12分）在等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22．（10分）设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质
（1）若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；
（2）若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；
（3）对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】举特例排除ABC，分和讨论确定D.
【详解】A.当时，，不符；
B.当时，，不符；
C.当时，，不符；
D.当时，，
当时，，符合.
故选：D.
2、C
【解析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值.
【详解】
由双曲线可知：

的周长为.
当轴时,周长最小值为
故选：C
3、B
【解析】直接利用空间向量基本定理求解即可
【详解】因为在平行六面体中，，，，
所以

，
故选：B
4、C
【解析】由题设写出的中垂线，求其与的交点即得圆心坐标，再应用两点距离公式求半径，即可得圆的方程.
【详解】因为点，在M上，所以圆心在的中垂线上
由，解得，即圆心为，则半径，
所以M的方程为
故选：C
5、D
【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；
【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；
故选：D
6、B
【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项
【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样
故选：B
7、A
【解析】由双曲线的渐近线方程，可得，再由的关系和离心率公式，计算即可得到所求值
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，
由题意可得即，可得
由可得，
故选：A.
8、C
【解析】观察，奇偶相间排列，偶数位置为负，所以为，数字是奇数，满足2n-1,
所以可求得通项公式.
【详解】由符号来看，奇数项为正，偶数项为负，所以符号满足，
由数值1，3，5，7，9…显然满足奇数，所以满足2n-1,所以通项公式 为，选C.
【点睛】本题考查观察法求数列的通项公式，解题的关键是培养对数字的敏锐性，属于基础题.
9、D
【解析】根据，可求得，然后逐一分析判断各个选项即可得解.
【详解】解：因为，所以，
因为，
所以，所以，故A错误；
又，所以，所以，
所以，故BC错误；
所以，故D正确.
故选：D.
10、A
【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.
【详解】 与x，y轴的交点，分别为 ，，点 在圆 ，即上，
所以 ，圆心到直线距离为 ，
所以 面积的最小值为 ，
最大值为.
故选：A

11、C
【解析】根据分布列性质计算可得；
【详解】解：依题意，解得，所以；
故选：C
12、A
【解析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可
【详解】由，且
则有：
根据正态分布的对称性可知：
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】分析可知，结合空间向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】由已知可得，，
因为，则，
即，解得.
故答案为：.
14、
【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.
【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.
因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：
令，此时，，于是直线过定点
当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点
点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：
15、
【解析】由已知可得数列是以为首项，3为公比的等比数列，结合等比数列通项公式即可得解.
【详解】解：由在数列中，若，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
由等比数列通项公式可得，
故答案为：.
【点睛】本题考查了等比数列通项公式的求法，重点考查了运算能力，属基础题.
16、 ①. ②.
【解析】（1）根据“新驻点”的定义求得，结合可得出结果；
（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系.
详解】（1），，
根据“新驻点”的定义得，即，可得，
，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；
（2），则，根据“新驻点”的定义得，即.
，则，由“新驻点”的定义得，即，
构造函数，则函数在定义域上为增函数，
，，
，由零点存在定理可知，，
.
故答案为：（1）；（2）.
【点睛】本题考查导数的计算，是新定义的题型，关键是理解“新驻点”的定义.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）直接利用等比数列的求和公式求解即可，
（2）由已知条件结合等比数的性质可得，从而可求得答案，或直接利用等比数列的求和公式化简求解
【小问1详解】
.
【小问2详解】
方法1：
.

∴.
方法2：，整理得：
又
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量证明与平面的法向量垂直
（2）由空间向量求解
【小问1详解】
以C为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
如图，则，，，，，，
设，因为，所以，
故，得，同理求得，所以，
因为是平面的一个法向量，且，
所以，又平面，所以平面；
【小问2详解】
由（1）可得：
，，设平面的一个法向量为，
则，即令，则，所以，
又平面的一个法向量为，
设表示平面与平面所成锐二面角，则

19、见解析
【解析】将代入式子，得到，，进而进行化简，最后通过基本不等式证明问题.
【详解】∵，，，∴，
.∴＝，
当且仅当，即时取“＝”
20、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，根据题意可得出关于的方程，求出的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.
【小问1详解】
解：设等差数列的公差为，则，
由题意可得，即，整理可得，，解得，
因此，.
【小问2详解】
证明：，
因此，，
故原不等式得证.
21、（1）
（2）
【解析】（1）设的公差为，根据题意列出关于和的方程组，求解方程组，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果.
（2）对数列中项的正负情况进行讨论，再结合等差数列的前项和公式，即可求出结果.
【小问1详解】
解：设的公差为d，因为，，
所以解得
故.
【小问2详解】
解：设的前项和为，则.
当时，，
所以
所以；
当时，

.
所以.
22、（1）数列具有性质，理由见解析；
（2），；
（3）有限个.
【解析】（1）由题意，由性质定义，即可知是否具有性质.
（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；
（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.
【小问1详解】
由，对任意正整数，，
说明仍为数列中的项，
∴数列具有性质.
【小问2详解】
设的公差为．由条件知：，则，即，
∴必有且，则，
而此时对任意正整数，，
又必一奇一偶，即为非负整数
因此，只要为整数且，
那么为中的一项.
易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.
【小问3详解】
同（2）知：，则，
∴必有且，则，
故任意给定，公差均为有限个，
∴具有性质的数列是有限个.
【点睛】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.