浙江省杭州市建人高复2025年数学高二上期末经典试题含解析.doc

浙江省杭州市建人高复2025年数学高二上期末经典试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等腰中，在线段斜边上任取一点，则线段的长度大于的长度的概率（）
A. B.
C. D.
2．若，，，则a，b，c与1的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．如下图，边长为2的正方体中，O是正方体的中心，M，N，T分别是棱BC，，的中点，下列说法错误的是（）

A. B.
C. D.到平面MON的距离为1
4．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）

A.函数在区间上单调递增 B.函数在区间上单调递减
C.函数在处取得极大值 D.函数在处取得极小值
5．已知数列满足：，数列的前n项和为，若恒成立，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．在长方体，，则异面直线与所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
7．已知双曲线的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C.2 D.3
8．若函数，当时，平均变化率为3，则等于（）
A. B.2
C.3 D.1
9．函数在上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
10．给出如下四个命题正确的是（）
①方程表示的图形是圆；
②椭圆的离心率；
③抛物线的准线方程是；
④双曲线的渐近线方程是
A.③ B.①③
C.①④ D.②③④
11．函数在区间上平均变化率等于（ ）
A. B.
C. D.
12．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．经过、两点的直线斜率为______.
14．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.
15．已知矩形的长为2，宽为1，以该矩形的边所在直线为轴旋转一周得到的几何体的表面积为___________.
16．已知空间向量，，若，则______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点的直线与椭圆交于不同的两点，，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，当以为始边，为终边的角时，.
（1）求的方程
（2）过点的直线交于两点，以为直径的圆平行于轴的直线相切于点，线段交于点，求的面积与的面积的比值
19．（12分）求下列函数导数：
（1）；
（2）；
20．（12分）如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且

（1）求证：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值
21．（12分）某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图

（1）求直方图中的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？
22．（10分）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为
（1）求及；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用几何概型的长度比值，即可计算.
【详解】设直角边长，斜边，
则线段的长度大于的长度的概率.
故选：C
2、C
【解析】根据条件构造函数，并求其导数，判断该函数的单调性，据此作出该函数的大致图象，由图象可判断a，b，c与1的大小关系.
【详解】令，则
当时，，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增,
而 ，由可知，
故作出函数大致图象如图：

由图象易知，，
故选：C.
3、D
【解析】建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的坐标运算判断A,B,C；对D，算出平面MON的法向量，进而求出向量在该法向量方向上投影的绝对值，即为所求距离.
【详解】如图建立空间直角坐标系，则.

对A，，则，则A正确；
对B，，则，则B正确；
对C，，则C正确；
对D，设平面MON的法向量为，则，取z=1，得，，所以到平面MON的距离为,则D错误.
故选：D.
4、C
【解析】根据函数的单调性和函数的导数的值的正负的关系，可判断A,B的结论;根据函数的极值点和函数的导数的关系可判断、的结论
【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；
根据函数的导数图象，函数在时，，
故函数在区间上单调递减，故正确；
由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；
根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，
故函数处取得极小值，故正确，
故选：
5、D
【解析】由于，所以利用裂项相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】，
故
，
故恒成立等价于，
即恒成立，
化简得到，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以
故选：D
6、A
【解析】在长方体中建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得向量，的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案.
详解】如图，

由题意可知DA，DC，两两垂直，则以D为原点，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
从而，
故异面直线与所成角的余弦值是，
故选：A.
7、C
【解析】根据题意设设，根据题意得到，进而求得离心率
【详解】根据题意得到设，因为，所以，
所以，则
故选：C.
8、B
【解析】直接利用平均变化率的公式求解.
【详解】解：由题得.
故选：B
9、A
【解析】对函数 求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.
【详解】由题意可得， ， ，，.
故选：A
10、A
【解析】对选项①，根据圆一般方程求解即可判断①错误，对选项②，求出椭圆离心率即可判断②错误，对③，求出抛物线渐近线即可判断③正确，对④，求出双曲线渐近线方程即可判断④错误。
【详解】对于①选项，，，故①错误；
对于②选项，由题知，所以，所以离心率，
故②错误；
对于③选项，抛物线化为标准形式得抛物线，故准线方程是，
故③正确；
对于④选项，双曲线化为标准形式得，
所以，焦点在轴上，故渐近线方程是，故④错误.
故选：A
11、C
【解析】根据平均变化率的定义算出答案即可.
【详解】函数在区间上的平均变化率等于
故选：C
12、B
【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.
【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】利用斜率公式可求得结果.
【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.
故答案为：.
14、
【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.
详解】由直线和互相平行，
得 ，即.
故答案为：.
15、或##或
【解析】分两种情况进行解答，①以边长为2的边为轴旋转，②以边长为1的边为轴旋转．进行解答即可
【详解】解：①以边长为2的边为轴旋转，表面积两个底面积侧面积，
即：，
②以边长为1的边为轴旋转，表面积两个底面积侧面积，
即：，
故答案为：或
16、2
【解析】依据向量垂直充要条件列方程，解之即可解决.
【详解】空间向量，，
由，可知，即，解之得
故答案为：2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）由离心率公式、将点代入椭圆方程得出椭圆的方程；
（2）联立椭圆和直线的方程，由判别式得出的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出，求出的值得出直线的方程.
【详解】解：（1）因为椭圆的离心率为，所以.①
又因为椭圆经过点，所以有.②
联立①②可得，，，所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为.
由消去整理得，.
因为直线与椭圆交于不同两点，
所以，即，所以
设，，则，.
由题意得，面积
，
即.
因为的面积为，所以，即.
化简得，，即，解得或，均满足，所以或.
所以直线的方程为或.
【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线的方程.
18、（1）
（2）
【解析】（1）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据抛物线的定义，得到，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组求得，得到，由抛物线的定义得到，根据，求得，设，得到，进而求得，因为为的中点，求得，即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，抛物线，可得其准线方程，
如图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
因为时，，可得，
又由抛物线的定义，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
【小问2详解】
解：由抛物线，可得，设，
因为直线的直线过点，设直线的方程为
联立方程组，整理得，
可得，则，
因为为的中点，所以，
由抛物线的定义得，
设圆与直线相切于点，
因为交于点，所以且，
所以，即，解得，
设，则，且，可得，
因为，所以点为的中点，所以，
又因为为的中点，可得，
所以，即的面积与的面积的比值为.

19、（1）；（2）
【解析】根据基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则计算可得；
【详解】解：（1）因为
所以，即
（2）因为
所以，即
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系后得到相关向量，再运用数量积证明；
（2）求出相关平面的法向量，再运用夹角公式计算即可.
【小问1详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系：，，，

，，
∴，故.
【小问2详解】
，，，
设平面的一个法向量为，
由，令，则，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，易知：为锐角，
故，
即平面与平面夹角的余弦值为.
21、（1）；（2），；（3）
【解析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数
试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：
x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075.------------- 3分
(2)月平均用电量的众数是＝230.------------- 5分
因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，
设中位数为a，
由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5
得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224.------------ 8分
(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100＝10户，
月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分
抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分
考点：频率分布直方图及分层抽样
22、（1）；（2）
【解析】(1)先根据已知求出，再求及.(2)先根据已知得到，再利用分组求和求数列的前项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以
， 解得，
所以；
==.
（2）由已知得，由（1）知，所以 ，
=.
【点睛】(1)本题主要考查等差数列的通项和前n项和求法，考查分组求和和等比数列的求和公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.