2026届北京市十二中高二上数学期末综合测试模拟试题含解析.doc

2026届北京市十二中高二上数学期末综合测试模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（）
A. B.
C. D.
2．设数列、都是等差数列，若，则等于（）
A. B.
C. D.
3．已知圆：的面积被直线平分，圆：，则圆与圆的位置关系是（）
A.相离 B.相交
C.内切 D.外切
4．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（ ）

A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
5．数列，，，，…，的通项公式可能是（ ）
A. B.
C. D.
6．在等差数列中，，，则的值是（）
A.130 B.260
C.156 D.168
7．已知函数，则（）
A. B.
C. D.
8．函数在上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
9．在棱长均为1的平行六面体中，，则（）
A. B.3
C. D.6
10．已知数列满足，且，为其前n项的和，则（）
A. B.
C. D.
11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则一定是（ ）
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
12．已知向量，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在等腰直角中，，为半圆弧上异于，的动点，当半圆弧绕旋转的过程中，有下列判断：

①存在点，使得；②存在点，使得；③四面体的体积既有最大值又有最小值：④若二面角为直二面角，则直线与平面所成角的最大值为45°.其中正确的是______（请填上所有你认为正确的结果的序号）.
14．已知数列满足：，，则______
15．设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
16．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）（1）已知集合，．：，：，并且是的充分条件，求实数的取值范围
（2）已知：，，：，，若为假命题，求实数的取值范围
18．（12分）已知函数
（1）讨论的单调区间；
（2）求在上的最大值.
19．（12分）已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值
20．（12分）已知函数，其中
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式对一切恒成立，求实数k的最大值
21．（12分）已知椭圆的长轴在轴上，长轴长为4，离心率为，
（1）求椭圆的标准方程，并指出它的短轴长和焦距.
（2）直线与椭圆交于两点，求两点的距离.
22．（10分）我们知道，装同样体积的液体容器中，如果容器的高度一样，那么侧面所需的材料就以圆柱形的容器最省.所以汽油桶等装液体的容器大都是圆柱形的，某卧式油罐如图1所示，它垂直于轴的截面如图2所示，已知截面圆的半径是1米，弧的长为米表示劣弧与弦所围成阴影部分的面积.

（1）请写出函数表达式；
（2）用求导的方法证明.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，

又因为且，故四边形为正方形，
圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，
所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，
故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.
故选：D.
2、A
【解析】设等差数列的公差为，根据数列是等差数列可求得，由此可得出，进而可求得所求代数式的值.
【详解】设等差数列的公差为，即，
由于数列也为等差数列，则，
可得，即，
可得，即，解得，
所以，数列为常数列，对任意的，，
因此，.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列基本量的求解，通过等差数列定义列等式求解公差是解题的关键，另外，在求解有关等差数列基本问题时，可充分利用等差数列的定义以及等差中项法来求解.
3、D
【解析】根据题意，圆：的面积被直线平分，即直线经过圆的圆心，由此求出两圆的圆心和半径，然后判断两个圆的位置关系即可
【详解】根据题意，圆：，
即，其圆心为，半径，
圆：的面积被直线平分，
即直线经过圆的圆心，
则有1−m＋1＝0，解可得m＝2，
即所以圆的圆心（1，−1），半径为1，
圆的标准方程是，圆心（−2，3），半径为4，
其圆心距，
所以两个圆外切，
故选：D.
4、B
【解析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在内的学生中选取的人数为3.
【详解】，故①正确；
根据频率分布直方图可估计出平均值为，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；
每周使用时间在，，三组内的学生的比例为，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为，故③正确.
故选：B.
5、D
【解析】利用数列前几项排除A、B、C，即可得解；
【详解】解：由，排除A，C，由，排除B，
分母为奇数列，分子为，故数列的通项公式可以为，
故选：D
6、A
【解析】由等差数列的性质计算得到，进而利用求和公式，变形求出答案.
【详解】由题意得：，故
故选：A
7、B
【解析】求出，代值计算可得的值.
【详解】因为，则，故.
故选：B.
8、A
【解析】对函数 求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.
【详解】由题意可得， ， ，，.
故选：A
9、C
【解析】设，，，利用结合数量积的运算即可得到答案.
【详解】设，，，由已知，得，，，
，所以，
所以.
故选：C
10、B
【解析】根据等比数列的前n项和公式即可求解.
【详解】由题可知是首项为2，公比为3的等比数列，则.
故选：B.
11、B
【解析】利用余弦定理化角为边，从而可得出答案.
【详解】解：因为，
所以，
则，所以，
所以是等腰三角形.
故选：B.
12、B
【解析】根据向量加减法运算的坐标表示即可得到结果
【详解】
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②④
【解析】①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,可证得四边形ABCD为正方形即可判断①；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，可知平面ABC，可证得平面CDB，即可判断②；③，研究临界值即可判断③；
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，作图分析验证可判断④.
【详解】①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,连结BD，交AC于，则为AC中点，此时，且,所以四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，故①正确；
②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，此时有：平面ABC，，又因为，所以平面CDB，所以，故②正确；
③，当平面平面ABC，且D为中点时，h有最大值；
当A，B，C，D四点共面时h有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，故四面体D-ABC无最小值，故③错误.
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，则，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以为直线DB与平面ABC所成角，设，则，，所以为等腰直角三角形，所以，直线与平面所成角的最大值为45°，故④正确.
故答案为：①②④.

14、
【解析】令n=n-1代回原式，相减可得，利用累乘法，即可得答案.
【详解】因为，
所以，
两式相减可得，整理得，
所以，
整理得，又，解得.
故答案为：
15、
【解析】，，利用椭圆的定义、结合余弦定理、已知条件，可得，解得，从而可得结果
【详解】椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为
【点睛】本题主要考查椭圆的定义以及余弦定理的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
16、##
【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
过点作，垂足为，则，

所以的周长为
，
当且仅当三点共线时等号成立.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）由二次函数的性质，求得，又由，求得集合，
根据命题是命题的充分条件，所以，列出不等式，即可求解
（2）依题意知，均为假命题，分别求得实数的取值范围，即可求解
【详解】（1）由，∵，∴，，
∴，所以集合，
由，得，所以集合，
因为命题是命题的充分条件，所以，则，解得或，
∴实数的取值范围是.
（2）依题意知，，均为假命题，
当是假命题时，恒成立，则有，
当是假命题时，则有，或.
所以由均为假命题，得，即.
【点睛】本题主要考查了复合命题的真假求参数，以及充要条件的应用，其中解答中正确得出集合间的关系，列出不等式，以及根据复合命题的真假关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
18、（1）①，在上单减；②，在上单增，单减；
（2）.
【解析】（1），根据函数定义域，分， ，讨论求解；
（2）根据（1）知：分，，，讨论求解.
【小问1详解】
解：(1)定义域，
①时，成立，所以在上递减；
②时，当时，，当时，，
所以在上单增，单减；
【小问2详解】
由（1）知：时，在单减，
所以；
时，在单减，
所以；
时，在上单增，上递减，
所以；
时，在单增，
所以；
综上：.
19、（1）
（2）周长是定值，且定值为4
【解析】（1）首先求出直线与轴的交点，即可求出，再根据离心率求出，最后根据求出，即可得解；
（2）：设直线的方程为、、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，即可表示出弦的长，再根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即可得到，再求出、，最后根据计算即可得解；
【小问1详解】
解：因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
【小问2详解】
解：设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：
，
所以

.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又，
所以，
同理.
所以
，
即的周长是定值，且定值为4
20、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）先对函数求导，然后分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，
（2）由题意得恒成立，构造函数，利用导数求出其最小值即可
【小问1详解】
由，得
当时，恒成立，∴在上单调递增
当时，令，得，得，
∴在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
依题意得对一切恒成立，即
令，则
令，则在上单调递增，而
当时，，即；当时，，即
∴在上单调递减，在上单调递增
∴
∴，即k的最大值为
21、（1），短轴长为，焦距为；（2）.
【解析】（1）由长轴得，再由离心率求得，从而可得后可得椭圆方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点坐标后可得距离
【详解】（1）由已知：，，
故，，
则椭圆的方程为：，
所以椭圆的短轴长为，焦距为.
（2）联立 ，解得，，
所以，，
故
22、（1），
（2）证明见解析
【解析】（1）由弧长公式得，根据即可求解；
（2）利用导数判断出在上单调递增，即可证明.
【小问1详解】
由弧长公式得，
于是，
【小问2详解】
cos，
显然在上单调递增，
于是.