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单击此处编辑母版文本样式,第二章,2.12.1.2,成才之路 高中新课程 学习指导 人教B版 数学,选修2-1,2.1.2由曲线求它方程、,1/31,2/31,3/31,一、已知曲线求方程,1求轨迹方程普通步骤,(1)建系：建立适当坐标系，用有序实数对(,x,，,y,)表示曲线上任意一点,M,坐标,(2)列式：写出适合条件,P,点,M,集合,P,M,|,P,(,M,),(3)代换：用坐标表示条件,P,(,M,)，列出方程,f,(,x,，,y,)0.,(4)化简：化方程,f,(,x,，,y,)0为最简形式,(5)证实：说明以化简后方程解为坐标点都在曲线上,可简记为：建系、列式、代换、化简、证实,4/31,注意：,(1)求曲线方程以前，必须确定问题中坐标系是否建立，若未建立，应先建系建系是求曲线方程基础一步，要依据几何关系适当建系，目标是简化求解过程且使曲线方程形式简单,(2)依据题目中几何关系列出曲线上点满足坐标关系是关键一步，在这里惯用到一些公式，如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线斜率公式等，在化简过程中要保持等价变换，最终化为最简方程形式,5/31,(3)求曲线方程时步骤中(2)、(5)两步普通能够省略，但应注意一些点坐标是否适合方程，即要把多出点剔除，将遗漏点补上,(4)求轨迹需要说明曲线类型，求轨迹方程则无须说明曲线类型,6/31,2,建立坐标系基本标准,(1)让尽可能多点落在坐标轴上,(2)尽可能地利用图形对称性，使对称轴为坐标轴,建立适当坐标系是求曲线方程首要一步，应充分利用图形几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形可利用对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等,注意：,坐标系选取适当，可使运算过程简化，所得方程也较简单，不然，若坐标系选取不妥，则会增加运算繁杂程度,7/31,课堂典例探究,8/31,直接法求曲线方程,9/31,10/31,方法总结,“,轨迹方程,”,与,“,轨迹,”,辨析,11/31,已知点,M,到,x,轴距离等于到,y,轴距离2倍，求点,M,轨迹方程,解析,设动点,M,坐标为(,x,，,y,)，则点,M,到,x,轴、,y,轴距离分别为|,y,|，|,x,|.由题意知,|,y,|2|,x,|，整理得,y,2,x,.,所以点,M,轨迹方程为,y,2,x,.,12/31,用代入法或参数法求曲线方程,已知,ABC,中，,A,(2,0)，,B,(0，2)，第三个顶点,C,在曲线,y,3,x,2,1上移动，求,ABC,重心轨迹方程,思绪分析,重心坐标可直接设为(,x,，,y,)，重心改变是由顶点,C,改变引发，故只需找到二者之间关系即可,13/31,即：,x,1,3,x,2，,y,1,3,y,2.,又(,x,1,，,y,1,)在曲线,y,3,x,2,1上，即有,y,1,3,x,1.,代入,x,1,，,y,1,，得：3,y,23(3,x,2),2,1.,化简得：,y,9,x,2,12,x,3即为所求轨迹方程,方法总结,当已知某个动点在已知曲线上移动，而引发另一个动点改变时，在求另一个动点满足轨迹方程时，惯用代入法,14/31,设定点,M,(3,4)，动点,N,在圆,x,2,y,2,4上运动，以,OM,，,ON,为两边作平行四边形,MONP,，求点,P,轨迹方程,15/31,16/31,用直接法或定义法求曲线方程,设圆,C,：(,x,1),2,y,2,1，过原点,O,作圆任意弦，求所作弦中点轨迹方程,思绪分析,设,P,(,x,，,y,)为弦中点，可用直接法列出关于,x,，,y,方程，也可依据圆性质判断出,P,点轨迹，利用定义法求解,17/31,18/31,19/31,方法总结,(1)适用定义法求轨迹特点,假如动点轨迹满足某种已知曲线定义，则可依据定义写出轨迹方程,(2)定义法求轨迹方程策略,要熟悉各种常见曲线定义,要善于利用数形结合方法，利用图形含有相关几何性质寻找等量关系,依据等量关系和曲线定义确定动点轨迹方程,20/31,(1)由动点,P,向圆,x,2,y,2,1引两条切线,PA,，,PB,，切点分别为,A,，,B,，,APB,60，则动点,P,轨迹方程为_,(2)在Rt,ABC,中，|,AB,|2,a,(,a,0)，求直角顶点,C,轨迹方程,21/31,22/31,参数法求轨迹方程,23/31,24/31,25/31,ABC,顶点,A,固定，点,A,对边,BC,长是2,a,，边,BC,上高是,b,，边,BC,沿一条定直线移动，求,ABC,外心轨迹方程,解析,如图以,BC,所在定直线,x,轴，以过点,A,与,x,轴垂直直线为,y,轴建立直角坐标系，则,A,点坐标为(0，,b,)设,ABC,外心为,M,(,x,，,y,)，作,MN,BC,于点,N,，则,MN,是,BC,垂直平分线,26/31,27/31,28/31,三、常见求轨迹方程几个方法,1直接法,当动点直接与已知条件发生联络时，在设曲线上动点坐标为(,x,，,y,)后，可依据题设条件将普通语言利用基本公式(如两点间距离公式、点到直线距离公式、斜率公式、面积公式等)变换成表示动点坐标(,x,，,y,)间关系式数学语言，从而得到轨迹方程这种求轨迹方程方法称为直接法直接法求轨迹方程经常要联络平面图形性质,29/31,2定义法,若动点运动几何条件满足某种已知曲线定义，能够设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程方法称为定义法利用定义法求轨迹要善于抓住曲线定义特征,3代入法(相关点法),若所求轨迹上动点,P,(,x,，,y,)与另一个已知曲线,C,：,F,(,x,，,y,)0上动点,Q,(,x,1,，,y,1,)存在着某种联络，可把点,Q,坐标用点,P,坐标表示出来，然后代入已知曲线,C,方程,F,(,x,，,y,)0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程方法叫做代入法(又称相关点法),30/31,4参数法,假如所求轨迹上动点,P,(,x,，,y,)坐标之间关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将,x,，,y,用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法参数法中常选变角、变斜率等为参数,31/31,
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