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-,*,-,课前篇,自主预习,2,.,2,.,2,二次函数性质与图象,1/33,2/33,一,二,3/33,一,二,二、二次函数性质与图象,【问题思索】,1,.,二次函数,y=ax,2,+c,在,y,轴左侧是减函数,在右侧是增函数,对吗,?,提醒,:,不对,.,当,a,0,时,函数在,y,轴左侧是减函数,在右侧是增函数,;,当,a,0),最值问题,首先应采取配方法,化为,y=a,(,x-h,),2,+k,(,a,0),形式,.,其解法是,:,抓住,“,三点一轴,”,数形结合,该讨论时要讨论,.,这里,“,三点,”,指是区间两个端点和区间中点,“,一轴,”,指是对称轴,.,对于二次函数,f,(,x,),=a,(,x-h,),2,+k,(,a,0),在区间,p,q,上最值问题可作以下讨论,:,(1),对称轴,x=h,在区间,p,q,左侧,即当,hq,时,f,(,x,),max,=f,(,p,),f,(,x,),min,=f,(,q,),.,5/33,一,二,4,.,填写下表,:,6/33,一,二,7/33,一,二,8/33,一,二,9/33,一,二,10/33,一,二,5,.,做一做,:(1),二次函数,y=,2,x,2,-x+,1,图象对称轴和顶点坐标分别是,(,),答案,:,B,(2),函数,f,(,x,),=ax,2,+,4(,a+,1),x-,3,在,2,+,),内单调递减,则,a,取值范围是,.,11/33,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号里打,“,”,错误打,“”,.,(1),二次函数,y=,3,x,2,与,y,轴不相交,.,(,),(2),二次函数,y=ax,2,+bx+c,图象开口一定向上,.,(,),(3),将函数,y=f,(,x+a,)(,a,0),图象向左平移,a,个单位长度即得到,y=f,(,x,),图象,.,(,),(4),全部二次函数在定义域,R,上一定有最大值和最小值,.,(,),(5),假如二次函数,f,(,x,),图象关于直线,x=a,对称,则,f,(,x,),一定满足关系式,f,(,a+x,),=f,(,a-x,),.,(,),(6),假如二次函数,f,(,x,),满足关系式,f,(,x,),=f,(2,a-x,),则说明该二次函数,f,(,x,),图象对称轴为,x=,2,a.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),(5),(6),12/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,二次函数定义,分析,:,依据二次函数定义,只要确保二次项系数,2,-m,0,且,x,指数,m,2,+m-,4,=,2,即可,.,13/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,二次函数,y=ax,2,+bx+c,(,a,0),当,b=c=,0,时,函数变为,y=ax,2,(,a,0),它图象是一条以原点为顶点,y,轴为对称轴抛物线,;,另外二次函数有以下几个形式,:,(1),顶点式,:,f,(,x,),=a,(,x-h,),2,+k,(,a,0),其中,(,h,k,),为其图象顶点坐标,.,(2),交点式,(,也称两根式,):,f,(,x,),=a,(,x-x,1,)(,x-x,2,)(,a,0),其中,x,1,x,2,是其图象与,x,轴交点横坐标,.,(3),普通式,:,f,(,x,),=ax,2,+bx+c,(,a,0),.,14/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,二次函数图象和性质,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),=-x,2,+,2,x+,3,.,(1),用配方法求出函数图象对称轴、顶点坐标,并作出图象,指出其单调区间,;,(2),由图象写出当,y,0,时,x,取值范围,.,分析,:,本题考查配方法和二次函数图象与性质,.,解题关键是配方,完成配方后再结合图象研究其性质,.,15/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解,:,(1),f,(,x,),=-x,2,+,2,x+,3,=-,(,x,2,-,2,x,),+,3,=-,(,x-,1),2,+,4,则该函数图象对称轴为,x=,1,顶点坐标为,(1,4),其图象如图所表示,.,其单调增区间为,(,-,1,单调减区间为,1,+,),.,(2),由图象知当,y=,0,时,x=-,1,或,x=,3;,当,y,0,时,-,1,x,0(,a,0),解,;,一样二次函数图象在,x,轴下方部分对应,x,取值范围,即为不等式,ax,2,+bx+c,0(,a,0),解,.,17/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,1,设函数,f,(,x,),=ax,2,+bx+c,(,a,b,c,R,a,0),若,a=c,则如图所表示图象不可能为,y=f,(,x,),图象是,(,),解析,:,由,a=c,可知函数图象与,x,轴两交点,(,包含交点重合情况,),横坐标乘积为,1,.,由四个选项看,图象与,x,轴都有交点,记两交点横坐标分别为,x,1,x,2,若只有一个交点,则,x,1,=x,2,因为,a=c,所以,x,1,x,2,=,1,比较四个选项,发觉选项,D,中,x,1,-,1,x,2,1,所以,D,不满足,.,故选,D,.,答案,:,D,18/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,二次函数单调性与对称性应用,【例,3,】,(1),若函数,f,(,x,),=x,2,+,2,mx+,1,在区间,-,1,2,上是单调,则实数,m,取值范围是,;,(2),假如函数,f,(,x,),=x,2,+bx+,1,对任意实数,x,都有,f,(2,+x,),=f,(2,-x,),求,f,(1),f,(2),值,.,(1),解析,:,函数,f,(,x,),=x,2,+,2,mx+,1,=,(,x+m,),2,+,1,-m,2,其图象对称轴为,x=-m,若函数在,-,1,2,上单调,说明对称轴不在区间,-,1,2,内部,故有,-m,-,1,或,-m,2,得,m,1,或,m,-,2,.,答案,:,m,1,或,m,-,2,(2),解,:,由题意知,函数图象关于,x=,2,对称,故,-=,2,得,b=-,4,所以,f,(,x,),=x,2,-,4,x+,1,f,(1),=,1,-,4,+,1,=-,2,f,(2),=,4,-,8,+,1,=-,3,.,19/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,1,.,利用二次函数单调性求参数取值范围方法,:,已知函数单调性,求函数解析式中参数范围,是函数单调性逆向思维问题,.,解答这类问题关键在于先找出函数图象对称轴,经过集合间关系来建立变量间关系,.,2,.,函数对称性,:,(1),若函数,y=f,(,x,),图象关于直线,x=a,对称,则,f,(,a+x,),=f,(,a-x,),对任意,x,都成立,这个关系式我们也经常表示为,:,f,(,x,),=f,(2,a-x,),也说明函数图象关于直线,x=a,对称,.,(2),若函数,f,(,x,),对任意,x,有,f,(,a-x,),=f,(,b+x,),则函数,f,(,x,),图象对称轴为,20/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(1),若将上题,(1),中条件,“,在区间,-,1,2,上是单调,”,改为,“,在,-,1,2,上是单调递减,”,m,取值又将怎样,?,(2),假如函数,f,(,x,),=x,2,+bx+c,对于任意实数,t,都有,f,(2,+t,),=f,(2,-t,),那么,(,),A.,f,(2),f,(1),f,(4)B.,f,(1),f,(2),f,(4),C.,f,(4),f,(2),f,(1)D.,f,(2),f,(4),f,(1),解析,:,(1),由新变换条件可知对称轴,x=-m,2,即,m,-,2,.,(2),由,f,(2,+t,),=f,(2,-t,),可知,抛物线,y=x,2,+bx+c,对称轴是直线,x=,2,由函数单调性可得,f,(2),f,(1),f,(4),.,答案,:,(1),m,-,2,(2)A,21/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,二次函数最值,(,值域,),【例,4,】,已知函数,f,(,x,),=x,2,+,2,ax+,2,.,(1),当,a=-,1,时,求函数,f,(,x,),在区间,-,5,5,上最大值和最小值,;,(2),用,a,表示出函数,f,(,x,),在区间,-,5,5,上最值,.,分析,:,将原函数先配方,对于第,(2),问还要结合图象进行分类讨论,.,解,:,(1),当,a=-,1,时,f,(,x,),=x,2,-,2,x+,2,=,(,x-,1),2,+,1,因为,1,-,5,5,故当,x=,1,时,f,(,x,),取得最小值,f,(,x,),min,=f,(1),=,1;,当,x=-,5,时,f,(,x,),取得最大值,f,(,x,),max,=f,(,-,5),=,(,-,5,-,1),2,+,1,=,37,.,(2),函数,f,(,x,),=x,2,+,2,ax+,2,=,(,x+a,),2,+,2,-a,2,图象开口向上,对称轴为,x=-a.,当,-a,-,5,即,a,5,时,函数在区间,-,5,5,上是增函数,所以,f,(,x,),max,=f,(5),=,27,+,10,a,f,(,x,),min,=f,(,-,5),=,27,-,10,a,;,22/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当,-,5,-a,0,即,0,a,5,时,函数图象如图,所表示,由图象可得,f,(,x,),min,=f,(,-a,),=,2,-a,2,f,(,x,),max,=f,(5),=,27,+,10,a,;,当,0,-a,5,即,-,5,a,0,时,函数图象如图,所表示,由图象可得,f,(,x,),max,=f,(,-,5),=,27,-,10,a,f,(,x,),min,=f,(,-a,),=,2,-a,2,;,当,-a,5,即,a,-,5,时,函数在区间,-,5,5,上是减函数,所以,f,(,x,),min,=f,(5),=,27,+,10,a,f,(,x,),max,=f,(,-,5),=,27,-,10,a.,综上可得,当,a,5,时,f,(,x,),在区间,-,5,5,上最大值为,27,+,10,a,最小值为,27,-,10,a,;,23/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,当,0,a,5,时,f,(,x,),在区间,-,5,5,上最大值为,27,+,10,a,最小值为,2,-a,2,;,当,-,5,a,0),最值问题,首先应采取配方法,化为,y=a,(,x-h,),2,+k,形式,.,(1),求二次函数在定义域,R,上最值,;,(2),求二次函数在闭区间上最值共有三种类型,:,顶点固定,区间也固定,.,此种类型是较为简单一个,只要找到对称轴,画出图象,将区间标出,最值一目了然,.,顶点变动,区间固定,.,这种类型是比较主要,在高考题中屡次出现,主要是讨论顶点横坐标即对称轴在区间左侧、在区间内部以及在区间右侧等情况,然后依据不一样情况写出最值,.,顶点固定,区间变动,.,此种情况用较少,在区间里含有参数,依据区间分别在对称轴左侧、包含对称轴以及在对称轴右侧进行讨论,.,25/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,2,设,f,(,x,),=x,2,-,4,x-,4,x,t,t+,1(,t,R,),求函数,f,(,x,),最小值,g,(,t,),解析式,.,分析,:,本题属于轴定区间动情形,分三种情况讨论,f,(,x,),最小值,.,解,:,f,(,x,),=,(,x-,2),2,-,8,x,t,t+,1,当,2,t,t+,1,即,1,t,2,时,g,(,t,),=f,(2),=-,8,.,当,t+,1,2,即,t,2,时,f,(,x,),在,t,t+,1,上是增函数,g,(,t,),=f,(,t,),=t,2,-,4,t-,4,.,26/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,数形结合思想在二次函数中应用,【典例】,若方程,x,2,-,2,x-,3,=a,有两个不相等实数根,求实数,a,取值范围,.,思绪点拨,:,令,f,(,x,),=x,2,-,2,x-,3,g,(,x,),=a,将方程有两个不相等实数根转化为两个函数图象有两个不一样交点,.,27/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解,:,令,f,(,x,),=x,2,-,2,x-,3,g,(,x,),=a,作出,f,(,x,),图象如图所表示,.,f,(,x,),与,g,(,x,),图象交点个数即为方程,x,2,-,2,x-,3,=a,根个数,.,由图可知,当,a-,4,时,f,(,x,),与,g,(,x,),有两个公共点,即方程,x,2,-,2,x-,3,=a,有两个实根,.,总而言之,当方程,x,2,-,2,x-,3,=a,有两个实数根时,实数,a,取值范围是,(,-,4,+,),.,28/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛,若讨论,f,(,x,),=g,(,x,),根情况,不妨适当变形后令,y=f,(,x,),与,y=g,(,x,),两个函数,然后把方程根问题转化为两个函数图象交点问题,表达了数与形完美结合,.,29/33,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,已知方程,x,2,-,4,|x|+,5,=m,有四个全不相等实根,则实数,m,取值范围是,.,30/33,1,.,函数,y=-x,2,+,2,最值情况为,(,),A.,有最小值,2,无最大值,B.,有最大值,2,无最小值,C.,有最小值,0,无最大值,D.,有最大值,2,有最小值,0,答案,:,B,2,.,已知二次函数,y=ax,2,+bx+,1,图象对称轴是,x=,1,而且经过点,A,(,-,1,7),则,a,b,值分别是,(,),A.2,4B.2,-,4C.,-,2,4D.,-,2,-,4,31/33,3,.,若一次函数,y=ax+b,(,a,0),图象经过第二、三、四象限,则二次函数,y=ax,2,+bx,(,a,0),图象只可能是,(,),解析,:,由,y=ax+b,(,a,0),图象经过第二、三、四象限,得,a,0,b,0,所以,y=ax,2,+bx,(,a,0),图象开口向下,且对称轴,故选,C,.,答案,:,C,4,.,若函数,f,(,x,),=ax,2,+,2,x-,4,图象位于,x,轴下方,则,a,取值范围是,.,32/33,5,.,已知二次函数图象如图,求其解析式及顶点,M,坐标,.,33/33,
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