高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念课件省公开课一等.pptx

,第三章导数及其应用,3.1改变率与导数,3.1.1改变率问题,3.1.2导数概念,1/57,【自主预习】,1.函数,y=f(x),从x,1,到x,2,平均改变率,(1)定义式:_.,(2)实质:_增量与_增量之比.,(3)作用:刻画函数值在区间x,1,x,2,上改变快慢.,函数值,自变量,2/57,2.函数瞬时改变率,定义式,实质,瞬时改变率是当自变量改变量趋近于0时,_趋近值,作用,刻画函数在_处改变快慢,平均改变率,某一点,3/57,3.导数概念,定义式,记法,_或,实质,函数y=f(x)在x=x0处导数就是y=f(x)在x=x0处_,f(x,0,),瞬时改变率,4/57,【即时小测】,1.若函数y=f(x)=2x,2,-1图象上一点(1,1)及其邻近一点(1+x,1+y),则 等于(),A.4 B.4x,C.4+2x D.4+2(x),2,5/57,【解析】,选C.因为y=f(1+x)-f(1)=2(1+x),2,-1-2+1=4x+2x,2,所以 =4+2x.,6/57,2.质点运动规律s=t,2,+3,则在时间3,3+t中,对应平均速度等于(),A.6+t B.6+t+,C.3+t D.9+t,【解析】,选,A.,故选,A.,7/57,3.质点运动规律s=t,2,+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2s时瞬时速度是(),A.5m/sB.6m/sC.7m/sD.8m/s,8/57,【解析】,选C.因为s=s(2+t)-s(2),=(2+t),2,+3(2+t)-(2,2,+32),=(t),2,+7t,所以,所以当t趋近于0时,趋近于7.故该物体在2s时,瞬时速度是7m/s.,9/57,4.如图,函数y=f(x)在A,B两点间平均改变率是,.,10/57,【解析】,答案:,-1,11/57,5.函数y=f(x)=在x=1处瞬时改变率为,.,12/57,【解析】,因为y=f(1+x)-f(1)=,所以 所以当x趋近于0时,趋近于-1.,故函数f(x)在x=1处瞬时改变率为-1.,答案:,-1,13/57,【知识探究】,探究点1,函数y=f(x)从x,1,到x,2,平均改变率,1.在平均改变率定义中,自变量x在x,0,处改变量x是否能够为任意实数,y呢?,提醒,:,在平均改变率定义中,改变量,x,可正、可负,但不能等于,0;,而,y,能够为任意实数,.,14/57,2.若两个函数在区间x,1,x,2,上平均改变率都是正数,平均改变率大小对函数改变有什么影响?,提醒,:,函数在区间,x,1,x,2,上平均改变率刻画函数在区间上改变快慢,改变率越大改变越快,.,15/57,【归纳总结】,1.对于平均改变率了解,(1)y=f(x)在区间x,1,x,2,上平均改变率是曲线y=f(x)在区间x,1,x,2,上陡峭程度“数量化”,曲线陡峭程度是平均改变率“视觉化”.,(2)平均改变率绝对值越大,曲线y=f(x)在区间x,1,x,2,上越“陡峭”,反之亦然.,16/57,2.关于平均改变率两个意义,(1)平均改变率几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P,1,(x,1,f(x,1,),P,2,(x,2,f(x,2,)所在直线斜率.,(2)平均改变率物理意义是把位移s看成时间t函数s=s(t),在时间段t,1,t,2,上平均速度,即,17/57,尤其提醒:增量并不一定都是正值,也能够负值,函数值增量还能够是0,比如常数函数,其函数值增量就是0.,18/57,探究点2,函数瞬时改变率及导数,1.匀速直线运动瞬时速度与平均速度相等吗?,提醒,:,因为匀速直线运动速度瞬时改变率为,0,所以匀速直线运动瞬时速度与平均速度相等,.,19/57,2.依据导数概念,函数在某个点处一定存在瞬时改变率吗?,提醒,:,在某一点处当自变量改变量趋近于,0,平均改变率趋近于一个常数,函数存在瞬时改变率,不然不存在,.,20/57,【归纳总结】,1.对瞬时速度两点说明,(1)瞬时速度即位移函数相对于时间瞬时改变率.,(2)当t在改变中趋近于0时,比值 趋近于一个确,定常数,此常数称为t,0,时刻瞬时速度.,21/57,2.函数f(x)在x,0,处导数,(1)当x0时,比值 极限存在,则f(x)在点x,0,处,可导;若 极限不存在,则f(x)在点x,0,处不可导或无,导数.,(2)在点x=x,0,处导数定义可变形为f(x,0,)=,或f(x,0,)=,22/57,【拓展延伸】,平均改变率与瞬时改变率关系,(1)区分:平均改变率刻画函数值在区间x,1,x,2,上改变,快慢,瞬时改变率刻画函数值在x,0,点处改变快慢.,(2)联络:当x趋于0时,平均改变率 趋于一个常,数,这个常数即为函数在x,0,处瞬时改变率,它是一个,固定值.,23/57,尤其提醒:“x无限趋近于0”含义:,x趋于0距离要多近有多近,即|x-0|能够小于给定任意小正数,且一直x0.,24/57,类型一,求函数平均改变率,【典例】,1.一物体运动方程是s=3+2t,则在2,2.1,这段时间内平均速度是(),A.0.4B.2C.0.3D.0.2,2.求函数y=f(x)=x,2,在x=1,2,3附近平均改变率,取,x都为 ,哪一点附近平均改变率最大?,25/57,【解题探究】,1.典例1中,位移与时间改变量分别是什么?,提醒,:,位移改变量是,s=(3+2,2.1)-(3+2,2)=0.2,时间改变量是,t=2.1-2=0.1.,2.典例2中,函数值改变量y表示式是什么?,提醒,:,y,表示式是,f(x,0,+,x)-f(x,0,).,26/57,【解析】,1.选B.因为s=(3+22.1)-(3+22)=0.2,t=2.1-2=0.1,所以,2.在x=1附近平均改变率为,在x=2附近平均改变率为,27/57,在x=3附近平均改变率为,当,因为k,1,k,2,0,故t,0,=3s,所以物体在3s时瞬时速度为27m/s.,39/57,【方法技巧】,1.求运动物体瞬时速度三个步骤,(1)求时间改变量t和位移改变量s=s(t,0,+t)-s(t,0,).,(2)求平均速度,(3)求瞬时速度,当t无限趋近于0时,无限趋近于常,数v,即为瞬时速度.,40/57,2.求 (当x无限趋近于0时)极限方法,(1)在极限表示式中,可把x作为一个数来参加运算.,(2)求出 表示式后,x无限趋近于0就是令x=0,求出结果即可.,41/57,【赔偿训练】,一物体做初速度为0自由落体运动,运,动方程为s=gt,2,(g=10m/s,2,位移单位:m,时间单位:s),求:,(1)物体在t,0,到t,0,+t这段时间内平均速度.,(2)物体在t=t,0,时瞬时速度.,42/57,【解析】,(1)物体在t,0,到t,0,+t这段时间内位移增量,则平均速度,43/57,(2)物体在t=t,0,时瞬时速度为,44/57,类型三,求函数在某点处导数,【典例】,1.(临沂高二检测)函数y=f(x)=2x,2,+4x,在x=3处导数为,.,2.求函数y=x+在x=1处导数.,45/57,【解题探究】,1.典例1中当x=3时y等于什么?,提醒,:,当,x=3,时,y=2(3+,x),2,+4(3+,x)-(2,3,2,+4,3)=2(,x),2,+16,x.,2.典例2中函数在x=1处函数改变量是什么?,提醒,:,函数改变量是,y=(1+,x)+,46/57,【解析】,1.因为y=2(3+x),2,+4(3+x)-(23,2,+43)=2(x),2,+16x,=2x+16,所以f(3)=(2x+16)=16.,答案:,16,47/57,2.因为,所以,所以,故函数y=x+在x=1处导数为0.,48/57,【方法技巧】,求函数y=f(x)在点x,0,处导数三个步骤,简称:一差、二比、三极限.,49/57,【拓展延伸】,瞬时改变率几个变形形式,50/57,【变式训练】,求函数f(x)=在x=1处导数.,【解析】,由导数定义知,函数在,x=1,处导数,51/57,【赔偿训练】,求函数y=x,2,+ax+b(a,b为常数)在x处导数.,【解析】,y=(x+x),2,+a(x+x)+b-(x,2,+ax+b),=2xx+(x),2,+ax,=(2x+a)x+(x),2,52/57,=2x+a+x,(2x+a+x)=2x+a,所以,f(x)=2x+a.,53/57,自我纠错,导数定义式在解题中应用,【典例】,已知f(x,0,)=a,则,值为(),A.-2aB.2aC.aD.,54/57,【失误案例】,55/57,分析解题过程,找犯错误之处,并写出正确答案.,提醒,:,不能正确地把已知条件转化为平均改变率极限,误认为,=a.,正确解答过程以下,:,56/57,【解析】,选B.若f(x,0,)=a,则 =a,又,=2,=2 =2f(x,0,)=2a.,57/57,