高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.5与圆有关的比例线段省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件.pptx

,-,*,-,五,与圆有关的比例线段,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,-,*,-,-,*,-,五,与圆有关的比例线段,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,首页,-,*,-,五,与圆有关的比例线段,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课前篇,自主预习,-,*,-,五,与圆有关的比例线段,首页,课前篇,自主预习,课堂篇,合作学习,课堂篇,合作学习,五,与圆相关百分比线段,1/32,2/32,1,.,相交弦定理,(1),文字叙述,:,圆内两条相交弦,被交点分成两条线段,长积,相等,.,(2),图形及符号表示,:,如图,AB,CD,是,O,两条弦,AB,CD,相交于点,P,则,PA,PB=,PC,PD,.,3/32,名师点拨,由相交弦定理可得以下推论,:,假如弦与直径垂直相交,那么弦二分之一是它分直径所成两条线段百分比中项,.,如图,若,AB,是圆,O,直径,弦,CD,与,AB,垂直,则,PC,2,=PD,2,=PAPB.,4/32,【做一做,1,】,如图,圆,O,两条弦,AB,与,CD,相交于点,P.,若,PC=,1,PD=,8,且,P,为,AB,中点,则,AB=,.,5/32,2,.,割线定理,(1),文字叙述,:,从圆外一点引圆两条割线,这一点到每条割线与圆交点两条线段长积,相等,.,(2),图形及符号表示,:,如图,PA,和,PC,是圆,O,两条割线,与圆分别交于点,B,A,和,D,C,则,PA,PB=PC,PD.,6/32,【做一做,2,】,如图,已知圆,O,两条割线,PAB,与,PCD.,若,PC=,2,CD=,5,则,PA,PB=,.,解析,:,由割线定理,得,PA,PB=PC,PD,故,PA,PB=,2,(2,+,5),=,14,.,答案,:,14,7/32,3,.,切割线定理,(1),文字叙述,:,从圆外一点引圆切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点两条线段长,百分比中项,.,(2),图形及符号表示,:,如图,从,O,外一点,P,引圆切线,PA,和割线,PBC,A,是切点,则,PA,2,=PB,PC.,8/32,【做一做,3,】,如图,PM,是圆,O,切线,PAB,是圆,O,割线,.,若,PM=,4,PA=,2,则,AB=,.,解析,:,由切割线定理,得,PM,2,=PA,PB,故,4,2,=,2(2,+AB,),解得,AB=,6,.,答案,:,6,9/32,4,.,切线长定理,(1),文字叙述,:,从圆外一点引圆两条切线,它们,切线长,相等,圆心和这一点连线平分,两条切线,夹角,.,(2),图形及符号表示,:,如图,PA,PB,分别与,O,相切于点,A,B,则,PA=PB,OPA=,OPB.,尤其提醒,1,.,切线长定理在证实线段相等、角相等及垂直关系中占有主要地位,故为重点,.,2,.,切割线定理和切线长定理实际上是割线定理特例,.,10/32,【做一做,4,】,如图,PM,PN,是圆,O,两条切线,切点为,M,N.,若,MON=,110,则,MPO=,.,解析,:,由切线长定理可知,PM=PN,OPN=,OPM,而,MON=,110,所以,MPN=,70,从而,MPO=,35,.,答案,:,35,11/32,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),若圆,O,两条割线是,PAB,与,PCD,则,PA,AB=PC,CD.,(,),(2),假如,AB,CD,是,O,两条相交弦,交点为,P,且,AB,被点,P,平分,那么,PA,是,PC,与,PD,百分比中项,.,(,),(3),假如圆一条弦与直径垂直相交,那么弦二分之一是它分直径所成两条线段百分比中项,.,(,),(4),假如,PAB,PCD,是,O,两条割线,且,PA=PC,那么,PB,与,PD,相等,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),12/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,相交弦定理应用,【例,1,】,如图,在圆,O,中,M,N,是弦,AB,三等分点,弦,CD,CE,分别经过点,M,N.,若,CM=,2,MD=,4,CN=,3,则线段,NE,长为,(,),答案,:,A,13/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,反思感悟用相交弦定理处理问题步骤,1,.,结合图形,找准分点及线段被分点所分成线段,;,2,.,正确应用相交弦定理列出关系式,;,3,.,代入数值运算,求出正确答案,.,14/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,变式训练,1,如图,AC,为,O,直径,弦,BD,AC,于点,P,PC=,2,PA=,8,则,tan,ACD,值为,.,解析,:,AC,为,O,直径,弦,BD,AC,PB=PD,APB=,90,.,由相交弦定理,得,PB,PD=PA,PC,即,PB,2,=,8,2,=,16,PB=,4,.,B=,ACD,tan,ACD=,tan,B=,2,.,答案,:,2,15/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,切割线定理应用,【例,2,】,如图,AD,为,O,直径,AB,为,O,切线,割线,BMN,交,AD,延长线于,C,且,BM=MN=NC,AB=,.,求,:(1),BC,长,;(2),O,半径,r.,分析,:,对于,(1),可由切割线定理求得,BM,长,从而,求出,BC,长度,;,对于,(2),应由割线定理求得半径,.,解,:,(1),不妨设,BM=MN=NC=x.,16/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,反思感悟,1,.,应用切割线定理普通步骤,(1),观察图形,寻找切割线定理成立条件,;,(2),找准相关线段长度,列出等式,;,(3),解方程,求出结果,.,2,.,应用切割线定理及割线定理前提条件,只有从圆外一点才能作出圆切线和割线,所以才可能用到割线定理或切割线定理,切割线定理是指一条切线和一条割线,而割线定理则是指两条割线,只有搞清前提,才能正确利用定理,.,17/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,变式训练,2,如图,AB,切,O,于,B,ACD,为割线,E,为,中点,BE,交,DC,于,F.,求证,:,AF,2,=AC,AD.,证实,:,连接,BC,BD.,E,为,中点,DBE=,CBE.,又,AB,是,O,切线,ABC=,CDB.,ABC+,CBE=,DBE+,CDB,即,ABF=,AFB.,AB=AF.,又,AB,是,O,切线,ACD,为割线,由切割线定理可知,AC,AD=AB,2,AF,2,=AC,AD.,18/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,切线长定理应用,【例,3,】,如图,已知,AB,是,O,直径,C,为圆上任意一点,过点,C,切线分别与过,A,B,两点切线交于,P,Q.,求证,:,AB,2,=,4,AP,BQ.,分析,:,一个思绪是证实,AOP,BQO,经过对应边成百分比结合切线长定理进行证实,;,另一个思绪是在,Rt,POQ,中,利用射影定理结合切线长定理进行证实,.,19/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,证实,:,(,证法,1),如图,连接,OP,OQ.,AP,PQ,BQ,为,O,切线,1,=,2,3,=,4,.,AP,BQ,为,O,切线,AB,为直径,AB,AP,AB,BQ,AP,BQ.,A=,B=,90,1,+,2,+,3,+,4,=,180,.,1,+,4,=,2,+,3,=,90,.,又,1,+,5,=,90,4,=,5,.,(,证法,2),连接,OC,同上可证得,2,+,3,=,90,.,PQ,切,O,于点,C,OC,PQ.,在,Rt,PQO,中,由射影定理,得,OC,2,=PC,CQ.,利用切线长定理,有,PC=AP,CQ=BQ,OC,2,=AP,BQ.,OC=AB,AB,2,=,4,AP,BQ.,20/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,反思感悟,利用切线长定理时,应首先分析其中等量关系,即,(1),切线长相等,;(2),圆外点与圆心连线平分两条切线夹角,然后结合三角形等图形相关性质进行计算与证实,.,21/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,变式训练,3,如图,AB,是,O,直径,C,是,O,上一点,过点,C,切线与过,A,B,两点切线分别交于点,E,F,AF,与,BE,交于点,P.,求证,:,EPC=,EBF.,证实,:,EA,EF,FB,是,O,切线,EA=EC,FC=FB.,EA,FB,切,O,于,A,B,AB,是直径,22/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,圆中百分比线段综合问题,【典例】,如图,O,直径,AB,延长线与弦,CD,延长线相交于点,P,E,为,O,上一点,DE,交,AB,于点,F.,(1),证实,:,DF,EF=OF,FP,;,(2),当,AB=,2,BP,时,证实,:,OF=BF.,【审题策略】,(1),证实,OFE,DFP,后利用对应边成百分比求解,;,(2),利用相交弦定理化简证实,.,23/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,【规范展示】,(1),连接,OE.,所以,AOE=,CDE,所以,EOF=,PDF.,又,EFO=,PFD,所以,OFE,DFP.,故,DF,EF=OF,FP.,(2),设,BP=a,由,AB=,2,BP,得,AO=BO=BP=a,由相交弦定理得,DF,EF=AF,BF,所以,AF,BF=OF,FP,所以,(,a+OF,),BF=OF,(,a+BF,),整理可得,OF=BF.,24/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,【答题模板】,(1),第,1,步,:,作辅助线,;,第,2,步,:,证实两个三角形相同,;,第,3,步,:,得到成百分比线段,证得结论,.,(2),第,1,步,:,利用相交弦定理得到成百分比线段,;,第,2,步,:,结合,(1),结论得到欲证线段之间关系,;,第,3,步,:,整理即得所证结论,.,失误警示,经过阅卷统计分析,造成失分原因是,:,(1),不能正确地作出辅助线,无法后续证实,;,(2),不会利用圆周角定理以及圆心角定理,从而无法证实三角形相同,;,(3),不能正确地利用相交弦定理得到成百分比线段,;,(4),不能合理地对线段进行分解,造成无法和欲证问题联络,.,25/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,变式训练,如图,P,是,O,外一点,PA,是切线,A,为切点,割线,PBC,与,O,相交于点,B,C,PC=,2,PA,D,为,PC,中点,AD,延长线交,O,于点,E.,求证,:(1),BE=EC,;(2),AD,DE=,2,PB,2,.,26/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,证实,:,(1),因为,PC=,2,PA,PD=DC,所以,PA=PD,PAD,为等腰三角形,.,连接,AB,设,PAB=,DEB=,BCE=,BAE=.,因为,PAB+,BCE=,PAB+,BAD=,PAD=,PDA,=,DEB+,DBE,所以,+=+,DBE,所以,=,DBE,即,BCE=,DBE,所以,BE=EC.,(2),因为,AD,DE=BD,DC,PA,2,=PB,PC,PD=DC=PA,所以,PA,2,=PB,PC=PB,2,PA,即,PA=,2,PB,所以,BD,DC=,(,PA-PB,),PA=PA,2,-PB,PA=PB,PC-PB,PA,=PB,(,PC-PA,),=PB,PA=PB,2,PB=,2,PB,2,故,AD,DE=,2,PB,2,.,27/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,1,.,设圆内两条相交弦,其中一条弦长为,8 cm,且被交点平分,另一条弦被交点分成,1,4,两部分,则这条弦长是,(,),A.2 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm,解析,:,设另一条弦被分成,x,cm,、,4,x,cm,两部分,则,=x,4,x,解得,x=,2,故这条弦长为,10,cm,.,答案,:,C,28/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,答案,:,B,29/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,3,.,如图,PA,PB,是,O,两条切线,A,B,为切点,连接,OP,交,AB,于,C,连接,OA,OB,则图中等腰三角形、直角三角形个数分别为,(,),A.1,2B.2,2C.2,6D.1,6,解析,:,PA,PB,为,O,切线,OA,AP,OB,PB,PA=PB,OP,平分,APB,OP,AB.,直角三角形有,6,个,:,OAP,OBP,OCA,OCB,ACP,CBP,;,等腰三角形有,2,个,:,OAB,ABP.,答案,:,C,30/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,4,.,如图,过点,P,直线与,O,相交于,A,B,两点,.,若,PA=,1,AB=,2,PO=,3,则,O,半径等于,.,31/32,探究一,探究二,探究三,规范解答,当堂检测,5,.,如图,在两圆公共弦,AB,上,任取一点,G,过点,G,作直线交,O,1,于点,C,D,交,O,2,于点,E,F.,求证,:,CG,ED=EG,CF.,证实,:,AB,与,CD,是,O,1,相交弦,AG,BG=CG,DG.,同理在,O,2,中,AG,BG=EG,FG.,CG,DG=EG,FG,32/32,