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-,*,-,1,.,1,.,2,棱柱、棱锥和棱台结构特征,1/43,2/43,一,二,三,四,五,一、多面体及其相关概念,【问题思索】,1,.,你见过表面是平面几何体最少有几个面,?,几个顶点,?,几条棱,?,提醒,:,最简单是由四个平面三角形围成几何体,有,4,个面,4,个顶点,6,条棱,.,3/43,一,二,三,四,五,2,.,填空,:(1),定义,.,由若干个,平面多边形,所围成几何体叫多面体,.,(2),相关概念,.,(3),凸多面体,.,把一个多面体任意一个面延展为平面,假如其余各面,都在这个平面同一侧,则这么多面体就叫做凸多面体,.,4/43,一,二,三,四,五,二、棱柱,【问题思索】,1,.,有些人说,:,有两个面相互平行,其余各面都是平行四边形几何体是棱柱,.,你认为这种说法对吗,?,提醒,:,这种说法不对,.,反比如图所表示,.,即使这个几何体满足上述条件,但这个几何体不是棱柱,.,5/43,一,二,三,四,五,2,.,填空,:(1),棱柱概念,.,有两个面相互平行,其余各面都是,四边形,而且每相邻两个四边形公共边都相互,平行,由这些面围成多面体叫做棱柱,.,棱柱中,两个相互平行面叫做棱柱,底面,;,其余各面叫做棱柱,侧面,;,两侧面公共边叫做棱柱,侧棱,;,底面与侧面公共顶点叫做棱柱,顶点,.,棱柱两底面之间距离叫做棱柱,高,.,(2),棱柱表示法,.,用表示两底面对应顶点字母或者用一条对角线端点两个字母来表示,.,6/43,一,二,三,四,五,(3),棱柱分类,.,按底面多边形,边数,分为三棱柱、四棱柱、五棱柱,棱柱又分为斜棱柱和直棱柱,.,侧棱与底面不垂直棱柱叫做,斜,棱柱,侧棱与底面垂直棱柱叫做,直,棱柱,底面是正多边形直棱柱叫做,正棱柱,.,底面是平行四边形棱柱叫做,平行六面体,.,侧棱与底面垂直平行六面体叫做,直平行六面体,底面是矩形直平行六面体是,长方体,棱长都相等长方体是,正方体,.,7/43,一,二,三,四,五,3,.,做一做,:,以下说法正确是,(,),(1),棱柱各个侧面都是平行四边形,;,(2),棱柱两底面是全等正多边形,;,(3),有一个侧面是矩形棱柱是直棱柱,;,(4),有两个侧面是矩形棱柱是直棱柱,.,A.(2)(3)B.(1)(2)(4),C.(1)D.(1)(4),解析,:,由棱柱定义可知,(1),正确,(2)(3)(4),均不正确,.,其中,(2),中两底面全等,但不一定是正多边形,(3)(4),均不能确保侧棱与底面垂直,.,答案,:,C,8/43,一,二,三,四,五,三、棱锥,【问题思索】,1,.,能否这么叙述棱锥特征性质,:,有一个面是多边形,其余面是三角形几何体,.,提醒,:,不能,如图几何体,满足说法,但不是棱锥,.,9/43,一,二,三,四,五,2,.,填空,:(1),棱锥概念,.,有一面是,多边形,其余各面都是,有一个公共顶点三角形,这些面围成多面体叫做棱锥,.,棱锥中有公共顶点各三角形,叫做棱锥,侧面,;,各侧面公共顶点叫做棱锥,顶点,;,相邻两侧面公共边叫做棱锥,侧棱,;,多边形叫做棱锥,底面,.,顶点到底面距离,叫做棱锥,高,.,(2),棱锥表示法,.,用表示顶点和底面各顶点字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点字母来表示,.,(3),棱锥分类,.,按底面多边形,边数,分为三棱锥、四棱锥、五棱锥,10/43,一,二,三,四,五,(4),正棱锥概念,.,假如棱锥底面是,正多边形,且它顶点在过底面中心且与底面,垂直,直线上,则这个棱锥叫做正棱锥,.,正棱锥各侧面都是全等,等腰三角形,这些等腰三角形底边上高都相等,叫做棱锥,斜高,.,3,.,做一做,:,各棱长均为,a,三棱锥斜高为,.,11/43,一,二,三,四,五,四、棱台,【问题思索】,1,.,能否这么叙述棱台特征性质,:,有两个面平行且相同,其余面为梯形几何体,.,提醒,:,不能,.,如图几何体,满足上述性质,但不是棱台,.,所以要判断一个多面体是不是棱台,首先看两个底面是否平行,其次把侧棱延长看是否相交于一点,这两条都满足多面体才是棱台,.,12/43,一,二,三,四,五,2,.,填空,:(1),棱台概念,.,棱锥被,平行,于底面平面所截,截面,和,底面,间部分叫做棱台,.,原棱锥底面和截面分别称为棱台,下底面,和,上底面,;,其它各面叫做棱台,侧面,;,相邻两侧面公共边叫做棱台,侧棱,;,底面与侧面公共顶点叫做棱台,顶点,;,两底面间距离叫做棱台,高,.,(2),棱台表示法,.,用表示上下底面字母来表示,.,(3),棱台分类,.,按底面多边形,边数,分为三棱台、四棱台、五棱台,(4),正棱台概念,.,由,正棱锥,截得棱台叫做正棱台,.,正棱台各侧面都是全等,等腰梯形,这些等腰梯形高叫做棱台,斜高,.,13/43,一,二,三,四,五,3,.,做一做,:,下列图所表示几何体是棱台是,(,),解析,:,选项,A,中几何体四条侧棱延长后不相交于一点,;,选项,B,和选项,C,中几何体截面不平行于底面,;,只有选项,D,中几何体符合棱台定义与特征,.,答案,:,D,14/43,一,二,三,四,五,五、特殊四棱柱,【问题思索】,1,.,2,.,正四棱柱与长方体有何内在联络,?,提醒,:,正四棱柱一定是长方体,但长方体不一定是正四棱柱,用集合语言可描述为,正四棱柱,长方体,.,15/43,一,二,三,四,五,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内画,“,”,错误画,“,”,.,(1),每个面都是平行四边形几何体一定是棱柱,.,(,),(2),每个面都是三角形几何体一定是棱锥,.,(,),(3),底面是正多边形棱锥是正棱锥,.,(,),(4),棱台侧棱能够与底面垂直,.,(,),答案,:,(1),(2),(3),(4),16/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,棱柱结构特征,【例,1,】,(1),以下几何体是棱柱有,(,),A.5,个,B.4,个,C.3,个,D.2,个,17/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,(2),给出以下几个结论,:,长方体一定是正四棱柱,;,正方体一定是正四棱柱,;,长方体一定是直棱柱,;,有一条侧棱与底面两边垂直棱柱是直棱柱,;,有两个侧面是矩形棱柱是直棱柱,.,其中错误是,.,(,填序号,),18/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析,:,(1),棱柱结构特征有三方面,:,有两个面相互平行,;,其余各面是平行四边形,;,这些平行四边形面中,每相邻两个面公共边都相互平行,.,当一个几何体同时满足这三方面特征时,这个几何体才是棱柱,.,上述三方面特征都符合,是棱柱,;,没有两个平行面,所以不是,;,符合条件,是棱柱,;,即使有两个面平行,但其余各面不是平行四边形,所以不是,;,只有三角形面,不符合条件,所以不是,;,有两个平行面,但其余各面中有面不是平行四边形,所以,不是,.,所以符合条件只有,.,(2),侧棱垂直于底面棱柱是直棱柱,而底面为正多边形直棱柱是正棱柱,.,对照各结论知,错误,.,答案,:,(1)D,(2),19/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,判断一个几何体是棱柱依据及关键点,(1),依据,:,判断几何体是否是棱柱要紧紧围绕棱柱定义,.,(2),抓住三个关键点,.,底面,:,两个多边形全等且所在平面相互平行,.,侧面,:,都是平行四边形,.,侧棱,:,相互平行且相等,.,以上三点缺一不可,.,20/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,1,下面描述中,是棱柱结构特征有,.,(,填序号,),有一对面相互平行,;,侧面都是四边形,;,每相邻两个侧面公共边都相互平行,;,全部侧棱都交于一点,.,答案,:,21/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,棱锥、棱台结构特征,【例,2,】,以下关于棱锥、棱台说法,:,(1),用一个平面去截棱锥,底面和截面之间部分组成几何体叫棱台,;,(2),棱台侧面一定不会是平行四边形,;,(3),棱锥侧面只能是三角形,;,(4),由四个面围成封闭图形只能是三棱锥,;,(5),棱锥被平面截成两部分不可能都是棱锥,.,其中正确说法序号是,.,22/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解析,:,(1),错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间部分不是棱台,;,(2),正确,棱台侧面一定是梯形,而不是平行四边形,;,(3),正确,由棱锥定义知棱锥侧面只能是三角形,;,(4),正确,由四个面围成封闭图形只能是三棱锥,;,(5),错误,如图所表示四棱锥被平面,PBD,截成两部分都是棱锥,.,答案,:,(2)(3)(4),23/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,反思感悟,判断棱锥、棱台惯用方法,(1),举反例法,:,结合棱锥、棱台定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征一些说法不正确,.,(2),直接法,:,24/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,2,判断以下说法,正确是,(,),A.,全部面都是三角形几何体一定是三棱锥,B.,三棱锥每一个面都可作为底面,C.,底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形棱锥是正棱锥,D.,正棱锥全部棱长都相等,解析,:,如图,(1),几何体全部面都为三角形,但不是三棱锥,故,A,错,.,如图,(2),中,棱,AD=,1,其余棱长为,2,25/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,满足题意,但不是正三棱锥,故,C,错,.,正棱锥中,全部侧棱长都相等,故,D,错,.,而三棱锥又称四面体,每个面都是三角形,故每个面都可作为底面,故,B,正确,.,答案,:,B,26/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,相关正棱锥、正棱台中计算问题,【例,3,】,一个正四棱台上、下底面面积分别为,4,16,一侧面面积为,12,求该棱台斜高、高、侧棱长,.,解,:,如图,设,O,O,分别为上、下底面中心,即,OO,为正四棱台高,E,F,分别为,BC,BC,中点,则,EF,BC,EF,为斜高,.,由上底面面积为,4,上底面为正方形,可得,BC=,2;,同理,BC=,4,.,因为四边形,BCCB,面积为,12,所以,(2,+,4),EF=,12,所以,EF=,4,.,过,B,作,BH,BC,交,BC,于点,H,则,BH=BF-BE=,2,-,1,=,1,BH=EF=,4,.,在,Rt,BBH,中,27/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,28/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,3,若正四棱锥底面积为,4,侧棱长为,2,则其斜高为,.,解析,:,正四棱锥侧面为等腰三角形,如图,作,PE,CD,于点,E,则,PE,为斜高,E,为,CD,中点,.,由底面积为,4,知底面边长为,2,在,Rt,PCE,中,PC=,2,CE=,1,29/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,立体图形展开问题,【例,4,】,如图所表示,在四面体,P-ABC,中,PA=PB=PC=,2,.,APB=,BPC=,APC=,30,一只蜜蜂从,A,点出发沿四面体表面绕行一周,再回到,A,点,求蜜蜂经过最短旅程,.,30/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解,:,将四面体沿,PA,剪开,并展成如图所表示平面图形,则,AA,就是所求最短旅程,.,因为,APA=,90,PA=PA=,2,所以最短旅程,AA,为,2,.,反思感悟,处理空间几何体表面上两点间最短线路问题,普通都是将空间几何体表面按某一个方式展开,转化为求平面内两点间线段长,这表达了数学中转化思想,.,31/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,如图,在以,O,为顶点三棱锥中,过点,O,三条棱两两夹角都是,30,在一条棱上取,A,B,两点,OA=,4 cm,OB=,3 cm,以,A,B,为端点用一条绳子紧绕三棱锥侧面一周,求此绳在,A,B,两点间最短绳长,.,32/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,解,:,作出三棱锥侧面展开图,如图,A,B,两点间最短绳长就是线段,AB,长度,.,在,AOB,中,AOB=,30,3,=,90,OA=,4,cm,OB=,3,cm,所以此绳在,A,B,两点间最短绳长为,5,cm,.,33/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,利用多面体侧面展开图处理相关最值问题,键,这么求函数最小值就转化为在长方体棱,BB,上找一点,E,使折线,AEC,长度最短,.,34/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,35/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,方法点睛,1,.,高考中常将多面体与最值结合在一起进行考查,碰到这类问题时通常是先把多面体展成平面图形,再结合平面几何知识处理问题,.,2,.,本题假如正面求解确实很困难,题目标巧妙之处是结构了长方体,将函数最值问题转化为相关几何中距离最值问题,.,通常是将其转化为平面图形,利用两点间线段最短来求解,.,36/43,探究一,探究二,探究三,探究四,思想方法,变式训练,如图所表示,已知正三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,底面边长为,2 cm,高为,5 cm,则一质点自点,A,出发,沿着三棱柱侧面绕行两周抵达点,A,1,最短路线长为,cm,.,解析,:,依据题意,利用分割法将原三棱柱分割为两个相同三棱柱,然后将其展成如图所表示实线部分,则所求最短路线长为,=,13(cm),.,故填,13,.,答案,:,13,37/43,1,2,3,4,5,1,.,以下说法正确是,(,),A.,棱柱面中,最少有两个面相互平行,B.,棱柱中两个相互平行面一定是棱柱底面,C.,棱柱中一条侧棱长叫做棱柱高,D.,棱柱侧面是平行四边形,但它底面一定不是平行四边形,解析,:,由棱柱概念知,A,正确,D,错误,;,棱柱中两个相互平行面可能是棱柱侧面,故,B,错误,;,斜棱柱高不等于侧棱长,故,C,错误,.,答案,:,A,38/43,1,2,3,4,5,2,.,以下说法正确是,(,),A.,有一个面是多边形,其余各面是三角形几何体是棱锥,B.,四面体是四棱锥,C.,底面是正三角形,其余各面是等腰三角形棱锥是正三棱锥,D.,四棱锥侧面最多有四个直角三角形,解析,:,有一个面是多边形,其余各面是三角形几何体不一定是棱锥,故,A,错,;,四面体是三棱锥,故,B,错,;,底面是正三角形,其余各面是等腰三角形棱锥不一定是正三棱锥,故,C,错,;D,正确,.,答案,:,D,39/43,1,2,3,4,5,3,.,一个棱柱有,10,个顶点,全部侧棱长和为,60 cm,则每条侧棱长为,cm,.,解析,:,n,棱柱有,2,n,个顶点,因为此棱柱有,10,个顶点,所以此棱柱为五棱柱,.,又棱柱侧棱长都相等,由五条侧棱长和为,60,cm,可知每条侧棱长为,12,cm,.,答案,:,12,40/43,1,2,3,4,5,4,.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,棱长为,a,P,为棱,AA,1,中点,Q,为棱,BB,1,上任意一点,则,PQ+QC,最小值是,.,解析,:,将面,ABB,1,A,1,BCC,1,B,1,展开成平面图形,(,如图所表示,),则,PQ+QC,41/43,1,2,3,4,5,5,.,如图所表示,正四棱台,AC,高是,17 cm,两底面边长分别是,4 cm,和,16 cm,求这个棱台侧棱长和斜高,.,42/43,1,2,3,4,5,解,:,设棱台两底面中心分别是,O,和,O,BC,BC,中点分别是,E,E.,连接,OO,EE,OB,OB,OE,OE,则四边形,OBBO,与四边形,OEEO,都是直角梯形,.,在正方形,ABCD,中,BC=,16,cm,则,OB=,8 cm,OE=,8,cm;,在正方形,ABCD,中,BC=,4,cm,则,OB=,2 cm,OE=,2,cm,.,在直角梯形,OOBB,中,43/43,
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