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单击此处编辑母版文本样式,返回导航,第二章推理与证明,数学选修1-2人教 版,A,数 学,选修1-2 人教A版,新课标导学,1/39,第二章,推理与证实,2.2直接证实与间接证实,2.2.2反证法,2/39,1,自主预习学案,2,互动探究学案,3,课时作业学案,3/39,自主预习学案,4/39,夏天，在日本东京新宿区一幢公寓内，发生了一宗凶杀案，时间大约是下午4时左右警方经过三天深入调查后，终于拘捕到一个与案件相关疑犯，不过他向警方作出不在现场证实时，他说：,“,警察先生，事发当日，我一个人在箱根游玩，直至下午4时左右，我到芦之湖划船当初适值雨后天晴，我看到富士山旁西面天空上，横挂着一条漂亮彩虹，所以凶手是他人，不是我！,”,你知道嫌犯话露出了什么破绽吗？警方是怎样证实他在说谎呢？,5/39,1,反证法定义,普通地，假设原命题不成立，经过正确推理，最终得出_，所以说明假设_，从而证实了原命题_，这么证实方法叫做反证法反证法是间接证实一个基本方法,矛盾,错误,成立,6/39,2,反证法证题原理,(1)反证法原理是,“,否定之否定等于必定,”,(2)用反证法解题实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确,3,反证法常见矛盾类型,反证法关键是在正确推理下得出矛盾这个矛盾能够是与_矛盾，或与_矛盾，或与_、事实矛盾等,已知条件,假设,定义、公理、定理,7/39,4,反证法适用对象,作为一个间接证实方法，反证法尤其适合证实以下几类数学问题：,(1)直接证实需分各种情况；,(2)结论本身是以否定形式出现一类命题否定性命题；,(3)关于唯一性、存在性命题；,(4)_以,“,至多,”,、,“,最少,”,等形式出现命题；,(5)条件与结论联络不够显著，直接由条件推结论线索不够清楚，_反面是比原结论更详细、更轻易研究命题,结论,结论,8/39,C,9/39,C,10/39,D,11/39,假设,a,1或,b,1,12/39,13/39,互动探究学案,14/39,命题方向,1,用反证法证实否(肯)定性命题,15/39,16/39,规律方法,1.结论中含有,“,不,”“,不是,”“,不可能,”“,不存在,”,等词语命题称为否定性命题，这类问题正面比较含糊，而反面比较详细，适合使用反证法,2用反证法证题时，必须把结论否定作为条件使用，不然就不是反证法有时在证实命题,“,若,p,，则,q,”,过程中，即使否定了结论,q,，不过在证实过程中没有把,“,q,”,看成条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证实过程不是反证法,17/39,规律方法,本题已知条件为,p,、,q,三次幂，而结论中只有,p,、,q,一次幂，若直接证实，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但极难证，故考虑采取反证法,18/39,命题方向,2,用反证法证实,“,至多,”,、,“,最少,”,类命题,19/39,20/39,规律方法,1.当命题中出现,“,最少,”,、,“,至多,”,、,“,不都,”,、,“,都不,”,、,“,没有,”,、,“,唯一,”,等指示性词语时，宜用反证法,2用反证法证题，必须准确写出命题否定，把命题所包含全部可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大惯用反设词以下：,结论词,反设词,结论词,反设词,最少有一个,一个也没有,对全部x成立,存在某个,x,0,不成立,至多有一个,最少有两个,对任意,x,不成立,存在某个,x,0,成立,最少有n个,至多有,n,1个,p,或,q,p,且,q,至多有,n,个,最少有n1个,p,且,q,p,或,q,21/39,22/39,23/39,命题方向,3,用反证法证实存在性、唯一性命题,24/39,25/39,规律方法,1.证实,“,有且只有一个,”,问题，需要证实两个命题，即存在性和唯一性当证实结论以,“,有且只有,”,、,“,只有一个,”,、,“,唯一存在,”,等形式出现命题时，因为反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证实,2若结论反面情况有各种，则必须将全部反面情况一一驳倒，才能推断结论成立,26/39,解析,a,b,，,过,a,、,b,有一个平面,.,又,m,a,A,，,m,b,B,，,A,a,，,B,b,，,A,，,B,，又,A,m,，,B,m,，,m,.,即过,a,、,b,、,m,有一个平面,假设过,a,、,b,、,m,还有一个平面,异于平面,.,则,a,，,b,，,a,，,b,这与,a,b,，过,a,、,b,有且只有一个平面相矛盾所以，过,a,、,b,、,m,有且只有一个平面,27/39,准确写出反设,28/39,辨析,错解没有搞清原题待证结论是什么？造成反设错误,“,求证：,a,0，,b,0，,c,0,”,含义是,“,求证,a,、,b,、,c,三数都是正数,”,，故反设应为,“,假设,a,、,b,、,c,中最少有一个小于0.,”,正解,假设,a,、,b,、,c,中最少有一个小于0，不妨设,a,0，若,a,0，得,bc,0得，,b,c,a,0，,ab,bc,ac,a,(,b,c,),bc,0矛盾,又若,a,0，则,abc,0与,abc,0矛盾,故,“,a,0,”,不成立，,a,0，,同理可证,b,0，,c,0.,29/39,30/39,解析,假设方程,x,2,2,x,5,p,2,0有实根,则该方程判别式,44(5,p,2,)4(,p,2,4),0，,解得,p,2或,p,2，,若,p,2，则,p,2,0,2,p,10，,(,p,2)(2,p,1),0，与(,p,2)(2,p,1)0,2,p,10，,(,p,2)(2,p,1)0，与(,p,2)(2,p,1)0矛盾,所以假设不成立,故关于,x,方程,x,2,2,x,5,p,2,0无实根,31/39,分析综正当,分析法和综正当是对立统一两种方法一个命题用何种方法证实，要能针对详细问题进行分析，灵活地利用各种证法当不知从何入手时，有时能够利用分析法而取得处理，尤其是对于条件简单而结论复杂题目更是行之有效方法普通来说，对于较复杂证实，直接利用综正当往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦，所以，通惯用分析法探索证题路径，然后用综正当加以证实，或者在证实过程中综正当与分析法并用，所以分析法和综正当经常是结合在一起使用,这种边分析边综合证实方法，称为分析综正当，或称,“,两头挤法,”,分析综正当充分证实分析与综合之间互为前提、相互渗透、相互转化辩证统一关系，分析落点是综合起点，综合终点又成为深入分析起点,32/39,33/39,34/39,规律方法,(1)利用真数与底数相同，向同底转化(2)本题先用分析法把证实一个对数不等式转化为证实一个式子大于零，然后利用对数性质及放缩法证实(*)式成立，进而说明原命题成立前面为分析法，而中间证实(*)式成立为综正当，即分析法用来转化，综正当用来证实,35/39,D,36/39,D,37/39,B,a,，,b,不全为0,38/39,39/39,
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