资源描述
-,*,-,2.5,离散型随机变量均值与方差,1/36,2/36,一,二,一、离散型随机变量均值,(,数学期望,),设随机变量,X,可能取值为,a,1,a,2,a,r,取,a,i,概率为,p,i,(,i=,1,2,r,),即,X,分布列为,P,(,X=a,i,),=p,i,(,i=,1,2,r,),.,定义,X,均值为,a,1,P,(,X=a,1,),+a,2,P,(,X=a,2,),+,+a,r,P,(,X=a,r,),=,a,1,p,1,+a,2,p,2,+,+a,r,p,r,即随机变量,X,取值,a,i,乘上取值为,a,i,概率,P,(,X=a,i,),再求和,.,X,均值,也称作,X,数学期望,(,简称期望,),它是一个数,记为,EX,即,EX=,a,1,p,1,+a,2,p,2,+,+a,r,p,r,.,均值,EX,刻画是,X,取值,“,中心位置,”,这是随机变量,X,一个主要特征,.,3/36,一,二,名师点拨,随机变量分布相同,则它们均值一定相同,;,有相同均值两个分布未必相同,;,两个不一样分布也能够有相同均值,.,从上面三个方面表明分布描述了随机现象规律,从而也决定了随机变量均值,而均值只是刻画了随机变量取值,“,中心位置,”,这一主要特征,并不能完全决定随机变量性质,.,4/36,一,二,5/36,一,二,二、离散型随机变量方差,普通地,设,X,是一个离散型随机变量,我们用,E,(,X-EX,),2,来衡量,X,与,EX,平均偏离程度,E,(,X-EX,),2,是,(,X-EX,),2,期望,并称之为随机变量,X,方差,记为,DX,.,方差越小,则随机变量取值就越,集中,在其均值周围,;,反之,方差越大,则随机变量取值就越,分散,.,名师点拨,1,.DX,与,EX,都是实数,由,X,概率分布唯一确定,.,2,.,随机变量方差反应了随机变量,X,取值稳定与波动,集中与离散程度,.DX,越小,稳定性越高,波动越小,.,显然,DX,0,.,6/36,一,二,7/36,一,二,思索辨析,判断以下说法是否正确,正确在后面括号内打,“,”,错误打,“,”,.,(1),均值就是算术平均数,与概率无关,.,(,),(2),随机变量均值是常数,样本平均值是随机变量,它不确定,.,(,),(3),随机变量方差反应了随机变量取值偏离均值平均程度,方差越小,则偏离均值平均程度越小,.,(,),(4),均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量情况,所以它们是一回事,.,(,),答案,(1),(2),(3),(4),8/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,1,】,某企业拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位教授,独立地对每位大学生创业方案进行评审,.,假设评审结果为,“,支持,”,或,“,不支持,”,概率都是,若某人取得两个,“,支持,”,则给予,10,万元创业资助,;,若只取得一个,“,支持,”,则给予,5,万元资助,;,若未取得,“,支持,”,则不予资助,令,表示该企业资助总额,.,(1),写出,分布列,;,(2),求均值,E.,9/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,两位教授给三个方案做评审,则结果为支持个数,X,可能为,0,1,2,3,4,5,6,.,本题可视为进行,6,次独立重复试验,取得支持即为试验成功,则取得支持个数,X,服从,n=,6,p=,二项分布,.,由题意知,X=,0,对应,=,0,X=,1,对应,=,5,X=,2,对应,=,10,X=,3,对应,=,15,X=,4,对应,=,20,X=,5,对应,=,25,X=,6,对应,=,30,.,10/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,11/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,求离散型随机变量均值步骤,(1),了解,X,意义,写出,X,可能取全部值,;,(2),求,X,取每个值概率,;,(3),写出,X,分布列,(,有时能够略,);,(4),由均值定义求,EX.,12/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,13/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,14/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,2,】,袋中有,20,个大小,、形状、质地,相同球,其中记上,0,号有,10,个,记上,n,号有,n,个,(,n=,1,2,3,4),.,现从袋中任取一球,表示所取球标号,.,求,分布列、均值和方差,.,分析,先列出随机变量分布列,然后依据方差计算公式进行计算,.,15/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,16/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,求离散型随机变量方差普通步骤,(1),了解,X,意义,写出,X,可能取全部值,;,(2),求,X,取每个值概率,;,(3),写出,X,分布列,(,有时题中已给出,有时能够省略,);,(4),由均值定义求,EX,;,(5),由方差定义求,DX.,17/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,18/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,为回馈用户,某商场拟经过摸球兑奖方式对,1 000,位用户进行奖励,要求,:,每位用户从一个装有,4,个标有面值球,(,球大小、形状、质地都相同,),袋中一次性随机摸出,2,个球,球上所标面值之和为该用户所获奖励额,.,(1),若袋中所装,4,个球中有,1,个所标面值为,50,元,其余,3,个均为,10,元,求,:,用户所获奖励额为,60,元概率,;,用户所获奖励额分布列及均值,.,(2),商场对奖励总额预算是,60 000,元,并要求袋中,4,个球只能由标有面值,10,元和,50,元两种球组成,或标有面值,20,元和,40,元两种球组成,.,为了使用户得到奖励总额尽可能符合商场预算且每位用户所获奖励额相对均衡,请对袋中,4,个球面值给出一个适当设计,并说明理由,.,19/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,20/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2),依据商场预算,每个用户平均奖励额为,60,元,.,所以,先寻找均值为,60,元可能方案,.,对于面值由,10,元和,50,元组成情况,假如选择,(10,10,10,50),方案,因为,60,元是面值之和最大值,所以均值不可能为,60,元,;,假如选择,(50,50,50,10),方案,因为,60,元是面值之和最小值,所以均值也不可能为,60,元,所以可能方案是,(10,10,50,50),记为方案,1,.,对于面值由,20,元和,40,元组成情况,同理可排除,(20,20,20,40),和,(40,40,40,20),方案,所以可能方案是,(20,20,40,40),记为方案,2,.,21/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,22/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,23/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用均值与方差处理实际问题方法,(1),对实际问题进行详细分析,将实际问题转化为数学问题,并将问题中随机变量设出来,.,(2),依据随机变量取每一个值时所表示详细事件,求出其对应概率,.,(3),依据均值与方差定义、公式求出对应均值与方差值,.,(4),依据均值与方差意义对实际问题作出决议或给出合理解释,.,24/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,有甲、乙两种建筑材料,从中各取等量样品检验它们抗拉强度,搜集数据以下,:,其中,X,甲,X,乙,分别表示甲、乙两种材料抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于,120,试比较甲、乙两种建筑材料质量情况,.,25/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,EX,甲,=,110,0,.,1,+,120,0,.,2,+,125,0,.,4,+,130,0,.,1,+,135,0,.,2,=,125,EX,乙,=,100,0,.,1,+,115,0,.,2,+,125,0,.,4,+,130,0,.,1,+,145,0,.,2,=,125,DX,甲,=,(110,-,125),2,0,.,1,+,(120,-,125),2,0,.,2,+,(125,-,125),2,0,.,4,+,(130,-,125),2,0,.,1,+,(135,-,125),2,0,.,2,=,50,DX,乙,=,(100,-,125),2,0,.,1,+,(115,-,125),2,0,.,2,+,(125,-,125),2,0,.,4,+,(130,-,125),2,0,.,1,+,(145,-,125),2,0,.,2,=,165,.,由此可见,EX,甲,=EX,乙,DX,甲,DX,乙,故两种材料抗拉强度均值相等,且甲比乙稳定,所以说甲材料质量更加好,.,26/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因没有明确随机变量,X,取值意义而致,误,【,典例,】,某人进行一项试验,若试验成功,则停顿试验,;,若试验失败,则再重新试验一次,;,若试验,3,次失败,则放弃试验,.,若此人每次试验成功概率均为,求此人试验次数,X,均值,.,易错分析,求解均值,关键几步是求解当变量,X,取一些值时,所对应概率,若此处求错,则整个问题就会犯错,.,27/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,28/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,轻易犯错主要原因是没有明确随机变量,X,取值意义,X=,1,表示一次试验就成功,X=,2,表示第一次失败,第二次成功,因为试验最多进行,3,次,所以,X=,3,表示前两次失败,第三次可能成功也可能失败,所以,.,所以,在求随机变量取各值概率时,务必了解各取值实际意义以免犯错,.,29/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,下午第三节体育课进行篮球达标测试,要求,:,每位同学有,5,次投篮机会,若投中,3,次,则达标,;,不然,不达标,.,为了节约时间,同时要求,:,若投篮不到,5,次就达标,则停顿投篮,;,若前,3,次均未投中,不能达标,停顿投篮,;,若前,3,次投中一次,而第,4,次未中,也不能达标,停顿投篮,.,已知某同学投篮命中率为,且每次投篮互不影响,设,X,为测试中这位同学投篮次数,则,EX=,.,30/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,31/36,1,2,3,4,5,1,.,已知某一随机变量,X,分布列以下,且,EX=,6,.,3,则,a,值为,(,),解析,由分布列性质知,:0,.,5,+,0,.,1,+b=,1,所以,b=,0,.,4,.,所以,EX=,4,0,.,5,+a,0,.,1,+,9,0,.,4,=,6,.,3,.,所以,a=,7,.,答案,C,32/36,1,2,3,4,5,2,.,马老师从书本上抄录一个随机变量,概率分布列以下表,:,请小牛同学计算,均值,尽管,“!”,处完全无法看清,且两个,“?”,处字迹含糊,但能必定这两个,“?”,处数值相同,.,据此,小牛给出了正确答案,E=,(,),A.1B.4C.3D.2,解析,:,设,“?”,处为,x,“!”,处为,y,则由分布列性质得,2,x+y=,1,所以均值,E=,1,P,(,=,1),+,2,P,(,=,2),+,3,P,(,=,3),=,4,x+,2,y=,2,.,答案,D,33/36,1,2,3,4,5,答案,:,A,34/36,1,2,3,4,5,35/36,1,2,3,4,5,5,.,在添加剂搭配使用中,为了找到最正确配方方案,需要对各种不一样搭配方式作比较,.,在试制某种牙膏新品种时,需要选取不一样添加剂,.,现有芳香度分别为,0,1,2,3,4,5,六种添加剂可供选取,.,依据试验设计学原理,通常首先要随机选取两种不一样添加剂进行搭配试验,.,用,X,表示所选取两种不一样添加剂芳香度之和,.,(1),写出,X,分布列,;,(2),求,X,均值,EX.,36/36,
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