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第,2,章,2.4,抛物线,2.4.2,抛物线几何性质,1/32,1.,掌握抛物线简单几何性质,.,2.,能利用抛物线简单几何性质处理与抛物线相关问题,.,学习目标,2/32,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,栏目索引,3/32,知识梳理,自主学习,知识点一抛物线几何性质,标准方程,y,2,2,px,(,p,0),y,2,2,px,(,p,0),x,2,2,py,(,p,0),x,2,2,py,(,p,0),图形,4/32,答案,性质,范围,，,y,R,，,y,R,x,R,，,x,R,，,对称轴,x,轴,x,轴,y,轴,y,轴,顶点,(0,0),离心率,e,1,x,0,x,0,y,0,y,0,5/32,直线过抛物线,y,2,2,px,(,p,0),焦点,F,，与抛物线交于,A,(,x,1,，,y,1,),、,B,(,x,2,，,y,2,),两点，由抛物线定义知，,知识点二焦点弦,答案,故,AB,.,x,1,x,2,p,知识点三直线与抛物线位置关系,直线,y,kx,b,与抛物线,y,2,2,px,(,p,0),交点个数决定于关于,x,方程,_,解个数,.,当,k,0,时，若,0,，则直线与抛物线有,两,个不一样公共点；当,0,时，直线与抛物线有,个公共点；当,0),有几条对称轴？是不是中心对称图形？,返回,答案,答案,有一条对称轴即,y,轴，不是中心对称图形,.,(2),影响抛物线开口大小量是什么？是怎样影响？,答案,影响抛物线开口大小量是参数,p,.,p,值越大，抛物线开口越大，反之，开口越小,.,7/32,题型探究,重点突破,题型一抛物线几何性质,解析答案,反思与感悟,8/32,(1),注意抛物线各元素间关系：抛物线焦点一直在对称轴上，抛物线顶点就是抛物线与对称轴交点，抛物线准线一直与对称轴垂直，抛物线准线与对称轴交点和焦点关于抛物线顶点对称,.,(2),处理抛物线问题要一直把定义应用落实其中，经过定义利用，实现两个距离之间转化，简化解题过程,.,反思与感悟,9/32,跟踪训练,1,已知抛物线对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点,M,(1,，,2).,求抛物线标准方程和准线方程,.,解析答案,10/32,解,(1),当抛物线焦点在,x,轴上时，,设其标准方程为,y,2,mx,(,m,0).,将点,M,(1,，,2),代入，得,m,4.,抛物线标准方程为,y,2,4,x,；,(2),当抛物线焦点在,y,轴上时，设其标准方程为,x,2,ny,(,n,0).,11/32,例,2,已知抛物线方程为,y,2,2,px,(,p,0),，过此抛物线焦点直线与抛物线交于,A,，,B,两点，且,AB,题型二抛物线焦点弦问题,解析答案,反思与感悟,求,AB,所在直线方程,.,12/32,所以直线,AB,斜率存在，设为,k,，,反思与感悟,消去,x,，整理得,ky,2,2,py,kp,2,0.,解析答案,13/32,解得,k,2.,反思与感悟,14/32,(1),处理抛物线焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中应用，经过定义将焦点弦长度转化为端点坐标问题，从而可借助根与系数关系进行求解,.,(2),设直线方程时要尤其注意斜率不存在直线应单独讨论,.,反思与感悟,15/32,跟踪训练,2,已知直线,l,经过抛物线,y,2,6,x,焦点,F,，且与抛物线相交于,A,、,B,两点,.,(1),若直线,l,倾斜角为,60,，求,AB,值；,解析答案,16/32,若设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,).,则,x,1,x,2,5,，,AB,5,3,8.,x,1,x,2,p,.,解,因为直线,l,倾斜角为,60,，,17/32,(2),若,AB,9,，求线段,AB,中点,M,到准线距离,.,解,设,A,(,x,1,，,y,1,),，,B,(,x,2,，,y,2,),，由抛物线定义知,x,1,x,2,p,x,1,x,2,3,，,所以,x,1,x,2,6,，于是线段,AB,中点,M,横坐标是,3,，,解析答案,18/32,例,3,已知直线,l,：,y,kx,1,，抛物线,C,：,y,2,4,x,，当,k,为何值时，直线,l,与抛物线,C,有：,(1),一个公共点？,(2),两个公共点？,(3),没有公共点？,题型三直线与抛物线位置关系,解析答案,反思与感悟,19/32,解析答案,反思与感悟,消去,y,，得,k,2,x,2,(2,k,4),x,1,0.(*),当,k,0,时，方程,(*),为一元二次方程，,(2,k,4),2,4,k,2,，,当,0,，即,k,1,且,k,0,时，直线,l,与抛物线,C,有两个公共点，此时直线,l,与抛物线,C,相交；,20/32,反思与感悟,当,0,，即,k,1,时，直线,l,与抛物线,C,有一个公共点，此时直线,l,与抛物线,C,相切；,当,1,时，直线,l,与抛物线,C,没有公共点，此时直线,l,与抛物线,C,相离,.,总而言之，,(1),当,k,1,或,k,0,时，直线,l,与抛物线,C,有一个公共点；,(2),当,k,1,时，直线,l,与抛物线,C,没有公共点,.,21/32,直线与抛物线交点个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到方程组解个数,.,注意直线斜率不存在和得到方程二次项系数为,0,情况,.,反思与感悟,22/32,跟踪训练,3,如图，过抛物线,y,2,x,上一点,A,(4,2),作倾斜角互补两条直线,AB,，,AC,交抛物线于,B,，,C,两点，求证：直线,BC,斜率是定值,.,解析答案,返回,23/32,证实,设,k,AB,k,(,k,0),，,直线,AB,，,AC,倾斜角互补，,k,AC,k,(,k,0),，,直线,AB,方程是,y,k,(,x,4),2.,解析答案,返回,消去,y,后，整理得,k,2,x,2,(,8,k,2,4,k,1),x,16,k,2,16,k,4,0.,A,(4,2),，,B,(,x,B,，,y,B,),是上述方程组解,.,24/32,返回,所以直线,BC,斜率为定值,.,25/32,当堂检测,1,2,3,4,5,1.,以,x,轴为对称轴抛物线通径,(,过焦点且与对称轴垂直弦,),长为,8,，若抛物线顶点在坐标原点，则其方程为,_.,y,2,8,x,或,y,2,8,x,解析,设抛物线,y,2,2,px,或,y,2,2,px,(,p,0),，,2|,y,|,2,p,8,，,p,4.,解析答案,26/32,1,2,3,4,5,2.,若抛物线,y,2,x,上一点,P,到准线距离等于它到顶点距离，则点,P,坐标为,_.,解析,由题意知，点,P,到焦点,F,距离等于它到顶点,O,距离，,所以点,P,在线段,OF,垂直平分线上，,解析答案,27/32,1,2,3,4,5,3.,抛物线,y,4,x,2,上一点到直线,y,4,x,5,距离最短，则该点坐标为,.,解析,因为,y,4,x,2,与,y,4,x,5,不相交，设与,y,4,x,5,平行直线方程为,y,4,x,m,.,解析答案,设此直线与抛物线相切，此时有,0,，,即,16,16,m,0,，,m,1.,28/32,1,2,3,4,5,4.,经过抛物线,y,2,2,x,焦点且平行于直线,3,x,2,y,5,0,直线,l,方程是,_.,6,x,4,y,3,0,解析答案,29/32,1,2,3,4,5,5.,已知直线,x,y,1,0,与抛物线,y,ax,2,相切，则,a,_.,解析答案,直线与抛物线相切，,a,0,且,1,4,a,0.,30/32,课堂小结,1.,讨论抛物线几何性质，一定要利用抛物线标准方程；利用几何性质，也能够依据待定系数法求抛物线方程,.,2.,直线与抛物线相交弦问题共有两类，一类是过焦点弦，一类是不过焦点弦,.,处理弦问题，大多包括到抛物线弦长、弦中点、弦斜率,.,惯用方法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于,x,或,y,一元二次方程，然后利用根与系数关系，这么防止求交点,.,尤其是弦中点问题，还应注意,“,点差法,”,利用,.,3.,判断直线与抛物线位置关系两种方法,(1),几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线位置关系，但有误差影响判断结果,.,31/32,(2),代数法：设直线,l,方程为,y,kx,m,，抛物线方程为,y,2,2,px,(,p,0),，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于,x,(,或,y,),一元二次方程形式：,Ax,2,Bx,C,0(,或,Ay,2,By,C,0).,返回,有一个交点：,A,0(,直线与抛物线对称轴平行或重合，即相交,),；,直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切必要不充分条件,.,32/32,
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