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,第三章导数及其应用,3.1改变率与导数,3.1.1改变率问题,3.1.2导数概念,1/54,2/54,主题1平均改变率,1.写出气球体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间,关系式.然后将球半径r表示为球体积V函数.,提醒,:,体积,V,与半径,r,之间关系式为,V(r)=,r,3,.,将半,径,r,表示为体积,V,函数为,r(V)=,3/54,2.当空气容量V从0增加到1L时,气球半径增加了多少?,此时气球平均膨胀率是多少?当空气容量V从1L增加,到2L呢?,提醒,:,当空气容量,V,从,0,增加到,1L时,气球半径增加了,r(1)-r(0)0.62(dm).,气球平均膨胀率为 0.62(dm/L).,4/54,当空气容量V从1L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)0.16(dm).,气球平均膨胀率为 0.16(dm/L).,5/54,3.若运动员相对于水面高度h(单位:m)与起跳后时间t(单位:s)存在函数关系:h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,则运动员在0t0.5这段时间里平均速度是多少?运动员在1t2这段时间里平均速度是多少?,6/54,提醒:,在0t0.5这段时间里平均速度是,在1t2这段时间里平均速度是,7/54,结论:平均改变率概念,我们把式子_称为函数y=f(x)从,_到_平,均,改变率.,x,1,x,2,8/54,主题2导数概念,1.物体平均速度能否准确反应它运动状态?,提醒:,不能,如高台跳水运动员相对于水面高度h与起,跳时间t函数关系h(t)=-4.9t,2,+6.5t+10,易知,而运动员依然是运动状态.,9/54,2.怎样准确描述物体在某一时刻运动状态?,提醒,:,能够使用瞬时速度,准确描述物体在某一时刻运,动状态.如求t=2时瞬时速度,可考查在t=2附近一,个间隔t,当t趋近于0时,看平均速度 改变趋势,用式子 表示,这就是物体在t=2时瞬,时速度.,10/54,3.导数和瞬时改变率是什么关系?导数有什么作用?,提醒,:,函数在某点处导数就是函数在这点处瞬时改变率,导数能够反应函数在一点处改变快慢程度,.,11/54,结论:函数在某点处导数,函数y=f(x)在x=x,0,处瞬时改变率是,_,我们称它为函数y=f(x)在x=x,0,处导数,记作,_,即f(x,0,)=_,f(x,0,)或y|,12/54,【微思索】,1.观察函数y=f(x)图象,平均改变率,几何意义是什么?平均改变率绝对值大小与曲线陡峭程度是否存在关系?,13/54,提醒:,平均改变率能够描述一个函数在某个范围内改变快慢,它表示割线斜率.,函数f(x)在区间x,1,x,2,上平均改变率是曲线y=f(x)在区间x,1,x,2,上陡峭程度,“,数量化,”,曲线陡峭程度是平均改变率,“,视觉化,”,.,14/54,2.怎样了解导数定义中x,y,?,提醒,:,x,表示自变量增量,其值可正可负不能为零,y,表示函数值增量,其值可正可负可为零,表示平,均改变率,其极限存在,则函数,y=f(x),在某一点处可导,不然不可导,.,15/54,【预习自测】,1.当自变量从x,0,变到x,1,时,函数值增量与对应自变量增量之比是函数(),A.在x,0,x,1,上平均改变率,B.在x,0,处改变率,C.在x,1,处改变率,D.以上都不对,16/54,【解析】,选A.由平均改变率定义知当自变量从x,0,变到x,1,时,函数值增量与对应自变量增量之比是函数在x,0,x,1,上平均改变率.,17/54,2.质点运动规律s=t,2,+3,则在时间3,3+t中,对应平均速度等于(),A.6+tB.6+t+,C.3+tD.9+t,18/54,【解析】,选A.,19/54,3.设函数f(x)在x,0,处可导,则 (),A.f(x,0,)B.f(-x,0,),C.-f(x,0,)D.-f(-x,0,),20/54,【解析】,选C.,21/54,4.已知函数f(x)=A(A为常数),则f(2)=_.,【解析】,因为y=f(2+x)-f(2)=A-A=0,所以 =0,f(2)=,答案:,0,22/54,5.婴儿从出生到第24个月体重改变如图,则第二年婴儿体重月平均改变率是_.,23/54,【解析】,由题图可知,第二年婴儿体重月平均改变率,为 =0.25(千克/月).,答案:,0.25千克/月,24/54,6.质点M按规律s=2t,2,+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时瞬时速度,并与利用匀变速直线运动速度公式求得结果进行比较.,25/54,【解析】,(1)瞬时速度v=,26/54,(2)因为s=2t,2,+3=s,0,+v,0,t+at,2,所以v,0,=0cm/s,因为 a=2,所以a=4cm/s,2,所以瞬时速度v=4t=42=8cm/s.,结论:用两种方法求得结果相同.,27/54,类型一求平均改变率,【典例1】,试求函数f(x)=-x,2,+x在x=-1附近平均改变,率.,【解题指南】,先计算y=f(-1+x)-f(-1),再利用,求解.,28/54,【解析】,29/54,【延伸探究】,1.已知函数f(x)=-x,2,+x图象上一点,A(-1,-2)及邻近一点B(-1+x,-2+y),则 =_.,【解析】,答案:,3-x,30/54,2.设函数f(x)在x,0,附近有定义,且有f(x,0,+x)-f(x,0,),=ax+b(x),2,(a,bR),则函数f(x)在x,0,附近平均改变率为_.,【解析】,由,=a+b,x.,可得,f(x),在,x,0,附近平均改变率为,a+b,x.,答案,:,a+b,x,31/54,【方法总结】,(1)计算函数值改变量y=f(x,2,)-f(x,1,).,(2)计算自变量改变量x=x,2,-x,1,.,(3)得平均改变率,32/54,【赔偿训练】,求函数y=f(x)=3x,2,+2在区间x,0,x,0,+x上平均改变率,并求当x,0,=2,x=0.1时平均改变率值.,33/54,【解析】,函数y=f(x)=3x,2,+2在区间x,0,x,0,+x上平均,改变率为,当x,0,=2,x=0.1时,函数y=3x,2,+2在区间2,2.1上平均改变率为62+30.1=12.3.,34/54,类型二求瞬时改变率,【典例2】,(沈阳高二检测)若一物体运动满足,函数s=(旅程单位:m,时间单位:s).,求:(1)物体在t=3s到t=5s这段时间内平均速度.,(2)物体在t=1s时瞬时速度.,35/54,【解题指南】,(1)先求增量,再求平均速度.(2)先求增量,再求平均速度,再求极限,进而得出瞬时速度.,【解析】,(1)s=s(5)-s(3)=35,2,+2-(33,2,+2)=48.,36/54,(2)因为s=29+3(1+t-3),2,-29+3(1-3),2,=3(t),2,-12t,所以,所以,即物体在t=1s时瞬时速度为-12m/s.,37/54,【方法总结】,(1)函数平均改变率和瞬时改变率关系:,平均改变率 ,当x趋于0时,它所趋于一个常数就是函数在x,0,处瞬时改变率.,38/54,(2)共同点:它们都是用来刻画函数改变快慢,它们绝对值越大,函数改变得越快.,(3)迫近法求瞬时改变率:求函数瞬时改变率是利用平均改变率“逐步迫近”方法求解.,39/54,【巩固训练】,一质点按规律s(t)=at,2,+1做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),若该质点在t=2s时瞬时速度为8m/s,求常数a值.,【解析】,因为,s=s(2+,t)-s(2),=a(2+t),2,+1-a2,2,-1,=4at+a(t),2,40/54,所以 =4a+at,故在t=2s时,瞬时速度为s(2)=4a(m/s).,由题意知,4a=8,所以a=2.,41/54,【赔偿训练】,一物体运动方程为s=7t,2,+8,则其在,t=_时瞬时速度为1.,【解析】,当 (7t+14t,0,)=1时,t,0,=.,答案:,42/54,类型三求函数在某点处导数,【典例3】,依据导数定义求以下函数导数.,(1)求函数y=x,2,+3在x=1处导数.,(2)求函数y=在x=a(a0)处导数.,43/54,【解题指南】,(1)利用导数定义,进行变形.,(2)本题是依据定义求函数导数,所以可先求 ,再求其极限值,即可得出导数值.,44/54,【解析】,(1)y=f(1+x)-f(1)=(1+x),2,+3-(1,2,+3),=2x+(x),2,所以,所以y|,x=1,=(2+x)=2.,45/54,(2)y=f(a+x)-f(a),所以,所以y|,x=a,=,46/54,【方法总结】,用导数定义求函数在某一点处导数三个步骤,(1)作差y=f(x,0,+x)-f(x,0,).,(2)作比,(3)取极限f(x,0,)=,简记为一差、二比、三极限.,47/54,【巩固训练】,已知函数y=f(x)=ax,2,+c且f(1)=2,求a值.,48/54,【解析】,f(1)=,所以a=1.,49/54,【赔偿训练】,求函数y=3x,2,在x=1处导数.,【解题指南】,先求y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x),2,再求 =6+3x,再求 =6.,50/54,【解析】,y=f(1+x)-f(1)=6x+3(x),2,.,51/54,【课堂小结】,1.知识总结,52/54,2.方法总结,(1)平均改变率 当x趋于0时,它所趋于一个常数就是函数在x,0,处瞬时改变率,即求函数瞬时改变率是利用平均改变率“逐步迫近”方法求解.另外,它们都是用来刻画函数改变快慢,它们绝对值越大,函数改变得越快.,53/54,(2)函数在一点处导数,就是在该点函数值改变量与自变量改变量比值极限,它是一个定值,不是变数.,54/54,
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