资源描述
-,*,-,1,.,2,.,3,空间中垂直关系,1/40,第一课时,直线与平面垂直,2/40,1,.,经过直观感知、操作确认,归纳出空间中线面垂直相关定理、推论和性质,.,2,.,掌握直线与平面垂直判定定理和性质,并能利用以上定理和性质处理空间中垂直问题,.,3/40,1,2,1,.,直线与平面垂直定义及性质,4/40,1,2,【做一做,1,】,假如一条直线与平面内无数条直线垂直,则这条直线与这个平面位置关系为,(,),A.,平行,B.,相交,C.,垂直,D.,不确定,答案,:,D,5/40,1,2,2,.,直线与平面垂直判定定理与推论,(1),判定定理,:,假如一条直线与平面内,两条相交,直线垂直,则这条直线与这个平面垂直,.,(2),推论,1:,假如在两条平行直线中,有一条直线垂直于平面,那么另一条直线,也垂直于,这个平面,.,推论,2:,假如两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线,平行,.,名师点拨,利用定义来判断直线与平面垂直是不方便,因为,“,任意一条直线,”,是不方便研究,所以依据确定平面条件,找到两条相交直线便可确定一个平面,这么易于判断直线和平面垂直,即,“,线不在多,相交就行,”,.,6/40,1,2,【做一做,2,-,1,】,在正方体,ABCD,-A,1,B,1,C,1,D,1,中,与,AD,1,垂直平面是,(,),A.,平面,DD,1,C,1,C,B.,平面,A,1,DCB,1,C.,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,D.,平面,A,1,DB,答案,:,B,7/40,1,2,【做一做,2,-,2,】,已知,是平面,a,b,是直线,且,a,b,a,平面,则,b,与平面,位置关系是,(,),A.,b,平面,B.,b,平面,C.,b,平面,D.,b,与平面,相交但不垂直,答案,:,B,8/40,1,2,3,1,.,对直线与平面垂直了解,剖析,:,(1),定义中,“,任何直线,”,是说这条直线和平面内全部过交点直线垂直,它和,“,全部直线,”,表示含义相同,.,(2),直线和平面垂直是直线和平面相交一个特殊形式,.,(3),假如一条直线垂直于一个平面,那么它就和这个平面内任意一条直线垂直,如若,a,b,则,a,b.,简述之,即,“,线面垂直,则线线垂直,”,这是我们判定两条直线垂直时经常使用一个主要方法,.,9/40,1,2,3,2,.,若一条直线垂直于平面内无数条直线,这条直线与平面垂直吗,?,剖析,:,不一定,.,如图,直线,B,1,C,1,与平面,AC,内直线,AB,垂直,且在平面,ABCD,内与,AB,平行全部直线都与,B,1,C,1,垂直,但直线,B,1,C,1,平面,ABCD.,10/40,1,2,3,所以以下两个命题均是错误,需要引发重视,.,命题,:,假如一条直线垂直于平面内两条直线,那么这条直线垂直于这个平面,;,命题,:,假如一条直线垂直于平面内无数条直线,那么这条直线垂直于这个平面,.,11/40,1,2,3,3,.,教材中,“,思索与讨论,”,(1),垂直于同一条直线两个平面是否平行,?,为何,?,(2),怎样定义两平行平面距离,?,剖析,:,(1),垂直于同一条直线两个平面平行,.,已知,:,AA,AA,求证,:,.,12/40,1,2,3,证实,:,如图,设经过直线,AA,两个平面,分别与平面,相交于直线,b,b,和,a,a.,因为,AA,AA,所以,AA,a,AA,a.,AA,a,a,都在平面,内,由平面几何知识,:,在同一平面内,垂直于同一直线两条直线平行,.,所以,a,a,所以,a,(,线面平行判定定理,),.,同理,b,.,又因为,a,b=A,所以,.,13/40,1,2,3,(2),我们能够这么定义两平行平面距离,.,由问题,(1),可知,对于两个平行平面,一定存在着与它们都垂直直线,设为,l,这么直线,l,称为两个平行平面公垂线,它夹在这两个平行平面间线段,叫做这两个平行平面公垂线段,如图,假如,AA,BB,都是平面,与,公垂线段,那么,AA,BB.,依据两个平面平行性质定理,有,AB,AB,所以四边形,AABB,是平行四边形,故,AA=BB.,由此我们得到,两个平行平面公垂线段都相等,.,所以,我们能够把公垂线段长度定义为两个平行平面间距离,.,14/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,1,】,判断以下说法是否正确,?,(1),若直线,l,垂直于平面,两条平行直线,则,l,;,(2),若直线,l,与平面,不垂直,则,l,与,内任何直线不垂直,;,(3),若直线,l,垂直于圆两条直径,则,l,与该圆所在平面垂直,;,(4),与一个平面垂线垂直直线和这个平面平行,;,(5),过直线外一点有且只有一个平面与该直线垂直,.,15/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,解,:,(1),不正确,.,当直线,l,与平面,内两条平行直线垂直时,不一定有,l,还可能有,l,或,l,.,(2),不正确,.,当直线,l,与平面,不垂直时,l,能够与平面内一些直线垂直,.,(3),正确,.,圆任何两条直径都是相交,由判定定理知结论正确,.,(4),不正确,.,与一个平面垂线垂直直线能够与该平面平行,也可能直线在该平面内,.,(5),正确,.,反思,要善于依据线面垂直定义、判定定理、性质定理对一些结论正确性作出判断,要重视常见空间模型利用,.,16/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,1,】,给出以下说法,:,若直线,l,垂直于平面,任一条直线,则,l,;,若直线,l,垂直于一个梯形两条边,则它必与该梯形所在平面垂直,;,若直线,a,平面,直线,b,则必有,a,b.,其中正确说法序号是,.,解析,:,由线面垂直定义知,正确,;,因为梯形两条边不一定相交,还可能平行,所以,l,不一定垂直于,错误,;,轻易判断,也是正确,.,答案,:,17/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,2,】,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,P,是,DD,1,中点,O,是底面,ABCD,中心,求证,:,B,1,O,平面,PAC.,分析,:,要证实,B,1,O,平面,PAC,依据直线和平面垂直判定定理,只需证实,B,1,O,垂直于平面,PAC,内两条相交直线,.,18/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证实,:,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,设其棱长为,2,a,因为,B,1,B,平面,ABCD,且,AC,平面,ABCD,所以,B,1,B,AC.,又,O,是正方形,ABCD,中心,所以,AC,BD,所以,AC,平面,BB,1,D,1,D.,因为,B,1,O,平面,BB,1,D,1,D,所以,B,1,O,AC.,所以,B,1,O,PO.,又因为,PO,AC=O,所以,B,1,O,平面,PAC.,19/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,1,.,正方体是最常见几何体,正方体面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊位置关系,它是研究直线和平面关系最为简单模型之一,.,本题抓住了特殊几何体,正方体及特殊点,P,位置关系,利用勾股定理逆定理,经过计算证实了直线和直线垂直,再依据直线和平面垂直判定定理证实了直线和平面垂直,.,2,.,证实直线与平面垂直时,一定要证实直线和平面内两条相交直线垂直,假如没有考虑相交情况就可能把原来不垂直情况证实成垂直,得到错误结论,.,20/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,2,】,已知四棱锥,P-ABCD,底面是菱形,PA=PC,PB=PD.,若,O,是,AC,与,BD,交点,求证,:,PO,平面,ABCD.,证实,:,因为,O,是,AC,与,BD,交点,又,ABCD,是菱形,所以,O,是,AC,中点,也是,BD,中点,.,又因为,PA=PC,PB=PD,所以,PO,AC,PO,BD.,又,AC,BD=O,所以,PO,平面,ABCD.,21/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,3,】,如图,已知矩形,ABCD,过,A,作,SA,平面,ABCD,再过,A,作,AE,SB,于点,E,过,E,作,EF,SC,于点,F.,(1),求证,:,AF,SC,;,(2),若平面,AEF,交,SD,于点,G,求证,:,AG,SD.,分析,:,要证实线线垂直通常先证实线面垂直,.,22/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,证实,:,(1),因为,SA,平面,ABCD,BC,平面,ABCD,所以,SA,BC.,因为四边形,ABCD,为矩形,所以,AB,BC.,又因为,SA,AB=A,所以,BC,平面,SAB.,所以,BC,AE.,因为,SB,AE,SB,BC=B,所以,AE,平面,SBC.,所以,AE,SC.,又因为,EF,SC,AE,EF=E,所以,SC,平面,AEF.,所以,AF,SC.,(2),因为,SA,平面,ABCD,所以,SA,DC.,又因为,AD,DC,AD,SA=A,所以,DC,平面,SAD.,所以,DC,AG.,由,(1),知,SC,平面,AEF,AG,平面,AEF,则,SC,AG.,因为,DC,SC=C,所以,AG,平面,SDC.,故,AG,SD.,23/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,线面垂直和线线垂直在推理中是经常加以转化,证线线垂直惯用思绪以下,:,24/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,3,】,在空间四边形,ABCD,中,若,AB=AC,DB=DC,求证,:,BC,AD.,证实,:,取,BC,中点,M,连接,AM,MD.,AB=AC,DB=DC,AM,BC,DM,BC.,又,AM,MD=M,BC,平面,AMD.,AD,平面,AMD,BC,AD.,25/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【例,4,】,如图,在多面体,ABCDEF,中,G,为底面正方形,ABCD,中心,AB=,2,EF=,2,EF,AB,EF,FB,BFC=,90,BF=FC,H,为,BC,中点,.,求证,:,(1),FH,平面,EDB,;,(2),AC,平面,EDB.,26/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,分析,:,(1),证实,E,与底面中心,G,连线和,FH,平行即可,;,(2),先证,FH,是平面,ABCD,垂线,再说明,AC,BD,与,AC,EG,即可得证,.,所以四边形,EFHG,为平行四边形,.,所以,EG,FH.,又因为,EG,平面,EDB,所以,FH,平面,EDB.,27/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2),由四边形,ABCD,为正方形,则,AB,BC.,因为,EF,AB,EF,FB,所以,AB,FB.,因为,FB,BC=B,所以,AB,平面,BFC.,所以,AB,FH.,又因为,BF=FC,H,为,BC,中点,所以,FH,BC.,因为,AB,BC=B,所以,FH,平面,ABCD.,因为,FH,EG,所以,EG,平面,ABCD.,所以,AC,EG.,又因为,AC,BD,EG,BD=G,所以,AC,平面,EDB.,28/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,反思,相关平行、垂直综合问题,关键要理清几何体相关线段长度及位置关系,然后再依据目标逐一寻找关键要素,如第,(1),问中关键是求一平行线,第,(2),问中关键在于连续使用线面垂直进行过渡,.,29/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练,4,】,如图,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,是,AB,上一点,N,是,A,1,C,中点,MN,平面,A,1,DC.,求证,:(1),MN,AD,1,;,(2),M,是,AB,中点,.,证实,:,(1),四边形,ADD,1,A,1,为正方形,AD,1,A,1,D.,又,CD,平面,ADD,1,A,1,CD,AD,1,.,A,1,D,CD=D,AD,1,平面,A,1,DC.,又,MN,平面,A,1,DC,MN,AD,1,.,30/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2),如图,连接,ON,在,A,1,DC,中,A,1,O=OD,A,1,N=NC.,ON,CD,AB.,ON,AM,又,MN,OA,四边形,AMNO,为平行四边形,.,M,是,AB,中点,.,31/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,易错点,:,忽略分类讨论致错,【例,5,】,已知,:,线段,AB,中点为,O,O,平面,.,求证,:,A,B,两点到平面,距离相等,.,错解,:,如图,过点,A,B,作平面,垂线,垂足分别为,A,1,B,1,则,AA,1,BB,1,分别是点,A,B,到平面,距离,.,又在,Rt,AOA,1,和,Rt,BOB,1,中,AO=BO,B,1,OB=,AOA,1,所以,Rt,AOA,1,Rt,BOB,1,所以,AA,1,=BB,1,即,A,B,两点到平面,距离相等,.,32/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,错因分析,:,一是忽略了,AB,情况说明,二是认为,AOA,1,和,BOB,1,为对顶角而相等,其实应说明,B,1,O,A,1,共线才行,.,正解,:(1),当线段,AB,平面,时,显然,A,B,到平面,距离均为,0,相等,.,(2),当,AB,平面,时,如图,分别过点,A,B,作平面,垂线,垂足分别为,A,1,B,1,则,AA,1,BB,1,分别是点,A,B,到平面,距离,且,AA,1,BB,1,.,33/40,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,所以,AA,1,与,BB,1,确定一个平面,设为,则,=A,1,B,1,.,因为,O,AB,AB,所以,O,.,又因为,O,所以,O,A,1,B,1,.,所以,AA,1,A,1,O,BB,1,B,1,O.,因为,AOA,1,=,BOB,1,AO=BO,所以,Rt,AA,1,O,Rt,BB,1,O.,所以,AA,1,=BB,1,即,A,B,两点到平面,距离相等,.,34/40,1,2,3,4,5,1.,在正方体,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,与,AC,1,垂直平面是,(,),A.,平面,DD,1,C,1,C,B.,平面,A,1,B,1,CD,C.,平面,A,1,B,1,C,1,D,1,D.,平面,A,1,DB,答案,:,D,35/40,1,2,3,4,5,2.,一条直线和三角形两边同时垂直,则这条直线和三角形第三边位置关系是,(,),A.,平行,B.,垂直,C.,相交不垂直,D.,不确定,解析,:,假如一条直线垂直于三角形两条边,那么这条直线必垂直于这个三角形所在平面,因而必与第三边垂直,.,答案,:,B,36/40,1,2,3,4,5,3.,以下命题,:,平行于同一平面两条直线平行,;,垂直于同一平面两条直线平行,;,平行于同一条直线两平面平行,;,垂直于同一条直线两平面平行,.,其中正确有,(,),A.,和,B.,和,C.,和,D.,和,答案,:,A,37/40,1,2,3,4,5,4.,如图,AB,是,O,直径,PA,平面,O,C,为圆周上一点,AB=,5 cm,AC=,2 cm,则,B,到平面,PAC,距离为,.,38/40,1,2,3,4,5,解析,:,连接,BC,因为,C,为圆周上一点,AB,为直径,所以,BC,AC.,又因为,PA,平面,O,BC,平面,O,所以,PA,BC.,又因为,PA,AC=A,所以,BC,平面,PAC,C,为垂足,所以,BC,即为,B,到平面,PAC,距离,.,在,Rt,ABC,中,39/40,1,2,3,4,5,5.,如图,已知平面,且,=AB,PC,PD,C,D,是垂足,.,求证,:,AB,平面,PCD.,证实,:,因为,=AB,PC,所以,PC,AB.,同理,PD,AB.,又因为,PC,PD=P,PC,PD,平面,PCD,所以,AB,平面,PCD.,40/40,
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