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,-,*,-,3,平均值不等式,-,*,-,-,*,-,3,平均值不等式,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3,平均值不等式,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3,平均值不等式,自主预习,合作学习,当堂检测,首页,-,*,-,3,平均值不等式,合作学习,自主预习,当堂检测,首页,-,*,-,3,平均值不等式,当堂检测,自主预习,合作学习,首页,3,平均值不等式,1/36,2/36,3/36,2,.,平均值不等式,4/36,名师点拨,1,.,定理,2,常见变形,5/36,2,.,利用平均值不等式求最值,对两个正实数,a,b.,(1),若它们和,S,是定值,则当且仅当,x=y,时,它们积,P,取得最大值,;,(2),若它们积,P,是定值,则当且仅当,x=y,时,它们和,S,取得最小值,.,对于三个正数,a,b,c.,利用平均值不等式求最值条件是,“,一正、二定、三相等,”,即,:,(1),各项或各因式均为正,;,(2),和或积为定值,;,(3),各项或各因式能取得相等值,.,6/36,7/36,答案,:,8/36,【做一做,2,】,若正数,a,1,a,2,a,3,满足,a,1,a,2,a,3,=,8,则有,(,),答案,:,B,9/36,答案,:,(1),(2),(3),(4),10/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,依据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式条件和形式,然后应用平均值不等式求解,.,11/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,12/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,13/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,14/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,平均值不等式基本功效在于,“,和与积,”,相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式,(,普通是凑积或和是定值形式,),结构出平均值不等式形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立条件,:,各项或各因式应为正,;,和或积为定值,;,各项或各因式能取到使等号成立值,简记为,:“,一正、二定、三相等,”,.,15/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,1,(1),已知,0,x,2,则函数,f,(,x,),=x,(2,-x,),最大值等于,.,(2),函数,y=,2cos,2,x,sin,4,x,最大值等于,.,16/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析,(1),考虑到,a+b+c=,1,可将不等式左边每个括号中分子上,1,替换为,a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后依据不等式性质证实,.,(2),因为左边有分式,也有整式形式,所以要两次利用平均值不等式,.,17/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,18/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,19/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用平均值不等式证实不等式方法与技巧,(1),用平均值不等式证实不等式时,应首先依据不等式两边式子结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证实,.,(2),对含条件不等式证实问题,要将条件与结论结合起来,找出变形思绪,结构出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证实,因为这么有可能造成等号不能取到,.,20/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,21/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,22/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例,3,】,已知,26,辆货车以相同速度,v,由,A,地驶向,400 km,处,B,地,每两辆货车间距离为,d,km,现知,d,与速度,v,平方成正比,且当,v=,20 km/h,时,d=,1 km,.,(1),写出,d,关于,v,函数关系式,;,(2),若不计货车长度,则,26,辆货车都抵达,B,地最少需要多少小时,?,此时货车速度为多少,?,分析,对于,(1),可由已知数据代入求得,;(2),先列出时间与速度关系式,再借助平均值不等式求解,.,23/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,24/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,利用平均值不等式求解实际问题时注意点,(1),设变量时普通要把求最大值或最小值变量定义为函数,;,(2),依据实际问题抽象出函数解析式后,只需利用平均值不等式求得函数最值,;,(3),在求函数最值时,一定要在定义域,(,使实际问题有意义自变量取值范围,),内求解,.,25/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,3,制造容积为,m,3,无盖圆柱形桶,用来做底面金属板价格为每平方米,30,元,用来做侧面金属板价格为每平方米,20,元,要使用料成本最低,则此圆柱形桶底面半径和高分别为多少,?,26/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,27/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,28/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,29/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得,本题错解中忽略了平均值不等式中等号成立条件,没有注意到两次利用平均值不等式时等号成立条件不一致,从而造成错误,.,连续使用平均值不等式时取等号条件很严格,要求同时满足任何一次字母取值存在且一致,.,所以尽可能不要连续两次以上使用平均值不等式,若使用两次时应确保两次等号成立条件相同,.,另外,在求解含有两个变量代数式最值问题时,通常方法是变量替换或常值,“1”,替换,即由已知条件得到某个式子值为常数,然后将欲求最值代数式乘,“1”,再对代数式进行变形整理,从而可利用平均值不等式求最值,.,30/36,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,若实数,x,y,满足,x,2,+y,2,+xy=,1,则,x+y,最大值是,.,31/36,1,2,3,4,5,答案,:,B,32/36,1,2,3,4,5,答案,:,B,33/36,1,2,3,4,5,3,.,若长方体体积为,8,则其表面积最小值等于,.,解析,:,设长方体三条相交于同一点棱长分别为,a,b,c,则依题意有,abc=,8,.,长方体表面积,S=,2,ab+,2,bc+,2,ac,当且仅当,a=b=c=,2,时等号成立,即长方体表面积最小值为,24,.,答案,:,24,34/36,1,2,3,4,5,35/36,1,2,3,4,5,36/36,
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