资源描述
-,*,-,3,.2.2.1,抛物线简单性质,1/33,1,.,了解抛物线轴、顶点、离心率、通径概念,.,2,.,掌握抛物线上点坐标取值范围、抛物线对称性、顶点、离心率等简单性质,.,3,.,会用顶点及通径端点画抛物线草图,.,2/33,一、抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),简单性质,1,.,对称性,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),关于,x,轴对称,我们把抛物线对称轴叫作抛物线,轴,.,抛物线只有,一,条对称轴,.,2,.,范围,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),在,y,轴,右侧,它开口,向右,这条抛物线上任意一点,M,坐标,(,x,y,),满足不等式,x,0,;,当,x,值增大时,|y|,也增大,这说明抛物线向,右上方,和,右下方,无限延伸,.,抛物线是,无界,曲线,.,3/33,3,.,顶点,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),和它轴交点叫作抛物线,顶点,.,抛物线顶点坐标是,(0,0),.,说明,:(1),要掌握抛物线简单几何性质,如范围、对称性、顶点、开口方向等,.,学习利用抛物线方程研究抛物线几何性质方法,也就是坐标法,.,以抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),为例,因为,p,0,所以,x,0,即抛物线在,y,轴右侧,同时,x,增大时,|y|,也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延展,.,以,-y,代替,y,方程不变,故抛物线关于,x,轴对称,.,(2),顶点即抛物线与坐标轴交点,抛物线与椭圆比较,它只有一个焦点,一个顶点,一条对称轴,.,4,.,离心率,抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),上点,M,到焦点距离和它到准线距离,比,叫作抛物线离心率,用,e,表示,且,e=,1,.,4/33,【做一做,1,-,1,】,顶点在原点,坐标轴为对称轴抛物线,过点,(16,-,4),则它方程是,(,),A.,x,2,=y,或,y,2,=-,64,x,B.,y,2,=x,或,x,2,=-,64,y,C.,x,2,=-,64,y,D.,y,2,=x,答案,:,B,【做一做,1,-,2,】,若抛物线,x,2,=,2,py,(,p,0),上一点,P,到准线及对称轴距离分别为,5,和,4,则,P,纵坐标为,p,值为,.,解析,:,利用抛物线定义和点,P,在抛物线上可解得,.,答案,:,4,或,1,2,或,8,5/33,二、通径,经过抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点且垂直于,x,轴直线与抛物线两交点坐标分别为,.,连接这两点线段叫作抛物线,通径,它长为,2,p,.,这就是抛物线标准方程中,2,p,一个,几何,意义,.,【做一做,2,】,抛物线,x,2,=-,4,y,通径为,AB,O,为坐标原点,则,(,),A.,通径,AB,长为,8,AOB,面积为,4,B.,通径,AB,长为,8,AOB,面积为,2,C.,通径,AB,长为,4,AOB,面积为,4,D.,通径,AB,长为,4,AOB,面积为,2,解析,:,|AB|=,2,p=,4,S,AOB,=,1,4,=,2,.,答案,:,D,6/33,三、抛物线标准方程四种形式,7/33,四、抛物线焦点弦,1,.,过抛物线焦点直线与抛物线相交所截得弦叫作抛物线焦点弦,.,设抛物线焦点为,F,焦点弦两端点是,A,(,x,1,y,1,),B,(,x,2,y,2,),则由,|AB|=|AF|+|BF|,及焦半径公式,(,见上节,),可得焦点弦长公式以下表,:,8/33,【做一做,3,】,过抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),焦点,F,且倾斜角为,45,直线交抛物线于,A,B,两点,若,|AB|=,8,则,p=,.,答案,:,2,9/33,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,1,】,依据以下条件,求抛物线标准方程,.,(1),顶点为坐标原点,对称轴为,x,轴,经过点,P,(4,2 );,(2),与抛物线,y,2,=-,16,x,共顶点,且焦点在直线,y=,3,x+,1,上,.,分析,:(1),对称轴为,x,轴,过第一象限内点,P,抛物线只有开口向右一条,;(2),求出直线与坐标轴交点,即为抛物线焦点,从而分类求解,.,10/33,题型一,题型二,题型三,题型四,11/33,题型一,题型二,题型三,题型四,12/33,题型一,题型二,题型三,题型四,13/33,题型一,题型二,题型三,题型四,【例,2,】,正三角形一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线,y,2,=,2,px,(,p,0),上,求这个三角形边长,.,分析,:,因为正三角形与抛物线都是轴对称图形,能够证实,A,B,两点关于,x,轴对称,进而求出,AB,长,.,14/33,题型一,题型二,题型三,题型四,所以,(,x,1,-x,2,)(,x,1,+x,2,+,2,p,),=,0,.,因为,x,1,0,x,2,0,2,p,0,所以,x,1,+x,2,+,2,p,0,.,所以,x,1,=x,2,即,A,B,两点关于,x,轴对称,所以,AB,x,轴,AOx=,30,.,15/33,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,解本题关键是依据抛物线对称性和正三角形性质证实,A,B,两点关于,x,轴对称,.,16/33,题型一,题型二,题型三,题型四,17/33,题型一,题型二,题型三,题型四,18/33,题型一,题型二,题型三,题型四,19/33,题型一,题型二,题型三,题型四,20/33,题型一,题型二,题型三,题型四,21/33,题型一,题型二,题型三,题型四,反思,本题是一个相关抛物线焦点弦经典例题,在处理这类问题时,一定要注意斜率不存在情况,巧妙利用一元二次方程根与系数关系及抛物线定义,.,22/33,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练,3,】,抛物线顶点在原点,以,x,轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为,135,直线,被抛物线所截得弦长为,8,试求抛物线标准方程,.,23/33,题型一,题型二,题型三,题型四,24/33,题型一,题型二,题型三,题型四,25/33,题型一,题型二,题型三,题型四,26/33,1 2 3 4 5 6,1.,抛物线,y,2,=ax,(,a,0),焦点到其准线距离是,(,),答案,:,B,27/33,1 2 3 4 5 6,28/33,1 2 3 4 5 6,3.,已知斜率为,2,直线,l,过抛物线,y,2,=ax,(,a,0),焦点,F,且与,y,轴相交于点,A,若,OAF,(,O,为坐标原点,),面积为,4,则抛物线标准方程为,.,答案,:,y,2,=,8,x,29/33,1 2 3 4 5 6,30/33,1 2 3 4 5 6,5.,已知抛物线顶点为坐标原点,以,x,轴为对称轴,过焦点且垂直于,x,轴弦,AB,长为,8,求该抛物线方程,并指出它焦点坐标和准线方程,.,解,:,当焦点在,x,轴正半轴上时,设抛物线方程为,y,2,=,2,px,(,p,0),.,故抛物线方程为,y,2,=,8,x,焦点坐标为,(2,0),准线方程为,x=-,2,.,当焦点在,x,轴负半轴上时,设抛物线方程为,y,2,=-,2,px,(,p,0),.,由对称性知抛物线方程为,y,2,=-,8,x,焦点坐标为,(,-,2,0),准线方程为,x=,2,.,31/33,1 2 3 4 5 6,6.,过抛物线焦点,F,作不垂直于对称轴直线交抛物线于,A,B,两点,线段,AB,垂直平分线交对称轴于点,N.,求证,:,|AB|=,2,|NF|.,32/33,1 2 3 4 5 6,33/33,
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