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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 圆锥曲线与方程,1,椭圆,1.1,椭圆及其标准方程,1/43,月球运行轨道,2/43,椭圆盘子,3/43,椭圆镜子,4/43,篮球在阳光下投影,5/43,从这些图片我们看到，在我们所生活世界中，随地可见椭圆这种图形,.,而且我们也已经知道了椭圆大致形状，那么,怎样确切描述椭圆呢？,我们能否动手画一个椭圆呢？,6/43,1.,了解椭圆实际背景，感受椭圆刻画现实世界,和在实际生活中作用,.,2.,掌握椭圆定义和标准方程,.,（重点）,3.,掌握椭圆标准方程推导过程,.,（难点）,7/43,探究点,1,椭圆定义,对于篮球在阳光下投影，,把太阳光看成一束平行光，,如图所表示，照射在篮球上平,行光线抽象为一个斜放圆柱，,篮球面抽象为一个球面，球心,记作,O,1,，篮球面与地面接触,点抽象为球与平面切点,F,1,，,影子恰好是圆柱面被平面斜截,截面，截面边界限称为椭圆,.,O,1,F,1,8/43,对于上图所表示几何模型，把圆柱面延伸，在截面下面也放一个与圆柱面和截面都相切，且一样大球，球心记作,O,2,该球与截面切点为,F,2,，如图所表示,.,O,2,F,2,F,1,O,1,9/43,两个球与圆柱面切点分别,组成了两个圆，圆心分别是,球心,O,1,O,2,，若,P,为椭圆上一,点，过点,P,作圆柱母线，分,别交,O,1,O,2,于,A,B,两点，则,PA,PF,1,是球,O,1,切线段，所以,PA=PF,1,，同理,PB,PF,2,是球,O,2,切线段，所以,PB=PF,2,，所以，,PF,1,+PF,2,=AB.,又,AB=O,1,O,2,，由此能够发觉椭圆上点到两切点距离之和是定值,O,1,O,2,.,O,1,F,1,F,2,O,2,10/43,动手操作：,将一条细绳两端固定在同一个定点上，用笔尖勾起绳子中点使绳子绷直，围绕定点旋转，这时笔尖画出轨迹是什么图形？,平面内到定点距离等于定长点轨迹是圆,.,提醒：,圆,11/43,思索,1,将细绳两端拉开一段距离，分别固定在不一样两点,F,1,，,F,2,处，并用笔尖拉紧绳子，再移动笔尖一周，这时笔尖画出轨迹是什么图形呢？,M,结论：,笔尖画出,轨迹是椭圆,.,12/43,思索,2,：,在画椭圆过程中，,(1)细绳两端位置是固定还是运动？,提醒：,固定,.,(2)绳子长度变了没有？为何要拉紧绳子？,提醒：,没改变,.,保持笔尖到两定点距离和不变,.,(3)绳子长度与两定点距离大小有怎样关系？,提醒：,三点,M,，,F,1,，,F,2,不共线时，组成三角形，,两边之和大于第三边长，可见绳子长度大于两定点,距离,.,结合思索问题，你能给椭圆下一个定义吗？,13/43,椭圆定义：,椭圆定义符号表示：,平面内到两个定点,F,1,，,F,2,距离之和,_,（大于,|F,1,F,2,|,）点集合叫做椭圆,.,这两个,_,叫做椭圆焦点，,两个焦点间距离叫做椭圆,_.,等于常数,定点,F,1,，,F,2,焦距,2a2c0,时，为椭圆,.,M,14/43,思索,3,：,椭圆定义中为何要求,常数大于,|F,1,F,2,|(,即,2a2c),？,提醒：,当,|MF,1,|+|MF,2,|=2a=|F,1,F,2,|,时,M,当,|MF,1,|+|MF,2,|=2a|F,1,F,2,|,时动点,M,轨迹才是椭圆,.,.,M,动点,M,轨迹为以,F,1,，,F,2,为端点线段；,动点,M,轨迹不存在,;,怎样用方程来表示椭圆呢？,15/43,探究点,2,椭圆标准方程,如图，作直线,F,1,F,2,和线段,F,1,F,2,垂直平分线,设,P,为椭圆上一点，依据椭圆定义，,P,关于这两条直线对称点也都在椭圆上，即这两条直线是椭圆对称轴,.,以直线,F,1,F,2,为,x,轴，线段,F,1,F,2,中垂线为,y,轴，建立平面直角坐标系,xOy,则焦点,F,1,，,F,2,坐标分别为,(,c,0),，,(c,0),.,16/43,A,1,A,2,B,2,B,1,依据椭圆定义和椭圆对称性,且 所以,即,得,A,1,(-a,0),A,2,(a,0),B,1,(0,-b),B,2,(0,b),如图椭圆和,x,轴，,y,轴分别有两个交点,A,1,，,A,2,和,B,1,，,B,2,，,17/43,设,P,（,x,y,),是椭圆上任意一点，,因为,所以,两边平方、整理，得,上式两边平方、整理，得,由椭圆定义，椭圆上点,P,满足,18/43,即,两边同除以,a,2,b,2,得,这说明椭圆上点坐标满足以上方程,.,我们还可,以证实，这个方程每一组解对应点都在椭圆上,.,19/43,抽象概括：,椭圆上任意一点坐标都是方程,解；,都在椭圆上,.,以方程,解为坐标点,我们将方程,叫作椭圆标准方程，,焦点坐标是,20/43,假如椭圆焦点在,y,轴上，如图，其焦点坐标为,用一样方法能够推出,它标准方程为,其中,y,O,x,F,1,F,2,M,(,0,-,c,),(,0,c,),21/43,总体印象：对称、简练，,“,像,”,直线方程截距式,焦点在,y,轴：,焦点在,x,轴：,3.,椭圆标准方程,:,1,o,F,y,x,2,F,M,1,2,y,o,F,F,M,x,22/43,图 形,方 程,焦 点,F,(,c,，,0),F,(0,，,c,),a,b,c,之间关系,c,2,=,a,2,-,b,2,|MF,1,|+|,MF,2,|=2,a,(,2,a,2,c,0,),定 义,1,2,y,o,F,F,M,x,1,o,F,y,x,2,F,M,注,:,共同点：椭圆标准方程表示一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点椭圆；方程左边是平方和，右边是,1.,不一样点：焦点在,x,轴椭圆 项分母较大,.,焦点在,y,轴椭圆 项分母较大,.,23/43,练习,1.,以下方程哪些表示椭圆？,若是,则判定其焦点在何轴？,并指明 ，写出焦点坐标,.,?,(2),焦点在,x,轴，焦点坐标（,-3,0,），（,3,0,）,(3),焦点在,x,轴，焦点坐标（,-1,0,），（,1,0,）,24/43,2.,回顾椭圆方程求解过程，有哪些主要步骤？,第一步：依据椭圆对称性建立坐标系；,提醒：,第二步：,设出椭圆上任意一点；,第三步：把椭圆定义用等式表示；,第四步：把等式中距离用坐标表示；,第五步：把得到方程化简；,第六步：说明椭圆上点坐标适合所求方程，以方程解为坐标点都在椭圆上,.,25/43,思索交流,O,x,y,F,1,F,2,M,(,-,c,0,),(,c,0,),提醒：,在椭圆方程中，由,可见，当,a,为定值时，随,c,增大，,b,减小，椭圆变扁；,随,c,减小，,b,增大，椭圆越靠近于圆,.,1.,当椭圆定义中常数,2a,为定值时，焦距,2c,改变与椭圆形状改变有怎样关系？,即伴随焦距,2c,增大，椭圆变扁；焦距减小，椭圆越靠近于圆,.,26/43,例,1,已知,B,C,是两个定点，,且,周长等于,22,，求顶点,A,满足一个轨迹方程,.,【解析】,由已知,得,由定义可知点,A,轨迹是一个椭圆，且,即,所以,27/43,如图，建立平面直角坐标系，,使,x,轴经过,B,C,两点，原点,O,为,BC,中点,.,提醒：,求点轨迹问题，要结合详细情况剔除不满足条件点,.,B,C,A,当点,A,在直线,BC,上，即,y=0,时，,A,，,B,，,C,三点不能组成三角形，所以点,A,满足一个轨迹方程是,28/43,例,2,已知椭圆两个焦点坐标分别为,而且经过点,求椭圆标准方程,.,【解析】,因为椭圆焦点在,y,轴上，所以设它标准方程为,解法,1,由椭圆定义知,所以,29/43,又,所以椭圆标准方程为,解法,2,因为点,在椭圆上，又,c=2,，得,解得,所以椭圆标准方程为,30/43,【,变式练习,】,求经过点,椭圆标准方程,.,解析：,当椭圆焦点在,x,轴上时，设椭圆方程为,将,坐标代入椭圆方程，得,31/43,解得,与,矛盾，舍去,.,当椭圆焦点在,y,轴上时，设椭圆方程为,将,坐标代入椭圆方程，得,32/43,解得,故所求椭圆方程为,33/43,【,提升总结,】,求椭圆标准方程解题步骤：,（,1,）确定焦点位置；,（,2,）设出椭圆标准方程；,（,3,）用待定系数法确定,a,，,b,值，写出椭圆标准方程,.,34/43,将,35/43,a,O,M,y,x,证实,:,将点,M,坐标代入方程,有,例,3,求证：,在椭圆,上,.,几何意义如图所表示,.,36/43,1.,动点,P,到两定点,F,1,(-4,0),，,F,2,(4,0),距离和是,8,，,则动点,P,轨迹为（）,A.,椭圆,B.,线段,F,1,F,2,C.,直线,F,1,F,2,D.,无轨迹,B,37/43,2.,已知椭圆标准方程为,则焦点坐标为,(),A.(1,0)B.(0,1),C.(1,0)D.(0,1),C,38/43,C,39/43,4.,已知椭圆两个焦点坐标分别是,(0,-3)(0,3),，椭圆上点,P,到两焦点距离和等于,8.,求椭圆标准方程,.,解析,:,由题意知椭圆焦点在,y,轴上，故可设椭圆,标准方程为,由题意，,所以，,椭圆标准方程为,40/43,41/43,求椭圆标准方程方法,一个方法：,二类方程,:,三个意识：,求美意识，求简意识，前瞻意识,42/43,不要只因一次失败，就放弃你原来决心想到达目标。,威廉,莎士比亚,43/43,
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