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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2.1.1,合情推理,第1页,天空乌云密布，你能得出什么推断？,推理无处不在,引例,1,第2页,依据一个或几个已知判断来确定一个新判断思维过程就叫推理,.,推理,已知,判断,前提,新,判断,结论,第3页,1.,铜,铁,铝,金,银等金属能导电,由此得一切金属都能导电,.,2.,三角形内角和是,180,四边形内角和是,360,五边形内角和是,540,由此得,n,边形内角和是,(,n,-2)180.,3.,一个数列前,4,项分别是,2,4,6,8,由此得这个数列通项公式为,2,n,.,一、归纳推理,观察以下推理例子,第4页,哥德巴,赫,猜测,:,3,7,10,3,17,20,13,17,30,10,3,7,20,3,17,30,13,17,一个规律：,偶数奇质数奇质数,6,3+3,，,8,3+5,10,5+5,1000,29+971,，,1002=139+863,猜测任何一个大于,6,偶数都等于两个奇质数和,.,第5页,问题,1:,以上推理有什么特点,?,特点,:,由,部分,到,整体,由,个别,到,普通,推理,.,归纳推理,:,由某类事物,部分对象,含有一些特征,推出该类事物,全部对象,都含有这些特征推理,或者由,个别事实,概括出,普通结论,.,推理,称为,归纳推理,(,简称归纳,).,归：归结。纳：总结,.,第6页,例,1:,观察以下等式,你有什么猜测吗,?,1+3=4=2,2,1+3+5=9=3,2,1+3+5+7=16=4,2,1+3+5+7+9=25=5,2,由此猜测,:,前,n,个连续奇数和,等于,n,平方,即,:,1+3+5+(2,n,-1)=,n,2,告诉我们考试怎样考？不论是会考还是高考。,假如改成,2,n,+1,呢？,第7页,观察可得：数列前,4,项都等于对应项数倒数,.,可用,数学归纳法,证实这个猜测是正确,.,第8页,问题,2:,由归纳推理得到结论是否一定可靠,?,都是质数,.,同学们看，欧拉计算能力历史上有名，在当初没有计算机、计算器，全靠一支笔，欧拉就把它算出来了,.,第9页,从一个传说说起：春秋时代鲁国公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业祖师）一次去林中砍树时被一株齿形茅草割破了手，这桩倒霉事却使他创造了锯子,.,他思绪是这么：,茅草是齿形；,茅草能割破手,.,我需要一个能割断木头工具；,它也能够是齿形,.,这个推理过程是归纳推理吗？,引例,2,第10页,除了归纳,人们在,创造创造中，经,常应用,类比,.,类：同类,.,比：比较,.,二、类比推理,第11页,火星,与,地球,类比思维过程：,火星,地球,存在类似特征,地球上有生命存在,猜测火星上也可能有生命存在,同学们，即使人类没有抵达火星，但航天器已经抵达,.,美国人以为全部地球人不是他对手，所以去开辟太空,.,美国人有个优点，人民自己不会跟自己斗，中国人是窝里斗,.,而且斗过来斗过去越斗越有精神,.,为何人民在斗？因为官员在斗,.,柏杨写书,丑陋中国人,，他说中国文化是酱缸文化,.,第12页,由两类对象含有一些类似特征，和其中一类对象一些已知特征，推出另一类对象也含有这些特征推理称为,类比推理（简称类比）,类比推理定义,:,简言之，类比推理是由,特殊到特殊,推理,第13页,试依据等式性质猜测不等式性质,.,猜测不等式性质：,问：这么猜测出结论是否一定正确？,以下类比同时说明考试怎样考,.,第14页,例,3,：类比实数加法和乘法,列出它们相同运算性质,.,类比角度,实数加法,实数乘法,运算结果,运算律,(,交换律和结合律,),逆运算,单位元,第15页,由平面内,圆,，我们联想到空间里,球,，让他们来类比你能找到他们有,哪些类似特征？,第16页,例,4:,试将平面上圆与空间球进行类比,.,解：圆与球在它们生成、形状、定义等方面都含有相同属性,.,据此，圆与球相关元素之间可建立以下对应关系：,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,表面积,体积,等等，于是依据圆性质，能够猜测球性质,以下表：,第17页,圆性质,球性质,圆心与弦(不是直径)中点连线垂直于弦,与圆心距离相等两弦相等；与圆心距离不等两弦不等，距圆心较近弦较长,圆切线垂直于过切点半径；经过圆心且垂直于切线直线必经过切点,经过切点且垂直于切线直线必经过圆心,球心与截面圆,(,不是大圆,),圆心连线垂直于截面圆,与球心距离相等两截面圆相等；与球心距离不等两截面圆不等，距球心较近截面圆较大,球切面垂直于过切点半径；经过球心且垂直于切面直线必经过切点,经过切点且垂直于切面直线必经过球心,第18页,类比推理举例,组成几何体元素数目：四面体 三角形,四面体由四个面围成，它是空间中数目最少基本元素（平面）围成封闭几何体；在平面内，两条直线不能围成一个封闭图形，而,3,条直线能够围成一个三角形，即三角形是平面内数目最少基本元素（直线）围成封闭图形。,探究：,你认为平面几何中哪一类图形能够作为四面体类比对象？,第19页,直角三角形,3个面两两垂直四面体,C90,3个边长度a，b，c,2条直角边a，b和1条斜边c,PDFPDEEDF90,4个面面积S1，S2，S3和S,3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S,例,5,：类比平面内直角三角形勾股定理,试 给出空间中四面体性质猜测,第20页,我们要依据实际情况选择适当类比对象如：,平面,空间,正方形,正方体,圆,球,三角形,三棱锥,还有向量与数、无限与有限、不等与相等类比,.,第21页,类比推理结论一定可靠吗？,“平面内，两组对边分别相等四边形是平行四边形”,“平面内，同时垂直于一条直线两条直线相互平行”,“空间中，两组对边分别相等四边形是平行四边形”,“空间中，同时垂直于一条直线两条直线相互平行”,类比,数学家波利亚说，类比是一个伟大引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中类比问题。,开普勒说，我珍视类比胜于任何东西，它是我最可信赖老师，它能揭示自然界秘密。,同学们注意，教材答案不好。对于第二个类比，因为直线类比平面，所以类比结果是：在空间中，同时垂直于一个平面两个平面相互平行。,类比为何是错误？原因是在平面内不能做事情在空间能够做，那就是在空间中能够干折叠、旋转。,第22页,三、,合情推理,归纳推理和类比推理都是依据已经有事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜测推理，我们把它们统称为,合情推理,。,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”推理。,合情推理应用,数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理经常能帮助我们猜测和发觉结论。,证实一个数学结论之前，合情推理经常能为我们提供证实思绪和方向,法国数学家拉普拉斯说，即使在数学里，发觉真理主要工具也是归纳和类比。,第23页,例,6.,这是一个古老汉诺塔游戏。有三根针和套在一根针上若干金属片,.,按以下规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,1.,每次只能移动一个金属片,;,2.,较大金属片不能放在较小金属片上面,.,试推测,:,把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针,最少需要移动多少次,?,第24页,n,=1,时,第25页,n,=2,时,n,=1,时,第26页,n,=3,时,n,=2,时,n,=1,时,第27页,n,=2,时,n,=1,时,n,=3,时,第28页,n,=4,时,n,=3,时,n,=2,时,n,=1,时,同学们，即使以为移动金属片会变幻无穷，杂乱无章，毫无规律，一头乱码，但仔细分析会轻易发觉规律。只要静下心来，不被表面现象吓倒。,第29页,n,=4,时,n,=3,时,n,=2,时,n,=1,时,归纳,:,第30页,类比推理,由,特殊到特殊,推理;,以旧知识为基础,推测,新,结果；,归纳推理,由部分到整体、,特殊到普通,推理;,以观察分析为基础,推测,新,结论;,含有,发觉,功效;,结论不一定成立.,含有,发觉,功效;,课堂小结,第31页,
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