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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第四节直接证实与间接证实,1/29,总纲目录,教材研读,1.,直接证实,考点突破,2.,间接证实,考点二分析法,考点一综正当,考点三反证法,2/29,内容,综正当,分析法,定义,利用已知条件和一些数学定义、公理、定理等,经过一系列推理论证,最终推导出所要证实结论成立,从要证实结论出发,逐步寻求使它成立充分条件,直至最终,把要证实结论归结为判定一个显著成立条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,实质,由因导果,执果索因,框图表示,P,Q,1,Q,1,Q,2,Q,2,Q,3,Q,n,Q,QP1P1P2P2P3得到一个显著成立条件,文字语言,因为,所以,或由,得,要证,只需证,即证,1.直接证实,教材研读,3/29,2.间接证实,间接证实是不一样于直接证实又一类证实方法,反证法是一个惯用间,接证实方法.,(1)反证法定义:假设原命题,不成立,(即在原命题条件下,结论,不成立),经过正确推理,最终得出,矛盾,所以说明假设错误,从,而证实,原命题成立,证实方法.,(2)用反证法证实普通步骤:(i)反设假设命题结论不成立;(ii)归,谬依据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不,成立,从而必定原命题结论成立.,4/29,1.命题“对任意角,cos,4,-sin,4,=cos 2,”证实:“cos,4,-sin,4,=(cos,2,-,sin,2,)(cos,2,+sin,2,)=cos,2,-sin,2,=cos 2,”过程应用了,(),A.分析法,B.综正当,C.综正当、分析法综合使用,D.间接证实法,B,答案,B因为证实过程是“从左往右”,即由条件,结论,故选B.,5/29,2.要证,a,2,+,b,2,-1-,a,2,b,2,0,只要证实,(),A.2,ab,-1-,a,2,b,2,0,B.,a,2,+,b,2,-1-,0,C.,-1-,a,2,b,2,0,D.(,a,2,-1)(,b,2,-1),0,答案,D,a,2,+,b,2,-1-,a,2,b,2,0,(,a,2,-1)(,b,2,-1),0.,D,6/29,3.用反证法证实命题:“三角形内角中最少有一个小于60度”,假设,正确是,(),A.假设三个内角都小于60度,B.假设三个内角都大于60度,C.假设三个内角至多有一个大于60度,D.假设三个内角至多有两个大于60度,B,答案,B依据反证法定义,假设是对原命题结论否定,故假设三个,内角都大于60度.故选B.,7/29,4.若,a,b,c,为实数,且,a,b,0,则以下命题正确是,(),A.,ac,2,ab,b,2,C.,B,答案,B,a,2,-,ab,=,a,(,a,-,b,),a,b,0,a,-,b,0,a,2,ab,.,又,ab,-,b,2,=,b,(,a,-,b,)0,ab,b,2,由得,a,2,ab,b,2,.,8/29,5.若,成等比数列,则lo,x,=,.,2,答案,2,解析,由题意得(,),2,=,所以,=,所以,x,=,.,设lo,x,=,y,即,=,=,所以,y,=2,即lo,x,=2.,9/29,6.已知点,A,n,(,n,a,n,)为函数,y,=,图象上点,B,n,(,n,b,n,)为函数,y,=,x,图象上,点,其中,n,N,*,设,c,n,=,a,n,-,b,n,则,c,n,与,c,n,+1,大小关系为,.,c,n,c,n,+1,答案,c,n,c,n,+1,解析,由题意知,a,n,=,b,n,=,n,c,n,=,-,n,=,.,显然,c,n,伴随,n,增大而减小,c,n,c,n,+1,.,10/29,典例1,数列,a,n,满足,a,n,+1,=,a,1,=1.,(1)证实:数列,是等差数列;,(2)求数列,前,n,项和,S,n,并证实,+,+,+,.,考点一综正当,考点突破,11/29,解析,(1)证实:,a,n,+1,=,=,化简得,=2+,即,-,=2,故数列,是以1为首项,2为公差等差数列.,(2)由(1)知,=2,n,-1,S,n,=,=,n,2,.,解法一:,+,+,+,=,+,+,+,+,+,+,=,+,+,+,=1-,=,12/29,即,+,+,+,.,解法二:,+,+,+,=,+,+,+,1,1,+,+,+,.,13/29,规律总结,综正当证题思绪,14/29,1-1,如图,三棱锥,P,-,ABC,中,平面,PAC,平面,ABC,ABC,=,点,D,E,在线,段,AC,上,且,AD,=,DE,=,EC,=2,PD,=,PC,=4,点,F,在线段,AB,上,且,EF,BC,.,证实:,AB,平面,PFE,.,15/29,证实,由,DE,=,EC,PD,=,PC,知,E,为等腰,PDC,中,DC,边中点,故,PE,AC,.,又平面,PAC,平面,ABC,平面,PAC,平面,ABC,=,AC,PE,平面,PAC,PE,AC,所以,PE,平面,ABC,从而,PE,AB,.,又,ABC,=,EF,BC,故,AB,EF,.,从而,AB,与平面,PFE,内两条相交直线,PE,EF,都垂直,所以,AB,平面,PFE,.,16/29,1-2,(山东济宁质检)已知函数,f,(,x,)=,x,2,+,bx,+,c,(,b,c,R且,c,0)在-1,1,上有两个零点,求证:-22,b,+,c,2.,证实,设函数,f,(,x,)在-1,1上两个零点分别为,x,1,x,2,(不妨设,x,1,x,2,),所以,f,(,x,)=(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,).,因为,c,0,所以,f,(0)=,c,0,所以-1,x,1,0,x,2,1,所以22-,x,1,3,1,2-,x,2,2,所以2(2-,x,1,)(2-,x,2,)6.,因为,f,(2)=(2-,x,1,)(2-,x,2,),所以2,f,(2)6.,因为,f,(2)=4+2,b,+,c,所以-22,b,+,c,lg,a,+lg,b,+,lg,c,.,证实,lg,+lg,+lg,lg,a,+lg,b,+lg,c,即lg,lg,abc,也就是,abc,.因为,a,b,c,是不全相等正数,所以显然,有,abc,成立,所以lg,+lg,+lg,lg,a,+lg,b,+lg,c,.,21/29,2-2已知函数,f,(,x,)=tan,x,x,若,x,1,x,2,且,x,1,x,2,求证:,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),f,.,证实要证,f,(,x,1,)+,f,(,x,2,),f,即证实,(tan,x,1,+tan,x,2,)tan,只需证实,tan,只需证实,.,因为,x,1,x,2,故,x,1,+,x,2,(0,).,22/29,所以cos,x,1,cos,x,2,0,sin(,x,1,+,x,2,)0,1+cos(,x,1,+,x,2,)0.,故只需证实1+cos(,x,1,+,x,2,)2cos,x,1,cos,x,2,即证1+cos,x,1,cos,x,2,-sin,x,1,sin,x,2,2cos,x,1,cos,x,2,.,即证cos(,x,1,-,x,2,),f,.,23/29,典例3,已知数列,a,n,前,n,项和为,S,n,且满足,a,n,+,S,n,=2.,(1)求数列,a,n,通项公式;,(2)求证:数列,a,n,中不存在三项按原来次序成等差数列.,考点三反证法,24/29,解析,(1)当,n,=1时,a,1,+,S,1,=2,a,1,=2,则,a,1,=1.,又,a,n,+,S,n,=2,所以,a,n,+1,+,S,n,+1,=2,两式相减得,a,n,+1,=,a,n,所以,a,n,是首项为1,公比为,等比数列,所以,a,n,=,.,(2)证实:假设存在三项按原来次序成等差数列,记为,a,p,+1,a,q,+1,a,r,+1,(,p,q,r,且,p,q,r,N,*,),则2,=,+,所以22,r,-,q,=2,r,-,p,+1.(*),又因为,p,q,r,且,p,q,r,N,*,所以,r,-,q,r,-,p,N,*,.,所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立.,所以假设不成立,原命题得证.,25/29,规律总结,用反证法证实数学命题需把握三点,(1)必须先否定结论,即必定结论反面;,(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论反面作为条件,且必须依据,这一条件进行推证;,(3)推导出矛盾可能各种多样,有与已知矛盾,有与假设矛盾,有,与已知事实矛盾等,不过推导出矛盾必须是显著.,26/29,3-1,已知,a,0,证实:关于,x,方程,ax,=,b,有且只有一个根.,证实,因为,a,0,所以方程最少有一个根,x,=,.,假设,x,1,x,2,是它两个不一样根,即,ax,1,=,b,ax,2,=,b,由-得,a,(,x,1,-,x,2,)=0,因为,x,1,x,2,所以,x,1,-,x,2,0,所以,a,=0,这与已知矛盾,故假设错误;,所以当,a,0时,方程,a,=,b,有且只有一个根.,27/29,3-2,已知四棱锥,S,-,ABCD,中,底面是边长为1正方形,又,SB,=,SD,=,SA,=1.,(1)求证:,SA,平面,ABCD,;,(2)在棱,SC,上是否存在异于,S,C,点,F,使得,BF,平面,SAD,?若存在,确定,F,点位置;若不存在,请说明理由.,28/29,解析,(1)证实:由已知得,SA,2,+,AD,2,=,SD,2,SA,AD,.,同理,SA,AB,.,又,AB,AD,=,A,AB,平面,ABCD,AD,平面,ABCD,SA,平面,ABCD,.,(2)假设在棱,SC,上存在异于,S,C,点,F,使得,BF,平面,SAD,.,BC,AD,BC,平面,SAD,.,BC,平面,SAD,.而,BC,BF,=,B,平面,FBC,平面,SAD,.,这与平面,SBC,和平面,SAD,有公共点,S,矛盾,假设不成立.,不存在这么点,F,使得,BF,平面,SAD,.,29/29,
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