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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),2.5幂函数、函数与方程,1/37,1.,(江苏,14,5分)设,f,(,x,)是定义在R上且周期为1函数,在区间0,1)上,f,(,x,)=,其中集,合,D,=,则方程f(x)-lg,x,=0解个数是,.,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,答案,8,2/37,解析,解法一:因为,f,(,x,)0,1),则只需考虑1,x,10情况,在此范围内,x,Q且,x,Z时,设,x,=,p,q,N,*,p,2且,p,q,互质,若lg,x,Q,则由lg,x,0,1),可设lg,x,=,m,n,N,*,m,2且,m,n,互质,所以1,=,则10,n,=,此时等号左边为整数,等号右边为非整数,矛盾.所以lg,x,Q,所以lg,x,不可能与每个周期内,x,D,对应部分相等,只需考虑lg,x,与每个周期内,x,D,对应部分交点.,画出函数草图,图中交点除(1,0)外,其它交点横坐标均为无理数,且,x,=1处(lg,x,)=,=,0)图象上一动点.若,点,P,A,之间最短距离为2,则满足条件实数,a,全部值为,.,答案,-1,解析,设,P,则|,PA,|,2,=(,x,-,a,),2,+,=,-2,a,+2,a,2,-2,令,t,=,x,+,2(,x,0,当且仅当,x,=1时取“=”),则|,PA,|,2,=,t,2,-2,at,+2,a,2,-2.,(1)当,a,2时,(|,PA,|,2,),min,=2,2,-2,a,2+2,a,2,-2=2,a,2,-4,a,+2,由题意知,2,a,2,-4,a,+2=8,解得,a,=-1或,a,=3(舍).,(2)当,a,2时,(|,PA,|,2,),min,=,a,2,-2,a,a,+2,a,2,-2=,a,2,-2.,由题意知,a,2,-2=8,解得,a,=,或,a,=-,(舍),综上,a,=-1或,.,5/37,3.,(江苏,13,5分,0.48)已知,f,(,x,)是定义在R上且周期为3函数,当,x,0,3)时,f,(,x,)=,.,若函数,y,=,f,(,x,)-,a,在区间-3,4上有10个零点(互不相同),则实数,a,取值范围是,.,答案,解析,当,x,0,3)时,f,(,x,)=,=,由,f,(,x,)是周期为3函数,作出,f,(,x,)在-3,4上图,象,如图.,由题意知方程,a,=,f,(,x,)在-3,4上有10个不一样根.,由图可知,a,.,6/37,4.,(江苏,13,5分,0.27)已知函数,f,(,x,)=|ln,x,|,g,(,x,)=,则方程|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1实根个数,为,.,答案,4,解析,由|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1可得,f,(,x,)+,g,(,x,)=,1,即,g,(,x,)=-,f,(,x,),1,则原问题等价于函数,y,=,g,(,x,)与,y,=-,f,(,x,)+1或,y,=,g,(,x,)与,y,=-,f,(,x,)-1图象交点个数问题,在同一坐标系中作出,y,=,g,(,x,),y,=-,f,(,x,)+1及,y,=-,f,(,x,)-1图象,如图:,由图可知,函数,y,=,g,(,x,)图象与函数,y,=-,f,(,x,)+1图象有2个交点,与函数,y,=-,f,(,x,)-1图象有2个交,点,则方程|,f,(,x,)+,g,(,x,)|=1实根个数为4.,7/37,考点一二次函数与幂函数,1.,(北京文,11,5分)已知,x,0,y,0,且,x,+,y,=1,则,x,2,+,y,2,取值范围是,.,B组统一命题省(区、市)卷题组,答案,解析,由题意知,y,=1-,x,y,0,x,0,0,x,1,则,x,2,+,y,2,=,x,2,+(1-,x,),2,=2,x,2,-2,x,+1=2,+,.,当,x,=,时,x,2,+,y,2,取最小值,当,x,=0或,x,=1时,x,2,+,y,2,取最大值1,x,2,+,y,2,.,8/37,2.,(课标全国理改编,6,5分)已知,a,=,b,=,c,=2,则以下关系正确是,.,b,a,c,;,a,b,c,;,b,c,a,;,c,a,b,.,答案,解析,因为,a,=,=,c,=2,=,函数,y,=,在(0,+,)上单调递增,所以,即,a,c,又因为函数,y,=4,x,在R上单调递增,所以,即,b,a,所以,b,a,c,.,方法总结,指数比较大小问题往往利用函数性质及图象来处理.,评析,本题主要考查指数大小比较,属中等题.,3.,(四川改编,9,5分)假如函数,f,(,x,)=,(,m,-2),x,2,+(,n,-8),x,+1(,m,0,n,0)在区间,上单调递减,那,么,mn,最大值为,.,答案,18,9/37,解析,当,m,=2时,f,(,x,)=(,n,-8),x,+1在区间,上单调递减,则,n,-80,n,8,于是,mn,16,则,mn,无最大,值.当,m,0,2)时,f,(,x,)图象开口向下且过点(0,1),要使,f,(,x,)在区间,上单调递减,需-,即2,n,+,m,18,又,n,0,则,mn,m,=-,m,2,+9,m,.而,g,(,m,)=-,m,2,+9,m,在0,2)上为增函数,m,0,2)时,g,(,m,)2时,f,(,x,)图象开口向上且过点(0,1),要使,f,(,x,)在区间,上单调递减,需-,2,即2,m,+,n,12,而2,m,+,n,2,所以,mn,18,当且仅当,即,时,取“=”,此时满足,m,2.故,(,mn,),max,=18.,综上可得,(,mn,),max,=18.,评析,本题考查了二次函数图象与性质、基本不等式.考查学生分析问题与处理问题能力.,考查转化与化归数学思想.,10/37,4.,(辽宁,16,5分)对于,c,0,当非零实数,a,b,满足4,a,2,-2,ab,+4,b,2,-,c,=0且使|2,a,+,b,|最大时,-,+,最,小值为,.,答案,-2,解析,设2,a,+,b,=,t,则2,a,=,t,-,b,由已知得关于,b,方程(,t,-,b,),2,-,b,(,t,-,b,)+4,b,2,-,c,=0有解,即6,b,2,-3,tb,+,t,2,-,c,=0有解.,故,=9,t,2,-24(,t,2,-,c,),0,所以,t,2,c,所以|,t,|,max,=,此时,c,=,t,2,b,=,t,2,a,=,t,-,b,=,所以,a,=,.,故,-,+,=,-,+,=8,=8,-2,-2.,11/37,5.,(浙江理,18,15分)已知,a,3,函数,F,(,x,)=min2|,x,-1|,x,2,-2,ax,+4,a,-2,其中min,p,q,=,(1)求使得等式,F,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2成立,x,取值范围;,(2)(i)求,F,(,x,)最小值,m,(,a,);,(ii)求,F,(,x,)在区间0,6上最大值,M,(,a,).,解析,(1)因为,a,3,故,当,x,1时,(,x,2,-2,ax,+4,a,-2)-2|,x,-1|=,x,2,+2(,a,-1)(2-,x,)0,当,x,1时,(,x,2,-2,ax,+4,a,-2)-2|,x,-1|=(,x,-2)(,x,-2,a,).,所以,使得等式,F,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2成立,x,取值范围为2,2,a,.,(2)(i)设函数,f,(,x,)=2|,x,-1|,g,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4,a,-2,则,f,(,x,),min,=,f,(1)=0,g,(,x,),min,=,g,(,a,)=-,a,2,+4,a,-2,所以,由,F,(,x,)定义知,m,(,a,)=min,f,(1),g,(,a,),即,m,(,a,)=,(ii)当0,x,2时,F,(,x,),f,(,x,),max,f,(0),f,(2)=2=,F,(2),当2,x,6时,F,(,x,),g,(,x,),max,g,(2),g,(6)=max2,34-8,a,=max,F,(2),F,(6).,所以,M,(,a,)=,12/37,思绪分析,(1)先分类讨论去掉绝对值符号,再利用作差法求解;(2)分段函数求最值方法是分,别求出各段上最值,较大(小)值就是这个函数最大(小)值.,评析,本题主要考查函数单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理,论证能力,分析问题和处理问题能力.,考点二函数零点与方程根,1.,(山东理改编,10,5分)已知当,x,0,1时,函数,y,=(,mx,-1),2,图象与,y,=,+,m,图象有且只有一,个交点,则正实数,m,取值范围是,.,答案,(0,1,3,+,),解析,当,01时,在同一平面直角坐标系中作出函数,y,=(,mx,-1),2,与,y,=,+,m,图象,如图.,要满足题意,则(,m,-1),2,1+,m,解得,m,3或,m,0(舍去),m,3.,综上,正实数,m,取值范围为(0,1,3,+,).,方法总结,已知函数有零点(方程有根或图象有交点)求参数值或取值范围惯用方法:,直接法:直接依据题设条件构建关于参数方程或不等式,再经过解方程或不等式确定参数,值或取值范围.,分离参数法:先将参数分离,转化成求函数最值问题加以处理.,数形结正当:在同一平面直角坐标系中画出函数图象,然后数形结合求解.,14/37,2.,(课标全国理改编,11,5分)已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)有唯一零点,则,a,=,.,答案,解析,由函数,f,(,x,)有零点得,x,2,-2,x,+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)=0有解,即(,x,-1),2,-1+,a,(e,x,-1,+e,-,x,+1,)=0有解,令,t,=,x,-1,则上式可化为,t,2,-1+,a,(e,t,+e,-,t,)=0,即,a,=,.,令,h,(,t,)=,易得,h,(,t,)为偶函数,又由,f,(,x,)有唯一零点得函数,h,(,t,)图象与直线,y,=,a,有唯一交点,则此交点横坐标为0,所以,a,=,=,.,15/37,3.,(山东,15,5分)已知函数,f,(,x,)=,其中,m,0.若存在实数,b,使得关于,x,方,程,f,(,x,)=,b,有三个不一样根,则,m,取值范围是,.,答案,(3,+,),解析,f,(,x,)图象如图所表示,若存在实数,b,使得关于,x,方程,f,(,x,)=,b,有三个不一样根,只需4,m,-,m,2,3或,m,0,所以,m,3.,方法总结,分段函数问题、函数零点个数问题或方程根个数问题通常采取数形结合思想,方法来处理.,评析,本题考查基本初等函数及分段函数图象,考查数形结合思想方法,属于难题.,16/37,4.,(天津,14,5分)已知函数,f,(,x,)=,(,a,0,且,a,1)在R上单调递减,且关于,x,方程|,f,(,x,)|=2-,恰有两个不相等实数解,则,a,取值范围是,.,答案,解析,函数,f,(,x,)在R上单调递减,解得,a,.,在同一直角坐标系下作出函数,y,=|,f,(,x,)|与,y,=2-,图象,如图所表示.,17/37,方程|,f,(,x,)|=2-,恰有两个不相等实数解等价于,y,=|,f,(,x,)|图象与,y,=2-,图象恰有两个交点,则,需满足3,a,2,得,a,综上可知,a,.,易错警示,(1),f,(,x,)在R上单调递减,需满足,缺乏条件是失分一个原因;,(2)由方程解个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数,问题是处理这类问题惯用方法.,评析,本题主要考查分段函数单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解个数问题,转化为求两个函数图象交点个数问题,这是求解这类问题惯用方法.,5.,(北京,14,5分)设函数,f,(,x,)=,若,a,=1,则,f,(,x,)最小值为,;,若,f,(,x,)恰有2个零点,则实数,a,取值范围是,.,答案,-1,2,+,),18/37,解析,当,a,=1时,f,(,x,)=,其大致图象如图所表示:,由图可知,f,(,x,)最小值为-1.,当,a,0时,显然函数,f,(,x,)无零点;,当0,a,1时,易知,f,(,x,)在(-,1)上有一个零点,要使,f,(,x,)恰有2个零点,则当,x,1时,f,(,x,)有且只有一个,零点,结合图象可知,2,a,1,即,a,则,a,1,由二次函数性质可知,当,x,1时,f,(,x,)有2个零点,则要使,f,(,x,)恰有2个零点,则需要,f,(,x,)在(-,1)上无零点,则2-,a,0,即,a,2.,综上可知,满足条件,a,取值范围是,2,+,).,19/37,6.,(天津改编,8,5分)已知函数,f,(,x,)=,函数,g,(,x,)=,b,-,f,(2-,x,),其中,b,R.若函数,y,=,f,(,x,)-,g,(,x,)恰有4个零点,则,b,取值范围是,.,答案,解析,由已知条件可得,g,(,x,)=,函数,y,=,f,(,x,),y,=,g,(,x,)图象如图所表示:,要使,y,=,f,(,x,)-,g,(,x,)恰有4个零点,只需,y,=,f,(,x,)与,y,=,g,(,x,)图象恰有4个不一样交点,需满足,在,x,0时有两个不一样解,即,x,2,+,x,+2-,b,=0有两个不一样负根,则,解得,b,2时有两个不一样解,即,x,2,-5,x,+8-,b,=0有两个大于2不一样实根,令,h,(,x,)=,x,2,-5,x,+8-,b,需,即,解得,b,2.,总而言之,满足条件,b,取值范围是,b,0),g,(,x,)=log,a,x,图象可能是,(填序号).,C,组 教师专用题组,22/37,答案,解析,因为,a,0,所以,f,(,x,)=,x,a,在(0,+,)上为增函数,故错.在中,由,f,(,x,)图象知,a,1,由,g,(,x,),图象知0,a,1,矛盾,故错.在中,由,f,(,x,)图象知0,a,1,矛盾,故错.在,中,由,f,(,x,)图象知0,a,1,由,g,(,x,)图象知0,a,0.分以下三种情况:,i)四个交点横坐标均小于1.由,得,x,2,+(3-,a,),x,+,a,=0,由,1,=(3-,a,),2,-4,a,0得,a,9舍去).,故0,a,1时恰有四个交点.,ii)三个交点横坐标小于1,一个交点横坐标大于1,则,y,=,a,(1-,x,)与,y,=-,x,2,-3,x,(-3,x,1)也相切,解得,a,=1且,a,=9,此种情形不存在.,iii)两个交点横坐标小于1,另两个交点横坐标大于1.由,得,x,2,+(3-,a,),x,+,a,=0,由,2,=(3-,a,),2,-4,a,0得,a,9(,a,9时恰有四个交点.,综上,a,(0,1),(9,+,).,4.,(湖南,15,5分)已知函数,f,(,x,)=,若存在实数,b,使函数,g,(,x,)=,f,(,x,)-,b,有两个零点,则,a,取,值范围是,.,25/37,答案,(-,0),(1,+,),解析,当,a,1时,f,(,x,)图象如图所表示,当,b,(,a,2,a,3,时,函数,g,(,x,)=,f,(,x,)-,b,有两个零点,分别是,x,1,=,x,2,=,.综上,a,(-,0),(1,+,).,26/37,5.,(课标全国改编,12,5分)已知函数,f,(,x,)(,x,R)满足,f,(,x,)=,f,(2-,x,),若函数,y,=|,x,2,-2,x,-3|与,y,=,f,(,x,)图,象交点为(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),(,x,m,y,m,),则,=,.,答案,m,解析,由题意可知,f,(,x,)图象关于直线,x,=1对称,而,y,=|,x,2,-2,x,-3|=|(,x,-1),2,-4|图象也关于直线,x,=1对,称,所以两个图象交点关于直线,x,=1对称,且每对关于直线,x,=1对称交点横坐标之和为2,所,以,x,i,=,m,.,6.,(浙江,18,15分)已知函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,+,b,(,a,b,R),记,M,(,a,b,)是|,f,(,x,)|在区间-1,1上最大值.,(1)证实:当|,a,|,2时,M,(,a,b,),2;,(2)当,a,b,满足,M,(,a,b,),2时,求|,a,|+|,b,|最大值.,解析,(1)证实:由,f,(,x,)=,+,b,-,得对称轴为直线,x,=-,.,由|,a,|,2,得,1,故,f,(,x,)在-1,1上单调,所以,M,(,a,b,)=max|,f,(1)|,|,f,(-1)|.,当,a,2时,由,f,(1)-,f,(-1)=2,a,4,得max,f,(1),-,f,(-1),2,27/37,即,M,(,a,b,),2.,当,a,-2时,由,f,(-1)-,f,(1)=-2,a,4,得max,f,(-1),-,f,(1),2,即,M,(,a,b,),2.,综上,当|,a,|,2时,M,(,a,b,),2.,(2)由,M,(,a,b,),2得|1+,a,+,b,|=|,f,(1)|,2,|1-,a,+,b,|=|,f,(-1)|,2,故|,a,+,b,|,3,|,a,-,b,|,3,由|,a,|+|,b,|=,得|,a,|+|,b,|,3.,当,a,=2,b,=-1时,|,a,|+|,b,|=3,且|,x,2,+2,x,-1|在-1,1上最大值为2,即,M,(2,-1)=2.,所以|,a,|+|,b,|最大值为3.,评析,本题主要考查函数单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识,同时考查推理,论证能力、分析问题和处理问题能力.,28/37,填空题(每小题5分,共20分),1.,(江苏南通、徐州联考)已知幂函数,f,(,x,)=,kx,图象经过点(4,2),则,k,+,=,.,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：20分钟 分值：20分),答案,解析,由题意得,k,=1,4,=2,=,k,+,=,.,2.,(江苏淮阴中学期中)以下幂函数:,y,=,;,y,=,x,-2,;,y,=,;,y,=,其中既是偶函数,又在区,间(0,+,)上单调递增函数是,.(填对应函数序号),答案,解析,函数,y,=,定义域为0,+,),所以该函数不是偶函数,故函数不符合题意;函数,y,=,x,-2,是,偶函数,但在区间(0,+,)上单调递减,故函数不符合题意;函数,y,=,是偶函数,且在区间(0,+,),上单调递增,故函数符合题意;函数,y,=,是奇函数,故函数不符合题意.综上知,符合题意幂,函数为.,29/37,3.,(江苏泰州中学质检,10)关于,x,一元二次方程,x,2,+2(,m,+3),x,+2,m,+14=0有两个不一样实根,且,一根大于3,一根小于1,则,m,取值范围是,.,答案,解析,设,f,(,x,)=,x,2,+2(,m,+3),x,+2,m,+14,由题设可得,所以,m,0)恰有三个零点,则实数,m,取值范围是,.,B,组 高考模拟综合题组,(时间：20分钟 分值：20分),答案,解析,f,(,x,)=,x,3,+,mx,+,f,(,x,)=3,x,2,+,m,若,m,0,则,f,(,x,),0恒成立,函数,f,(,x,)=,x,3,+,mx,+,至多有一个零点,此时,h,(,x,)不可能有3个零点,故,m,0,令,f,(,x,)=0,得,x,=,易求得,g,(1)=0,31/37,若,h,(,x,)有3个零点,则,即,解得-,m,-,.,即实数,m,取值范围为,.,方法点拨,包括函数零点问题、方程根个数问题、函数图象交点个数问题,普通先经过导,数研究函数单调性、最值、改变趋势等,再借助函数大致图象判断零点、方程根、交点,情况.,2,.(江苏淮阴中学期中,10)已知关于,x,一元二次方程,x,2,-2,ax,+,a,+2=0两个实数根是,且有,1,2,3,则实数,a,取值范围是,.,答案,32/37,解析,设,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+,a,+2,结合二次函数图象及一元二次方程根分布情况可得,即,解得2,a,1)在区间(-2,6上恰有3个不一样零点,则,a,取值范,围是,.,答案,(,2),33/37,解析函数,g,(,x,)=,f,(,x,)-log,a,(,x,+2)(,a,1)在区间(-2,6上恰有3个不一样零点等价于曲线,y,=,f,(,x,)与曲线,y,=log,a,(,x,+2)在区间(-2,6上恰有3个不一样交点.,因为对任意,x,R,都有,f,(,x,-2)=,f,(,x,+2),所以对任意,x,R,都有,f,(,x,)=,f,(,x,+4),所以,f,(,x,)周期为4.,因为,f,(,x,)是定义在R上偶函数,且当,x,-2,0时,f,(,x,)=,-1,所以,f,(,x,)在区间(-2,6上图象如图,从而有,解得,a,(,2).,34/37,填空题,1.,(南京、盐城第二次模拟考试,12)若函数,f,(,x,)=,x,2,-,m,cos,x,+,m,2,+3,m,-8有唯一零点,则满足条件,实数,m,组成集合为,.,C,组 高考模拟创新题组,答案,2,解析,易知,f,(,x,)是偶函数,所以函数唯一零点为,x,=0,代入得-,m,+,m,2,+3,m,-8=0,解得,m,=2或,m,=-4,当,m,=-4时,函数,f,(,x,)=,x,2,+4cos,x,-4,借助图象可知,y,=,x,2,-4与,y,=-4cos,x,图象有三个交点,故,m,-4,易知,m,=2满足条件,故所求集合为2.,思绪分析,易得出,f,(,x,)为偶函数,所以函数,f,(,x,)唯一零点为,x,=0,将其代入解析式求,m,值,注意,求出解后要对其进行检验.,35/37,2.,(江苏苏北四市期末,14)已知函数,f,(,x,)=,若函数,f,(,x,)图象与直线,y,=,x,有三个不一样公共点,则实数,a,取值范围为,.,答案,a,|-20,a,-16,解析,因为,y,=sin,x,(,x,1)图象与,y,=,x,图象无交点,故只需函数,y,=,x,3,-9,x,2,+25,x,+,a,(,x,1)图象与,直线,y,=,x,有三个不一样公共点即可.,令,g,(,x,)=,x,3,-9,x,2,+24,x,+,a,(,x,1),则,g,(,x,)=3,x,2,-18,x,+24=3(,x,2,-6,x,+8)=3(,x,-2)(,x,-4),当,x,1,2),(4,+,)时,g,(,x,)单调递增,当,x,(2,4)时,g,(,x,)单调递减,依题意只需,g,(,x,)=,x,3,-9,x,2,+24,x,+,a,(,x,1)图象与,x,轴有3个交点即可,g,(1)=16+,a,0,g,(2)=20+,a,0,g,(4)=16+,a,0,-20,a,-16.,36/37,3.,(南通第三次调研,12)已知函数,f,(,x,)=,x,2,+,ax,(,a,R),g,(,x,)=,(,f,(,x,)为,f,(,x,)导函数).若,方程,g,(,f,(,x,)=0有四个不等实根,则,a,取值范围是,.,答案,a,2,解析,易求得,f,(,x,)=2,x,+,a,.,则,g,(,f,(,x,)=0,或,或,当,a,=0时不符合题意;,当,a,0有两个与0,-,a,不一样根,此时,g,f,(,x,)=0共有四个不,同根;当,a,0时,x,=0,x,=-,a,-,a,2,所以,a,取值范围是,a,2.,37/37,
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