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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第五节三角函数图象与性质,1/29,总纲目录,教材研读,三个基本三角函数图象和性质,考点突破,考点二三角函数奇偶性、周期性及对称性,考点一三角函数最值（值域）,考点三三角函数单调性,2/29,三个基本三角函数图象和性质,教材研读,3/29,4/29,5/29,1.函数,y,=cos 2,x,图象一条对称轴方程是,(),A.,x,=,B.,x,=,C.,x,=-,D.,x,=-,A,答案,A令2,x,=,k,(,k,Z),得,x,=,(,k,Z),函数,y,=cos 2,x,图象对称轴方程为,x,=,(,k,Z),令,k,=1,得,x,=,故选A.,6/29,2.已知函数,f,(,x,)=cos(2,x,+,)(,为常数)是奇函数,那么cos,=,(),A.-,B.0,C.,D.1,B,答案,B因为函数,f,(,x,)=cos(2,x,+,)(,为常数)是奇函数,所以,f,(0)=cos,=,0,故选B.,7/29,3.已知函数,f,(,x,)=cos,4,x,-sin,4,x,以下结论中错误是,(),A.,f,(,x,)=cos 2,x,B.函数,f,(,x,)图象关于直线,x,=0对称,C.,f,(,x,)最小正周期为,D.,f,(,x,)值域为-,D,答案,D,f,(,x,)=cos,4,x,-sin,4,x,=cos,2,x,-sin,2,x,=cos 2,x,易知A,B,C项正确,f,(,x,),值域是-1,1,故D项错误,选D.,8/29,4.函数,y,=sin,图象对称轴是,x,=,k,k,Z,.,答案,x,=,k,k,Z,解析,y,=sin,=cos,x,依据余弦函数性质可知,y,=sin,图象对称轴是,x,=,k,k,Z.,9/29,5.(北京朝阳期中)函数,f,(,x,)=cos,2,x,-sin,2,x,单调递减区间为,(,k,Z),.,答案,(,k,Z),解析,f,(,x,)=cos,2,x,-sin,2,x,=cos 2,x,令2,k,2,x,2,k,+,k,Z,得,k,x,k,+,k,Z,可得函数单调递减区间是,(,k,Z).,10/29,考点一三角函数最值(值域),考点突破,典例1,已知函数,f,(,x,)=(1+,tan,x,)cos,2,x,.,(1)若,是第二象限角,且sin,=,求,f,(,)值;,(2)求函数,f,(,x,)定义域和值域.,11/29,解析,(1)因为,是第二象限角,且sin,=,所以cos,=-,=-,.,所以tan,=,=-,所以,f,(,)=(1-,),=,.,(2)函数,f,(,x,)定义域为,.,f,(,x,)=(1+,tan,x,)cos,2,x,=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,=,+,sin 2,x,=sin,+,因为,x,R,且,x,k,+,k,Z,12/29,所以2,x,+,2,k,+,k,Z,所以-1,sin,1.,所以-,sin,+,.,所以函数,f,(,x,)值域为,.,13/29,方法技巧,1.三角函数定义域求法,求三角函数定义域实际上是结构简单三角不等式(组),常借助三角函,数线或三角函数图象来求解.,14/29,2.三角函数值域求法,(1)利用,y,=sin,x,和,y,=cos,x,值域直接求;,(2)把所给三角函数式变换成,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,(或,y,=,A,cos(,x,+,)+,b,),形式求值域;,(3)把sin,x,或cos,x,看作一个整体,将原函数转换成二次函数求值域;,(4)利用sin,x,cos,x,和sin,x,cos,x,关系将原函数转换成二次函数求值域.,15/29,1-1,函数,f,(,x,)=sin,2,x,+,cos,x,-,最大值是,1,.,解析,由题意可得,f,(,x,)=-cos,2,x,+,cos,x,+,=-,+1.,x,cos,x,0,1.,当cos,x,=,时,f,(,x,),max,=1.,答案,1,16/29,1-2,(北京海淀期中,15)已知函数,f,(,x,)=2,cos,x,sin,-1.,(1)求,f,值;,(2)求,f,(,x,)在区间,上最大值和最小值.,17/29,解析,(1),f,=2,cos,sin,-1=2,1-1=1.,(2),f,(,x,)=2,cos,x,sin,-1=2sin,x,cos,x,+2cos,2,x,-1=sin 2,x,+cos 2,x,=,sin .,因为0,x,所以,2,x,+,所以-,sin,1,故-1,sin,.,当2,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)有最大值,;,当2,x,+,=,即,x,=,时,f,(,x,)有最小值-1.,18/29,典例2,已知函数,f,(,x,)=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,x,R.,(1)求,f,(,x,)最小正周期和单调递减区间;,(2)设直线,x,=,m,(,m,R)是函数,y,=,f,(,x,)图象对称轴,求sin 4,m,值.,考点二三角函数奇偶性、周期性及对称性,19/29,解析,(1),f,(,x,)=cos,2,x,+,sin,x,cos,x,=,(1+cos 2,x,)+,sin 2,x,=sin,2,x,+,+,.,函数,f,(,x,)最小正周期为,T,=.,当2,k,+,2,x,+,2,k,+,(,k,Z),即,k,+,x,k,+,(,k,Z)时,函数,f,(,x,)为减函数.,所以函数,f,(,x,)单调递减区间为,(,k,Z).,(2)因为直线,x,=,m,是函数,y,=,f,(,x,)图象对称轴,所以2,m,+,=,k,+,(,k,Z),即,m,=,k,+,(,k,Z),20/29,则4,m,=2,k,+,(,k,Z).,所以sin 4,m,=sin,=,.,21/29,规律总结,(1)若,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,)为偶函数,则当,x,=0时,f,(,x,)取得最大或最小值;若,f,(,x,),=,A,sin(,x,+,)为奇函数,则当,x,=0时,f,(,x,)=0.,(2)对于函数,f,(,x,)=,A,sin(,x,+,),其图象对称轴一定经过图象最高点或,最低点,对称中心一定是函数图象与,x,轴交点,所以在判断直线,x,=,x,0,或点(,x,0,0)是否为函数图象对称轴或对称中心时,可经过,f,(,x,0,)值进行,判断.,(3)求三角函数最小正周期时,普通先经过恒等变形把三角函数化为,“,y,=,A,sin(,x,+,)+,b,”或“,y,=,A,cos(,x,+,)+,b,”或“,y,=,A,tan(,x,+,)+,b,”,形式,再利用周期公式求得结果.,22/29,2-1,(北京石景山一模,12)假如将函数,f,(,x,)=sin(3,x,+,)(-,0)图,象向左平移,个单位,所得到图象关于原点对称,那么,=,.,答案,-,解析,把函数,f,(,x,)图象向左平移,个单位,可得函数,g,(,x,)=sin,图象,当,x,=0时,3,+,=,+,=,k,k,Z,=,k,-,k,Z,又-,0)最小正周期为,.,(1)求,值;,(2)求函数,f,(,x,)单调递减区间.,考点三三角函数单调性,24/29,解析,f,(,x,)=sin,x,(cos,x,-,sin,x,)+,=sin,x,cos,x,-,sin,2,x,+,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=sin,.,(1)因为函数,f,(,x,)最小正周期为,所以,=,解得,=2.,(2)由(1)可得,f,(,x,)=sin,.,令2,k,+,4,x,+,2,k,+,k,Z,25/29,得2,k,+,4,x,2,k,+,k,Z,所以,+,x,+,k,Z.,所以函数,f,(,x,)单调递减区间为,k,Z.,26/29,方法技巧,求三角函数单调区间两种方法,(1)代换法:就是将比较复杂三角函数解析中含自变量代数式(如,x,+,)整体看成一个角,u,(或,t,),利用基本三角函数(,y,=sin,x,、,y,=cos,x,、,y,=tan,x,),单调性列不等式求解.,(2)图象法:画出三角函数图象,利用图象求它单调区间.,27/29,3-1,函数,f,(,x,)=sin,单调减区间为,(,k,Z),.,答案,(,k,Z),解析,因为,f,(,x,)=sin,=-sin,所以欲求函数,f,(,x,)单调减区,间,只需求,y,=sin,单调增区间.,由2,k,-,2,x,-,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,故所给函数单调减区间为,(,k,Z).,28/29,解析,因为,f,(,x,)=sin,=-sin,所以欲求函数,f,(,x,)单调减区,间,只需求,y,=sin,单调增区间.,由2,k,-,2,x,-,2,k,+,k,Z,得,k,-,x,k,+,k,Z.,故所给函数单调减区间为,(,k,Z).,29/29,
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