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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第三节导数与函数极值、最值,1/35,总纲目录,教材研读,1.,函数极值与导数,考点突破,2.,函数最值与导数,考点二利用导数处理函数最值问题,考点一利用导数处理函数极值问题,考点三函数极值与最值综合应用,2/35,教材研读,1.函数极值与导数,(1)函数极小值,若函数,y,=,f,(,x,)在点,x,=,a,函数值,f,(,a,)比它在点,x,=,a,附近其它点函数值,都小,f,(,a,)=0,而且在点,x,=,a,附近左侧,f,(,x,)0,则点,a,叫做函数,y,=,f,(,x,)极小值点,f,(,a,)叫做函数,y,=,f,(,x,)极小值.,(2)函数极大值,若函数,y,=,f,(,x,)在点,x,=,b,函数值,f,(,b,)比它在点,x,=,b,附近其它点函数值,都大,f,(,b,)=0,而且在点,x,=,b,附近左侧,f,(,x,)0,右侧,f,(,x,)-1时,y,0;当,x,-1时,y,0.当,x,=-1时函数取得最小值,且,y,min,=-,.故选C.,C,6/35,3.已知,f,(,x,)是定义域为R偶函数,当,x,0时,f,(,x,)=(,x,+1),3,e,x,+1,那么函数,f,(,x,),极值点个数是(),A.5B.4C.3D.2,答案,C当,x,0时,x,=4也是原函数极值点,又因为此,函数为偶函数,故,y,轴左、右两侧函数单调性不一致,即,x,=0也是极值,点,故选C.,C,7/35,4.函数,f,(,x,)=,x,-,a,ln,x,(,a,0)极小值为,a,-,a,ln,a,.,答案,a,-,a,ln,a,解析,f,(,x,)定义域为(0,+,),易知,f,(,x,)=1-,.,由,f,(,x,)=0,解得,x,=,a,(,a,0).,又当,x,(0,a,)时,f,(,x,)0,函数,f,(,x,)在,x,=,a,处取得极小值,且极小值为,f,(,a,)=,a,-,a,ln,a,.,8/35,考点一利用导数处理函数极值问题,命题方向一求已知函数极值,典例1,若,x,=-2是函数,f,(,x,)=(,x,2,+,ax,-1)e,x,-1,极值点,则,f,(,x,)极小值为,(),A.-1B.-2e,-3,C.5e,-3,D.1,考点突破,A,9/35,答案,A,解析,由题意可得,f,(,x,)=e,x,-1,x,2,+(,a,+2),x,+,a,-1.,x,=-2是函数,f,(,x,)=(,x,2,+,ax,-1)e,x,-1,极值点,f,(-2)=0,a,=-1,f,(,x,)=(,x,2,-,x,-1)e,x,-1,f,(,x,)=e,x,-1,(,x,2,+,x,-2)=e,x,-1,(,x,-,1)(,x,+2),x,(-,-2),(1,+,)时,f,(,x,)0,f,(,x,)单调递增;,x,(-2,1)时,f,(,x,)0恒成立,所以,f,(,x,)0,x,1,f,(,x,)0,0,x,1.,所以,f,(,x,)单调递增区间为(1,+,),单调递减区间为(0,1).,(3)若,f,(,x,)在(0,1)内有极值,则,f,(,x,)在(0,1)内有解.,12/35,令,f,(,x,)=,=0(,x,(0,1),e,x,-,ax,=0,a,=,.,设,g,(,x,)=,x,(0,1),所以,g,(,x,)=,当,x,(0,1)时,g,(,x,)e时,f,(,x,)=,=0在(0,1)内有解.,设,H,(,x,)=e,x,-,ax,则,H,(,x,)=e,x,-,a,0,H,(1)=e-,a,e时,f,(,x,)在(0,1)内有极值且唯一.当,a,e时,f,(,x,),0在(0,1),上恒成立,则,f,(,x,)在(0,1)上单调递增,不符合题意.,综上,a,取值范围为(e,+,).,x,(0,x,0,),x,0,(,x,0,1),H,(,x,),+,0,-,f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,14/35,方法技巧,1.利用导数研究函数极值问题普通流程,15/35,2.已知函数极值点和极值求参数两个要领,(1)列式:依据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解.,(2)验证:因为一点处导数值等于零不是此点为极值点充要条件,所,以利用待定系数法求解后必须验证根合理性.,16/35,1-1,已知函数,f,(,x,)=(,x,2,+,bx,+,b,),(,b,R).,(1)当,b,=4时,求,f,(,x,)极值;,(2)若,f,(,x,)在区间,上单调递增,求,b,取值范围.,17/35,解析,(1)当,b,=4时,f,(,x,)=(,x,+2),2,定义域为,f,(,x,)=2(,x,+2),+(,x,+2),2,(-2)=,.,令,f,(,x,)=0,解得,x,1,=-2,x,2,=0.,当,x,-2或0,x,时,f,(,x,)0,所以,f,(,x,)在(-,-2),上单调递减;当-2,x,0,所以,f,(,x,)在(-2,0)上单调递增.,所以当,x,=-2时,f,(,x,)有极小值,f,(-2)=0;当,x,=0时,f,(,x,)有极大值,f,(0)=4.,(2),f,(,x,)在,上单调递增,f,(,x,),0,且不恒等于0,对任意,x,恒成,立.,又,f,(,x,)=(2,x,+,b,),+(,x,2,+,bx,+,b,),(-2)=,18/35,所以-5,x,2,-3,bx,+2,x,0,所以,b,.,因为,=,所以,b,.,19/35,典例3,(北京,19,13分)已知函数,f,(,x,)=e,x,cos,x,-,x,.,(1)求曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线方程;,(2)求函数,f,(,x,)在区间,上最大值和最小值.,考点二利用导数处理函数最值问题,20/35,解析,(1)因为,f,(,x,)=e,x,cos,x,-,x,所以,f,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,)-1,f,(0)=0.,又因为,f,(0)=1,所以曲线,y,=,f,(,x,)在点(0,f,(0)处切线方程为,y,=1.,(2)设,h,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,)-1,则,h,(,x,)=e,x,(cos,x,-sin,x,-sin,x,-cos,x,)=-2e,x,sin,x,.,当,x,时,h,(,x,)0,所以,h,(,x,)在区间,上单调递减.,所以对任意,x,有,h,(,x,),h,(0)=0,即,f,(,x,)0)导函数,y,=,f,(,x,)两个零点为-3,和0.,(1)求,f,(,x,)单调区间;,(2)若,f,(,x,)极小值为-e,3,求,f,(,x,)极大值及,f,(,x,)在区间-5,+,)上最大值.,考点三函数极值与最值综合应用,26/35,解析,(1),f,(,x,)=,=,令,g,(,x,)=-,ax,2,+(2,a,-,b,),x,+,b,-,c,因为e,x,0,所以,y,=,f,(,x,)零点就是,g,(,x,)=-,ax,2,+(2,a,-,b,),x,+,b,-,c,零点,且,f,(,x,)与,g,(,x,)符号相同.,因为,a,0,所以由题意知:当-3,x,0,即,f,(,x,)0;,当,x,0时,g,(,x,)0,即,f,(,x,)5=,f,(0),所以函数,f,(,x,)在区间-5,+,)上最大值是5e,5,.,(2)由(1)知,x,=-3是,f,(,x,)极小值点,所以有,28/35,方法技巧,处理函数极值、最值问题策略,(1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数大小.,(2)求函数最值时,不可想当然地认为极值就是最值,要经过比较才能下,结论,即函数在给定闭区间上存在极值,普通要将极值与端点值进行比,较才能确定最值.,29/35,3-1,(北京海淀一模,18)已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4(,a,-1)ln(,x,+1),其中实,数,a,3.,(1)判断,x,=1是否为函数,f,(,x,)极值点,并说明理由;,(2)若,f,(,x,),0在区间0,1上恒成立,求,a,取值范围.,30/35,解析,解法一:(1)由,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4(,a,-1)ln(,x,+1)可得函数定义域为(-1,+,),f,(,x,)=2,x,-2,a,+,=,=,由,f,(,x,)=0得,x,1,=1,x,2,=,a,-2.,因为,a,3,所以,a,-21.,当,a,1时,a,-2,-1.,31/35,x,(-1,1),1,(1,+,),f,(,x,),-,0,+,f,(,x,),极小值,当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,)改变情况以下表:,当1,a,3时,-1,a,-21.,当,x,改变时,f,(,x,),f,(,x,)改变情况以下表:,x,(-1,a,-2),a,-2,(,a,-2,1),1,(1,+,),f,(,x,),+,0,-,0,+,f,(,x,),极大值,极小值,综上,x,=1是函数,f,(,x,)极值点,且为极小值点.,32/35,(2)易知,f,(0)=0,由(1)可知,当,a,2时,函数,f,(,x,)在区间0,1上单调递减,所以有,f,(,x,),0恒成立;,当2,a,f,(0)=0,所以不等式,f,(,x,),0不能恒成立.,所以,a,2时有,f,(,x,),0在区间0,1上恒成立.,33/35,解法二:(1)由,f,(,x,)=,x,2,-2,ax,+4(,a,-1)ln(,x,+1)可得,函数定义域为(-1,+,),f,(,x,)=2,x,-2,a,+,=,令,g,(,x,)=,x,2,+(1-,a,),x,+(,a,-2),经验证,g,(1)=0,因为,a,0,说明:写明,=(1-,a,),2,-4(,a,-2)=,a,2,-6,a,+9=(,a,-3),2,0也能够,由二次函数性质可得,1是,g,(,x,)=,x,2,+(1-,a,),x,+(,a,-2)异号零点,所以1是,f,(,x,)异号零点,所以,x,=1是函数,f,(,x,)极值点.,34/35,(2)易知,f,(0)=0,因为,f,(,x,)=,又因为,a,3,所以,a,-21,所以当,a,2时,在区间0,1上,f,(,x,)0,所以函数,f,(,x,)单调递减,所以有,f,(,x,),0恒成立;,当2,a,0,所以函数,f,(,x,)单调递增,所以,f,(,a,-2),f,(0)=0,所以不等式,f,(,x,),0不能恒成立.,所以,a,2时有,f,(,x,),0在区间0,1上恒成立.,35/35,
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