高考数学复习第十一章推理与证明11.2分析法综合法与反证法市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考数学,(江苏省专用),11.2分析法、综正当与反证法,1/27,考点一直接证实,A,组 自主命题江苏卷题组,五年高考,1.,(浙江理,20,15分)设数列,a,n,满足,1,n,N,*,.,(1)证实:|,a,n,|,2,n,-1,(|,a,1,|-2),n,N,*,;,(2)若|,a,n,|,n,N,*,证实:|,a,n,|,2,n,N,*,.,2/27,证实,(1)由,1得|,a,n,|-,|,a,n,+1,|,1,故,-,n,N,*,所以,-,=,+,+,+,+,+,+,n,-,=,+,+,+,+,+,+,故|,a,n,|,n,都有|,a,n,|2,取正整数,m,0,lo,且,m,0,n,0,则,=|,|-2,与,式矛盾.,综上,对于任意,n,N,*,都有|,a,n,|,2.,3/27,思绪分析,(1)要证|,a,n,|,2,n,-1,(|,a,1,|-2)成立,只需证实,-,2,经过推理可导出矛盾,从而证实原结论.,评析,本题主要考查数列递推关系与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能,力、分析问题和处理问题能力.,2.,(湖北理,22,14分)设,n,是正整数,r,为正有理数.,(1)求函数,f,(,x,)=(1+,x,),r,+1,-(,r,+1),x,-1(,x,-1)最小值;,(2)证实:,n,r,;,(3)设,x,R,记,x,为,大于,x,最小整数,比如2=2,=4,=-1.,令,S,=,+,+,+,+,求,S,值.,(参考数据:8,344.7,8,350.5,12,618.3,12,631.7),4/27,解析,(1)因为,f,(,x,)=(,r,+1)(1+,x,),r,-(,r,+1)=(,r,+1)(1+,x,),r,-1,令,f,(,x,)=0,解得,x,=0.,当-1,x,0时,f,(,x,)0时,f,(,x,)0,所以,f,(,x,)在(0,+,)内是增函数.,故函数,f,(,x,)在,x,=0处取得最小值,f,(0)=0.,(2)证实:由(1)知,当,x,(-1,+,)时,有,f,(,x,),f,(0)=0,即,(1+,x,),r,+1,1+(,r,+1),x,且等号当且仅当,x,=0时成立,故当,x,-1且,x,0时,有,(1+,x,),r,+1,1+(,r,+1),x,.,在中,令,x,=,(这时,x,-1且,x,0),得,1+,.,上式两边同乘,n,r,+1,得(,n,+1),r,+1,n,r,+1,+,n,r,(,r,+1),即,n,r,1时,在中令,x,=-,(这时,x,-1且,x,0),类似可得,n,r,.,且当,n,=1时,也成立.,5/27,综合,得,n,r,.,(3)在中,令,r,=,n,分别取值81,82,83,125,得,(8-8),(8-8),(8-8),(8-8),(8-8),(8-8),(12-12),(12-12).,将以上各式相加,并整理得,(12-8),S,(12-8).,代入数据计算,可得,(12-8),210.2,(12-8),210.9.由,S,定义,得,S,=211.,6/27,考点二间接证实,1.,(山东改编,4,5分)用反证法证实命题“设,a,b,为实数,则方程,x,3,+,ax,+,b,=0最少有一个实根”,时,要做假设是,.,答案,方程,x,3,+,ax,+,b,=0没有实根,解析,因为“方程,x,3,+,ax,+,b,=0最少有一个实根”等价于“方程,x,3,+,ax,+,b,=0实根个数大于或,等于1”,所以,要做假设是方程,x,3,+,ax,+,b,=0没有实根.,2.,(北京理,19,14分)已知,A,B,C,是椭圆,W,:,+,y,2,=1上三个点,O,是坐标原点.,(1)当点,B,是,W,右顶点,且四边形,OABC,为菱形时,求此菱形面积;,(2)当点,B,不是,W,顶点时,判断四边形,OABC,是否可能为菱形,并说明理由.,7/27,解析,(1)椭圆,W,:,+,y,2,=1右顶点,B,坐标为(2,0).,因为四边形,OABC,为菱形,所以,AC,与,OB,相互垂直平分.,所以可设,A,(1,m,),代入椭圆方程得,+,m,2,=1,即,m,=,.,所以菱形,OABC,面积是,|,OB,|,AC,|=,2,2|,m,|=,.,(2)假设四边形,OABC,为菱形.,因为点,B,不是,W,顶点,且直线,AC,不过原点,所以可设,AC,方程为,y,=,kx,+,m,(,k,0,m,0).,由,消,y,并整理得,(1+4,k,2,),x,2,+8,kmx,+4,m,2,-4=0.,设,A,(,x,1,y,1,),C,(,x,2,y,2,),则,=-,=,k,+,m,=,.,所以,AC,中点为,M,.,因为,M,为,AC,和,OB,交点,所以直线,OB,斜率为-,.,8/27,因为,k,-1,所以,AC,与,OB,不垂直.,所以,OABC,不是菱形,与假设矛盾.,所以当点,B,不是,W,顶点时,四边形,OABC,不可能是菱形.,9/27,一、填空题(每小题5分,共20分),1.,(江苏南通期中)命题“假如数列,a,n,前,n,项和,S,n,=2,n,2,-3,n,那么数列,a,n,一定是等差数列”,是,命题(填“真”或“假”).,三年模拟,A组 高考模拟基础题组,(时间：30分钟 分值：40分),答案,真,解析,当,n,2时,S,n,-1,=2(,n,-1),2,-3(,n,-1),a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=4,n,-5,当,n,=1时,a,1,=,S,1,=-1符合上式.,a,n,+1,-,a,n,=4(,n,+1)-5-4,n,+5=4(,n,1),a,n,是等差数列.,10/27,2.,(江苏徐州教学情况调研)已知点,A,n,(,n,a,n,)为函数,y,=,图象上点,B,n,(,n,b,n,)为函数,y,=,x,图,象上点,其中,n,N,*,设,c,n,=,a,n,-,b,n,则,c,n,与,c,n,+1,大小关系为,.,答案,c,n,+1,c,n,解析,由题意得,c,n,=,a,n,-,b,n,=,-,n,=,c,n,随,n,增大而减小,c,n,+1,0,且点,P,Q,分别在两段图象上,所以可,设,P,(-,x,x,3,+,x,2,),Q,(,x,a,ln,x,)(,x,e).,因为,POQ,是以,O,为直角顶点直角三角形,所以,即,=0,故有-,x,2,+,a,ln,x,(,x,3,+,x,2,)=0,整理得,a,=,(,x,e),当,x,e时,所以,a,.,4.,(江苏赣榆一模,7)设,a,b,是两个实数,给出以下条件:,a,+,b,1;,a,+,b,=2;,a,+,b,2;,a,2,+,b,2,2;,ab,1.,其中能推出“,a,b,中最少有一个大于1”是,.,答案,解析,中当,a,=,b,=,时,a,+,b,1,而,a,b,2,显然不能;中当,a,=,b,=-2时,ab,1,显然不能.只有能,故填.,12/27,二、解答题(共20分),5.,(江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市二模,20)设数列,a,n,前,n,项和为,S,n,(,n,N,*,),且满足:|,a,1,|,|,a,2,|;,r,(,n,-,p,),S,n,+1,=(,n,2,+,n,),a,n,+(,n,2,-,n,-2),a,1,其中,r,p,R,且,r,0.,(1)求,p,值;,(2)数列,a,n,能否是等比数列?请说明理由;,(3)求证:当,r,=2时,数列,a,n,是等差数列.,13/27,解析,(1),n,=1时,r,(1-,p,)(,a,1,+,a,2,)=2,a,1,-2,a,1,其中,r,p,R,且,r,0,|,a,1,|,|,a,2,|,1-,p,=0,解得,p,=1.,(2)不能.假设,a,n,是等比数列,设公比为,k,(,k,1),由(1)得,r,(,n,-1),S,n,+1,=(,n,2,+,n,),a,n,+(,n,2,-,n,-2),a,1,当,n,=2时,rS,3,=6,a,2,当,n,=3时,2,rS,4,=12,a,3,+4,a,1,r,(1+,k,+,k,2,)=6,k,r,(1+,k,+,k,2,+,k,3,)=6,k,2,+2,联立解得,r,=2,k,=1(不合题意,舍去),所以数列,a,n,不能是等比,数列.,(3)证实:,r,=2时,2(,n,-1),S,n,+1,=(,n,2,+,n,),a,n,+(,n,2,-,n,-2),a,1,2,S,3,=6,a,2,4,S,4,=12,a,3,+4,a,1,6,S,5,=20,a,4,+10,a,1,即,a,1,+,a,3,=2,a,2,a,2,+,a,4,=2,a,3,a,3,+,a,5,=2,a,4,.,假设数列,a,n,前,n,项成等差数列,设公差为,d,则2(,n,-1),=(,n,2,+,n,),a,1,+(,n,-1),d,+(,n,2,-,n,-2),a,1,整理化简得,a,n,+1,=,a,1,+(,n,+1-1),d,所以第(,n,+1)项也满足等差数列通项公式.,综上可得:数列,a,n,成等差数列.,14/27,思绪分析,(1),n,=1时,r,(1-,p,)(,a,1,+,a,2,)=2,a,1,-2,a,1,其中,r,p,R,且,r,0,由|,a,1,|,|,a,2,|可解得,p,.,(2)假设,a,n,是等比数列,设公比为,k,(,k,1),由(1)可得,r,(,n,-1),S,n,+1,=(,n,2,+,n,),a,n,+(,n,2,-,n,-2),a,1,求出当,n,=2和,n,=3时式子,将两式转化为含,r,和,k,式子,联立可解得,r,k,即可得出结论.,(3),r,=2时,2(,n,-1),S,n,+1,=(,n,2,+,n,),a,n,+(,n,2,-,n,-2),a,1,可得2,S,3,=6,a,2,4,S,4,=12,a,3,+4,a,1,6,S,5,=20,a,4,+10,a,1,可化为,a,1,+,a,3,=2,a,2,a,2,+,a,4,=2,a,3,a,3,+,a,5,=2,a,4,.假设数列,a,n,前,n,项成等差数列,设公差为,d,利用已知得出,a,n,+1,即可证实.,6.,(江苏新海期中)已知,ABC,三个内角,A,B,C,成等差数列,且,A,B,C,所正确边分别为,a,b,c,求,证:,+,=1.,证实,要证题中等式成立,只需证,=1,即证,bc,+,c,2,+,a,2,+,ab,=,ab,+,b,2,+,ac,+,bc,即证,c,2,+,a,2,-,b,2,-,ac,=0,而三个内角,A,B,C,成等差数列,A,+,C,=2,B,B,=60,b,2,=,a,2,+,c,2,-,ac,故题中等式成立.,15/27,一、填空题(每小题5分,共5分),1.,(江苏苏锡常镇一模,7)分析法又称执果索因法,当用分析法证实:“若,a,b,c,且,a,+,b,+,c,=0,则,0,解析,a,b,2,-,ac,3,a,2,(,a,+,c,),2,-,ac,3,a,2,a,2,+2,ac,+,c,2,-,ac,-3,a,2,0,-2,a,2,+,ac,+,c,2,0,(,a,-,c,)(2,a,+,c,)0,(,a,-,c,)(,a,-,b,)0.,16/27,二、解答题(共70分),2.,(南京、盐城第二次模拟考试)设,a,b,求证:,a,4,+6,a,2,b,2,+,b,4,4,ab,(,a,2,+,b,2,).,证实,a,4,+6,a,2,b,2,+,b,4,-4,ab,(,a,2,+,b,2,)=(,a,2,+,b,2,),2,-4,ab,(,a,2,+,b,2,)+4,a,2,b,2,=(,a,2,+,b,2,-2,ab,),2,=(,a,-,b,),4,.,因为,a,b,所以(,a,-,b,),4,0,所以,a,4,+6,a,2,b,2,+,b,4,4,ab,(,a,2,+,b,2,).,思绪分析,利用作差法证实不等式成立.,3.,(江苏扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市联考,19)已知函数,f,(,x,)=,g,(,x,)=ln,x,其,中e为自然对数底数.,(1)求曲线,y,=,f,(,x,),g,(,x,)在,x,=1处切线方程;,(2)若存在,x,1,x,2,(,x,1,x,2,),使得,g,(,x,1,)-,g,(,x,2,)=,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)成立,其中,为常数,求证:,e;,(3)若对任意,x,(0,1,不等式,f,(,x,),g,(,x,),a,(,x,-1)恒成立,求实数,a,取值范围.,17/27,解析,(1)因为,y,=,f,(,x,),g,(,x,)=,所以,y,=,当,x,=1时,y,=,y,=0.,所以曲线,y,=,f,(,x,),g,(,x,)在,x,=1处切线方程为,y,=,(,x,-1),即,x,-e,y,-1=0.,(2)由,g,(,x,1,)-,g,(,x,2,)=,f,(,x,2,)-,f,(,x,1,)得,g,(,x,1,)+,f,(,x,1,)=,g,(,x,2,)+,f,(,x,2,).,记,p,(,x,)=,g,(,x,)+,f,(,x,)=ln,x,+,则,p,(,x,)=,.,假设,e.,若,0,则,p,(,x,)0,所以,p,(,x,)在(0,+,)上为单调增函数.,又,p,(,x,1,)=,p,(,x,2,),所以,x,1,=,x,2,与,x,1,x,2,矛盾.,若0,x,0,时,r,(,x,)0,r,(,x,)在(,x,0,+,)上为单调增函数;,当0,x,x,0,时,r,(,x,)e.,(3)由,f,(,x,),g,(,x,),a,(,x,-1)得ln,x,-,a,e,x,(,x,-1),0.,记,F,(,x,)=ln,x,-,a,e,x,(,x,-1),00,所以,F,(,x,),0,所以,F,(,x,)在(0,1上为单调增函数,所以,F,(,x,),F,(1)=0,故原不等式恒成立.,当,a,时,首先,F,(1)=1-,a,e0.,另首先,x,1,=,0.,19/27,所以,x,0,(,x,1,1),使,F,(,x,0,)=0,所以当,x,0,x,1时,F,(,x,),F,(1)=0,不合题意.,综上,a,.,思绪分析,(1)求出函数导数,计算,x,=1时,y,和,y,值,从而利用点斜式写出切线方程;,(2)令,p,(,x,)=,g,(,x,)+,f,(,x,)=ln,x,+,假设,e,利用导数性质,经过对,范围进行讨论,求出函数单,调区间,从而证实结论;,(3)令,F,(,x,)=ln,x,-,a,e,x,(,x,-1),则可转化为,F,(,x,),0在(0,1上恒成立,从而依据函数单调性求出,a,范,围.,20/27,4.,(苏锡常镇四市高三教学情况调研(一),20)已知,n,为正整数,数列,a,n,满足,a,n,0,4(,n,+1),-,n,=0.数列,b,n,满足,b,n,=,.,(1)求证:数列,为等比数列;,(2)若数列,b,n,是等差数列,求实数,t,值;,(3)若数列,b,n,为等差数列,其前,n,项和为,S,n,对任意,n,N,*,均存在,m,N,*,使得8,S,n,-,n,2,=16,b,m,成,立,求满足条件全部整数,a,1,值.,21/27,解析,(1)证实:由4(,n,+1),=,n,得,=,结合,a,n,0,所以,=2,所以,=2,所以,是以,a,1,为首项,2为公比等比数列.,(2)由(1)得,a,n,=,a,1,2,n,-1,则,b,n,=,=,若数列,b,n,是等差数列,则2,b,2,=,b,1,+,b,3,则2,=,+,即,=,+,则,t,2,-16,t,+48=0,解得,t,1,=4,t,2,=12,当,t,=4时,b,n,=,则,b,n,+1,-,b,n,=,-,=,所以数列,b,n,是等差数列,符合题意;,当,t,=12时,b,n,=,22/27,则,b,2,+,b,4,=,+,=,=,2,b,3,=2,=,因为,b,2,+,b,4,2,b,3,所以数列,b,n,不是等差数列,t,=12不符合题意.,综上,若数列,b,n,是等差数列,则实数,t,值为4.,(3)由(2)得,b,n,=,因为对任意,n,N,*,均存在,m,N,*,使8,S,n,-,n,2,=16,b,m,成立,则8,-,n,2,=16,所以,m,=,.,当,a,1,=2,k,k,N,*,时,m,=,=,k,2,n,符合题意;,当,a,1,=2,k,-1,k,N,*,时,当,n,=1时,m,=,=,k,2,+,k,+,不符合题意.,综上,当,a,1,=2,k,k,N,*,时,对任意,n,N,*,均存在,m,N,*,使8,S,n,-,n,2,=16,b,m,成立.,23/27,5.,(江苏扬州中学质检,20)已知数列,a,n,为等差数列,a,1,=2,a,n,前,n,项和为,S,n,数列,b,n,为等,比数列,且,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,+,+,a,n,b,n,=(,n,-1)2,n,+2,+4对任意,n,N,*,恒成立.,(1)求数列,a,n,、,b,n,通项公式;,(2)是否存在非零整数,使不等式,cos,对一切,n,N,*,都成,立?若存在,求出,值;若不存在,说明理由;,(3)各项均为正整数无穷等差数列,c,n,满足,c,39,=,a,1 007,且存在正整数,k,使,c,1,c,39,c,k,成等比数列,若数,列,c,n,公差为,m,求,m,全部可能取值之和.,24/27,解析,(1)设数列,a,n,公差为,d,数列,b,n,公比为,q,.,因为,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,+,+,a,n,b,n,=(,n,-1)2,n,+2,+4(,n,N,*,),所以令,n,=1,2,3,分别得,a,1,b,1,=4,a,1,b,1,+,a,2,b,2,=20,a,1,b,1,+,a,2,b,2,+,a,3,b,3,=68,又,a,1,=2,所以,所以,3,d,2,-4,d,-4=0,所以,或,经检验,d,=2,q,=2符合题意,d,=-,q,=6不合题意,舍去.,所以,a,n,=2,n,b,n,=2,n,.,(2)由,a,n,=2,n,得cos,=cos(,n,+1)=(-1),n,+1,设,b,n,=,则不等式等价于(-1),n,+1,0,且,=,1,b,n,+1,b,n,数列,b,n,单调递增.,假设存在这么实数,使得不等式(-1),n,+1,b,n,对一切,n,N,*,成立,则,当,n,为奇数时,(,b,n,),min,=,b,1,=,;,当,n,为偶数时,-,-,.,综上,由,是非零整数,可知存在,=,1满足条件.,(3)由题意得,m,0.易知,m,=0,满足条件.,当,m,0时,c,39,=,c,1,+38,m,=2 014,c,1,=2 014-38,m,c,k,=,c,39,+(,k,-39),m,=2 014+(,k,-39),m,由题意得,=,c,1,c,k,(2 014-38,m,)2 014+(,k,-39),m,=2 014,2,38(53-,m,)+(,k,-39),m,=2 014,2 014,(53-,m,)2 014+(,k,-39),m,=53,2 014,-(,k,-39),m,2,+53(,k,-77),m,=0,(,k,-39),m,=53(,k,-77),26/27,km,-39,m,=53,k,-53,77,(,m,-53),k,=39,m,-53,77,所以,k,=,=,=39-,=39+,N,*,又,c,1,=2 014-38,m,=38(53-,m,)0,53-,m,0,m,0,053-,m,53,53-,m,=1,2,19,m,=52,51,34,所以公差,m,全部可能取值之和为137.,6.,(江苏新海高级中学月考,18)已知在函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,中,a,为奇数,b,c,均为整数,且,f,(0),f,(1),均为奇数.求证:,f,(,x,)=0无整数根.,证实,假设,f,(,x,)=0有整数根,n,则,an,2,+,bn,+,c,=0,而,f,(0),f,(1)均为奇数,c,为奇数,a,+,b,为偶数,又,a,为奇数,b,也为奇数,an,2,+,bn,=,n,(,an,+,b,)为奇数,n,与,an,+,b,均为奇数,显然当,n,为奇数时,an,+,b,为偶数,矛盾,f,(,x,)=0无整数根.,27/27,