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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第二节一元二次不等式及其解法,1/31,总纲目录,教材研读,1.“,三个二次,”,关系,考点突破,2.,(,x,-,a,)(,x,-,b,)0和(,x,-,a,)(,x,-,b,)0,=0,0)图象,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根,有两相异实根,x,1,x,2,(,x,1,0(a0)解集,x,|,x,x,2,x,|,x,x,1,R,ax2+bx+c0)解集,x,|,x,1,x,0和(,x,-,a,)(,x,-,b,)0型不等式解集,口诀:大于取两边,小于取中间.,不等式,解集,a,b,(,x,-,a,)(,x,-,b,)0,x,|,x,b,x,|,x,a,x,|,x,a,(,x,-,a,)(,x,-,b,)0,x,|,a,x,b,x,|,b,x,a,4/31,1.不等式,x,2,-3,x,+20解集为,(),A.(-,-2),(-1,+,)B.(-2,-1),C.(-,1),(2,+,)D.(1,2),答案,D将,x,2,-3,x,+20化为(,x,-1)(,x,-2)0,解得1,x,0解集为(-,-2),则,m,=,(),A.,B.,C.,D.,C,答案,C由已知可得-2,-,为方程,mx,2,+2,x,+1=0两根,故,解得,m,=,故选C.,6/31,3.不等式,0解集为,(),A.,x,|,x,1或,x,3B.,x,|1,x,3,C.,x,|1,x,3D.,x,|1,x,3,C,答案,C由,0,得,解得1,x,3.,7/31,4.不等式,x,2,+,ax,+4,0解集不是空集,则实数,a,取值范围是,.,(-,-4,4,+,),答案,(-,-4,4,+,),解析,由题意得,=,a,2,-16,0,即,a,2,16,a,取值范围是(-,-4,4,+,).,8/31,5.不等式,1或,x,1或,x,-1,解析,1,0,x,1或,x,-1.,9/31,典例1,(1)不等式-2,x,2,+,x,-3解集为,(),A.,B.,C.,D.,(2)解关于,x,不等式:,x,2,-(,a,+1),x,+,a,0.,考点一一元二次不等式解法,考点突破,10/31,答案,(1)D,解析,(1)-2,x,2,+,x,0,=250,方程2,x,2,-,x,-3=0两实根为,x,1,=-1,x,2,=,2,x,2,-,x,-30解集为,.,(2)由,x,2,-(,a,+1),x,+,a,=0,得(,x,-,a,)(,x,-1)=0,x,1,=,a,x,2,=1,当,a,1时,x,2,-(,a,+1),x,+,a,0解集为,x,|1,x,a,;,当,a,=1时,x,2,-(,a,+1),x,+,a,0解集为,;,当,a,1时,x,2,-(,a,+1),x,+,a,0解集为,x,|,a,x,1.,11/31,探究,若将本例(2)中不等式改为,ax,2,-(,a,+1),x,+10,怎样求解?,解析,若,a,=0,原不等式等价于-,x,+11.,若,a,0,解得,x,1.,若,a,0,原不等式等价于,(,x,-1)0.,当,a,=1时,=1,(,x,-1)1时,1,解,(,x,-1)0,得,x,1;,当0,a,1,12/31,解,(,x,-1)0,得1,x,.,总而言之,当,a,1;,当0,a,1时,解集为,.,13/31,方法技巧,一元二次不等式解法,(1)对于常系数一元二次不等式,能够用分解因式法或判别式法求解,题,目简单,情况单一.,(2)含有参数不等式求解,往往需要对参数进行分类讨论.,若二次项系数为常数,需先将二次项系数化为正数,再考虑分解因式,对参数进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类,讨论;,若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,以确定不等,式是一次不等式还是二次不等式,再讨论二次项系数不为零情形,以,便确定解集形式;,14/31,对方程根进行讨论,比较大小,方便写出解集.,(3)若一元二次不等式解集为区间形式,则区间端点值恰对应相,应一元二次方程根,要注意解集形式与二次项系数联络.,提醒当不等式中二次项系数含有参数时,不要忘记讨论其等于0,情况.,15/31,1-1,若不等式,ax,2,+,bx,+20解集为,则不等式2,x,2,+,bx,+,a,0,解集是,.,x,|-2,x,3,答案,x,|-2,x,3,解析,由题意,知-,和,是一元二次方程,ax,2,+,bx,+2=0两根且,a,0,所以,解得,则不等式2,x,2,+,bx,+,a,0,即2,x,2,-2,x,-120,其解集为,x,|-2,x,a,2,(,a,R)解集.,解析,12,x,2,-,ax,a,2,12,x,2,-,ax,-,a,2,0,即(4,x,+,a,)(3,x,-,a,)0.,令(4,x,+,a,)(3,x,-,a,)=0,解得,x,1,=-,x,2,=,.,当,a,0时,-,不等式解集为,;,当,a,=0时,-,=,=0,不等式解集为,x,|,x,R且,x,0;,当,a,不等式解集为,.,总而言之,当,a,0时,不等式解集为,;,当,a,=0时,不等式解集为,x,|,x,R且,x,0;,当,a,0时,不等式解集为,.,17/31,考点二一元二次不等式恒成立问题,命题方向,命题视角,在R上恒成立问题,由不等式在R上恒成立求参数取值范围,在给定区间上恒成立问题,由不等式在某一区间上恒成立求参数取值范围,给定参数范围恒成立问题,给出参数范围,求自变量取值范围,18/31,典例2,若一元二次不等式2,kx,2,+,kx,-,0对一切实数,x,都成立,则,k,取值,范围为,(),A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0),命题方向一在R上恒成立问题,D,19/31,答案,D,解析,设,f,(,x,)=2,kx,2,+,kx,-,2,kx,2,+,kx,-,0为一元二次不等式,k,0,2,kx,2,+,kx,-,0对一切实数,x,都成立,即函数,f,(,x,)=2,kx,2,+,kx,-,图象全部在,x,轴下方,则有,解得-3,k,0.,20/31,典例3,设函数,f,(,x,)=,mx,2,-,mx,-1(,m,0),若对于,x,1,3,f,(,x,)-,m,+5恒成立,求,m,取值范围.,命题方向二在给定区间上恒成立问题,解析,f,(,x,)-,m,+5即,mx,2,-,mx,+,m,-60,则问题转化为,mx,2,-,mx,+,m,-60时,g,(,x,)在1,3上是增函数.,所以,g,(,x,),max,=,g,(3)=7,m,-60.,所以,m,则0,m,.,当,m,0时,g,(,x,)在1,3上是减函数,所以,g,(,x,),max,=,g,(1)=,m,-60,所以,m,6,所以,m,0,又因为,m,(,x,2,-,x,+1)-60,所以,m,.,因为,y,=,=,在1,3上最小值为,所以只需,m,即可.,又因为,m,0,所以,m,取值范围是,.,22/31,典例4,对任意,m,-1,1,函数,f,(,x,)=,x,2,+(,m,-4),x,+4-2,m,值恒大于零,求,x,取值范围.,命题方向三给定参数范围恒成立问题,解析,f,(,x,)=,x,2,+(,m,-4),x,+4-2,m,=(,x,-2),m,+,x,2,-4,x,+4,令,g,(,m,)=(,x,-2),m,+,x,2,-4,x,+4.,由题意知在-1,1上,g,(,m,)值恒大于零,解得,x,3.,故当,x,3时,对任意,m,-1,1,函数,f,(,x,)值恒大于零.,23/31,方法技巧,(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是对应二次函数图,象在给定区间上全部在,x,轴上方,恒小于0就是对应二次函数图象,在给定区间上全部在,x,轴下方.另外常转化为求二次函数最值或用,分离参数法求最值.,(2)处理恒成立问题一定要清楚选谁为自变量,谁是参数,普通地,知道谁,范围,就选谁当自变量,求谁范围,谁就是参数.,24/31,2-1,设,a,为常数,x,R,ax,2,+,ax,+10,则,a,取值范围是(),A.(0,4)B.0,4)C.(0,+,)D.(-,4),B,答案,B,x,R,ax,2,+,ax,+10,则必有,或,a,=0,0,a,4.,25/31,2-2,已知函数,f,(,x,)=,x,2,+,mx,-1,若对于任意,x,m,m,+1,都有,f,(,x,)0成立,则,实数,m,取值范围是,.,答案,解析,要满足,f,(,x,)=,x,2,+,mx,-10对于任意,x,m,m,+1恒成立,只需,即,解得-,m,0.,26/31,典例5,甲厂以,x,千克/小时速度匀速生产某种产品(生产条件要求1,x,10),每小时可取得利润是100,元.,(1)要使生产该产品2小时取得利润不低于3 000元,求,x,取值范围;,(2)要使生产900千克该产品取得利润最大,则甲厂应该选取何种生产,速度?并求最大利润.,考点三一元二次不等式应用,27/31,解析,(1)依据题意,得200,3 000,整理得5,x,-14-,0,即5,x,2,-14,x,-3,0,又1,x,10,可解得3,x,10.,即要使生产该产品2小时取得利润不低于3 000元,x,取值范围是3,10.,(2)设利润为,y,元,则,y,=,100,=9,10,4,=9,10,4,故当,x,=6时,y,max,=457 500.,即甲厂以6千克/小时生产速度生产900千克该产品时取得利润最,大,最大利润为457 500元.,28/31,规律总结,求解不等式应用题四个步骤,(1)阅读了解,认真审题,把握问题中关键量,找准不等关系.,(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立对应数学模型.,(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量实际意义.,(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题结果.,29/31,3-1,某商品每件成本价为80元,售价为100元,天天售出100件.若售价降,低,x,成(1成=10%),售出商品数量就增加,x,成.要求售价不能低于成本价.,(1)设该商品一天营业额为,y,元,试求,y,与,x,之间函数关系式,y,=,f,(,x,),并,写出定义域;,(2)若再要求该商品一天营业额最少为10 260元,求,x,取值范围.,30/31,解析,(1)由题意得,y,=100,100,.,因为售价不能低于成本价,所以100,-80,0,所以,y,=,f,(,x,)=40(10-,x,)(25+4,x,),定义域为,x,0,2.,(2)由题意得40(10-,x,)(25+4,x,),10 260,化简得8,x,2,-30,x,+13,0,解得,x,又,x,0,2,所以,x,取值范围是,.,31/31,
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