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第四节 空间曲线与空间曲面,-,*,-,第七章 空间解析几何与向量代数,第四节 空间曲面与空间曲线,一 曲面方程概念,二 曲线方程概念,三 二次曲面截痕法,1,1/38,水桶表面、台灯罩子面等,曲面方程定义：,曲面实例,：,1,曲面方程定义,假如曲面,与三元方程,有下述关系：,(1)曲面,上任一点坐标都满足方程；,上点坐标都不满足方程；,（2）不在曲面,那么，方程,就叫做曲面,方程,，,就叫做方程,图形,而曲面,一 曲面方程概念,2,2/38,解,依据题意有,所求方程为,例1 求与原点,及,距离之比为,点全体所组成曲面方程.,设,是曲面上任一点，,3,3/38,依据题意有,化简得所求方程,解,例2 已知,求线段,面方程.,垂直平分,设,是所求曲面上任一点，,4,4/38,依据题意有,图形上不封顶，下封底,解,例3 方程 图形是怎样？,用平面,去截图形得圆：,当平面,上下移动时，,得到一系列圆,增大,圆心在,半径为,半径随,而增大.,5,5/38,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（2）已知坐标间关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点轨迹时，求曲面方程,6,6/38,(1),球面,依据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,设球心在点,半径为,下面建立,球面方程.,2 几个常见曲面,设,是球面上任一点，,(,球面方程标准式,),7,7/38,将方程（1）展开得,由此可见球面方程特点,1)是,二次方程,2）,系数为1（或相等）,3）不含,项,(,球面方程普通式,),球面方程又可表示为,8,8/38,定义,(2)柱面,并沿定曲线,所形成曲面称为,柱面,.,移动直线,柱面,这条定曲线,叫,准线,，,平行于定直线,叫,母线,.,柱面,动直线,9,9/38,下面建立母线平行于,轴，准线为,平面曲线,柱面方程。,设,为柱面上,任意一点，,过,作平行,轴直线交,平面,曲线,上点,所以,将,代入得柱面方程,因为,在,平面曲线,上，,10,10/38,从柱面方程看柱面,特征,：,只含,而缺,方程,系中表示母线平行于,在空间直角坐标,轴柱面，,只含,而缺,方程,系中表示母线平行于,面上,在空间直角坐标,曲线,轴柱面，其准线为,只含,而缺,方程,系中表示母线平行于,面上,在空间直角坐标,曲线,轴柱面，其准线为,面上,曲线,其准线为,11,11/38,柱面举例,母线平行于,轴,椭圆柱面,轴,平面,母线平行于,轴,抛物柱面,母线平行于,12,12/38,轴,双曲柱面,母线平行于,13,13/38,定义,一条平面曲线绕其所在平面上一条定直线旋转一周所成曲面称为,旋转曲面,.,(3),旋转曲面,线,这条定直线叫旋转曲面,轴,这条定直,旋转轴,14,14/38,求由,平面曲线,绕,轴旋转一周所得,旋转面方程。,设旋转面上任意一点,则,是由,平,面曲线,绕,上,轴旋转而得，,一点,将上式代入,得方程,面上曲线,绕,轴,旋转曲面方程,.,15,15/38,同理：,坐标面上已知曲线,绕,轴旋转一周,旋转曲面方程,为,坐标面上已知曲线,绕,一周,旋转曲面方程,为,轴旋转,16,16/38,例4 将以下各曲线绕对应轴旋转一周，求生成旋转曲面方程,旋转双曲面,1）双曲线,分别绕,轴和,轴；,绕,轴旋转,绕,轴旋转,17,17/38,旋转椭球面,旋转抛物面,2）,绕,轴；,面上椭圆,3）,绕,轴；,面上抛物线,18,18/38,4）,面上直线,圆锥面,绕,轴；,19,19/38,(4)锥面,经过定点,动直线,沿定曲线,移动所形成,曲面称为,锥面,，,定点,称,为锥面,顶点,，,定曲线,称为锥面,准线,。,称为锥面,母线,，,动直线,20,20/38,例5 建立以椭圆,为准线，,坐标原点为顶点锥面方程。,解,设点,锥面,上任意一点，,过点,母线,交椭圆于点,由,锥面方程为,椭圆锥面,21,21/38,空间曲线普通方程,曲线上点坐标都满足方程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点坐标不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面交线.,特点：,1,空间曲线普通方程,二 曲线方程概念,22,22/38,例1 方程组,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,表示怎样曲线？,23,23/38,空间曲线参数方程,2,空间曲线参数方程,当给定,时，就得到曲线上一个点,伴随参数改变可得到曲线上全部点.,24,24/38,螺旋线参数方程,取时间,t,为参数，,解,例2 假如空间一点,在圆柱面,出发，以角速度,绕,轴旋转，,沿平行,轴正方向上升（其中,都是常数），,组成图形叫做,螺旋线,试建立其参数方程,同时又以线速度,于,那么点,在,面投影,动点从,点出发，,经过,t,时间，运动到,点,上从点,25,25/38,螺旋线参数方程还能够写为,例3 将曲线方程,化为参数式方程。,解,将,代入,得,参数式方程为,26,26/38,以此空间曲线为准线，垂直于所投影坐标面.,投影柱面,特征,：,3,空间曲线在坐标面上投影,消去变量,后得：,设空间曲线,普通方程：,称此曲面为曲线,投影柱面,关于,称曲线,为曲线,在,投影曲线,。,27,27/38,类似地：可定义空间曲线在其它坐标面上投影,面上,投影曲线,消去,得曲线,投影柱面,：,关于,面上,投影曲线,消去,得曲线,投影柱面,：,关于,28,28/38,例4 求曲线,解,在坐标面上投影.,（1）消去变量,后得关于,投影柱面,在,面上投影为,29,29/38,（2）因为曲线在平面,上，,所以关于,面上投影柱面为,面上投影为线段.,在,（3）同理关于,面上投影柱面,面上投影为,在,30,30/38,截线方程为,解,例5 求抛物面,与平面,截线在三个坐标面上投影曲线方程.,（1）消去,得投影,（2）消去,得投影,（3）消去,得投影,31,31/38,例6,解,半球面和锥面交线为,一个圆,32,32/38,三 二次曲面截痕法,二次曲面定义：,三元二次方程所表示曲面称之,二次曲面,对应地三元一次方程所表示曲面（平面）被称为,一次曲面,讨论二次曲面性状,截痕法,：,用坐标面和平行于坐标面平面与曲面相截，考查其交线（即截痕）形状，然后加以综合，从而了解曲面全貌,以下用截痕法讨论几个特殊二次曲面,33,33/38,1 椭球面,椭球面与平面,交线为椭圆,椭圆截面大小随平面位置改变而改变.,同理与平面 和 交线也是椭圆.,34,34/38,椭球面几个特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面,区分,：,与平面 交线为圆.,截面上圆方程,球面,35,35/38,2,抛物面,（与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,设,（1）用,与曲面相截可得,抛物线,顶点,(3)与平面,交线,为椭圆,（2）用,与曲面相截可得,抛物线,顶点,36,36/38,x,z,y,0,（与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形以下：,37,37/38,3,双曲面,单叶双曲面,双叶双曲面,38,38/38,
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