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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,目录,CONTENTS,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录,CONTENTS,01,02,03,04,标题文本预设,此部分内容作为文字排版占位显示（建议使用主题字体）,标题文本预设,此部分内容作为文字排版占位显示（建议使用主题字体）,标题文本预设,此部分内容作为文字排版占位显示（建议使用主题字体）,标题文本预设,此部分内容作为文字排版占位显示（建议使用主题字体）,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,*,热点聚焦 分类突破,真题感悟 考点整合,归纳总结 思维升华,第,5,讲导数综合应用与热点问题,1/39,高考定位,在高考压轴题中，函数与方程、不等式交汇是考查热点，常以含指数函数、对数函数为载体考查函数零点,(,方程根,),、比较大小、不等式证实、不等式恒成立与能成立问题,.,2/39,1.,(,全国,卷,),已知函数,f,(,x,),e,x,ax,2,.,(1),若,a,1,，证实：当,x,0,时，,f,(,x,),1,；,(2),若,f,(,x,),在,(0,，,),只有一个零点，求,a,.,(1),证实,当,a,1,时，,f,(,x,),e,x,x,2,，则,f,(,x,),e,x,2,x,.,令,g,(,x,),f,(,x,),，则,g,(,x,),e,x,2.,令,g,(,x,),0,，解得,x,ln 2.,当,x,(0,，,ln 2),时，,g,(,x,)0.,当,x,0,时，,g,(,x,),g,(ln 2),2,2ln 20,，,f,(,x,),在,0,，,),上单调递增，,f,(,x,),f,(0),1.,真 题 感 悟,3/39,(2),解,若,f,(,x,),在,(0,，,),上只有一个零点，即方程,e,x,ax,2,0,在,(0,，,),上只有一个解，,当,x,(0,，,2),时，,(,x,)0.,4/39,2.,(,全国,卷,),已知函数,f,(,x,),ax,2,ax,x,ln,x,，且,f,(,x,),0.,(1),求,a,；,(2),证实：,f,(,x,),存在唯一极大值点,x,0,，且,e,2,f,(,x,0,)2,2,.,(1),解,f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,设,g,(,x,),ax,a,ln,x,，,则,f,(,x,),xg,(,x,),，,f,(,x,),0,等价于,g,(,x,),0,，,因为,g,(1),0,，,g,(,x,),0,，故,g,(1),0,，,5/39,当,0,x,1,时，,g,(,x,)1,时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),单调递增，,所以,x,1,是,g,(,x,),极小值点，故,g,(,x,),g,(1),0.,综上，,a,1.,(2),证实,由,(1),知,f,(,x,),x,2,x,x,ln,x,，,f,(,x,),2,x,2,ln,x,，,6/39,当,x,(,x,0,，,1),时，,h,(,x,)0.,因为,f,(,x,),h,(,x,),，,所以,x,x,0,是,f,(,x,),唯一极大值点,.,由,f,(,x,0,),0,得,ln,x,0,2(,x,0,1),，,故,f,(,x,0,),x,0,(1,x,0,).,因为,x,x,0,是,f,(,x,),在,(0,，,1),最大值点，,由,e,1,(0,，,1),，,f,(e,1,)0,得,f,(,x,0,),f,(e,1,),e,2,.,所以,e,2,f,(,x,0,)2,2,.,7/39,1.,利用导数研究函数零点,函数零点、方程实根、函数图象与,x,轴交点横坐标是三个等价概念，处理这类问题能够经过函数单调性、极值与最值，画出函数图象改变趋势，数形结合求解,.,2.,三次函数零点分布,三次函数在存在两个极值点情况下，因为当,x,时，函数值也趋向,，只要按照极值与零大小关系确定其零点个数即可,.,存在两个极值点,x,1,，,x,2,且,x,1,0,两个,f,(,x,1,),0,或者,f,(,x,2,),0,三个,f,(,x,1,),0,且,f,(,x,2,),0,a,0,(,f,(,x,1,),为极小值，,f,(,x,2,),为极大值,),一个,f,(,x,1,)0,或,f,(,x,2,),0,两个,f,(,x,1,),0,或者,f,(,x,2,),0,三个,f,(,x,1,),0,且,f,(,x,2,),0,9/39,3.,利用导数处理不等式问题,(1),利用导数证实不等式,.,若证实,f,(,x,),g,(,x,),，,x,(,a,，,b,),，能够结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，假如能证实,F,(,x,),在,(,a,，,b,),上最大值小于,0,，即可证实,f,(,x,),g,(,x,),对一切,x,I,恒成立,I,是,f,(,x,),g,(,x,),解集子集,f,(,x,),g,(,x,),min,0(,x,I,).,x,I,，使,f,(,x,),g,(,x,),成立,I,与,f,(,x,),g,(,x,),解集交集不是空集,f,(,x,),g,(,x,),max,0(,x,I,).,对,x,1,，,x,2,I,使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),f,(,x,),max,g,(,x,),min,.,对,x,1,I,，,x,2,I,使得,f,(,x,1,),g,(,x,2,),f,(,x,),min,g,(,x,),min,.,温馨提醒,处理方程、不等式相关问题，要认真分析题目标结构特点和已知条件，恰当结构函数并借助导数研究性质，这是解题关键,.,10/39,热点一利用导数研究函数零点,(,方程根,),【例,1,】,(,西安调研,),函数,f,(,x,),ax,x,ln,x,在,x,1,处取得极值,.,(1),求,f,(,x,),单调区间；,(2),若,y,f,(,x,),m,1,在定义域内有两个不一样零点，求实数,m,取值范围,.,解,(1),f,(,x,),a,ln,x,1,，,x,0,，,由,f,(1),a,1,0,，解得,a,1.,则,f,(,x,),x,x,ln,x,，,f,(,x,),ln,x,，令,f,(,x,)0,，解得,x,1,；,令,f,(,x,)0,，解得,0,x,1,，,即,m,2,，,当,0,x,1,时，,f,(,x,),x,(,1,ln,x,)0,且,x,0,时，,f,(,x,)0,；,当,x,时，显然,f,(,x,),.,如图，由图象可知，,m,10,，即,m,1,，,由,可得,2,m,0,，则,f,(,x,),在,R,上单调递增,.,16/39,(2),证实法一,设,g,(,x,),f,(,x,),2,x,e,x,3,x,1,，则,g,(,x,),e,x,3.,由,g,(,x,)ln 3,；由,g,(,x,)0,，得,x,ln 3.,故,g,(,x,),max,g,(ln 3),3ln 3,40.,从而,g,(,x,),f,(,x,),2,x,0.,f,(,x,1,),f,(,x,2,),5,，,f,(,x,2,),2,x,2,5,f,(,x,1,),2,x,2,4,e,x,1,.,17/39,法二,f,(,x,1,),f,(,x,2,),5,，,x,1,e,x,1,e,x,2,x,2,3,，,x,1,2,x,2,e,x,1,e,x,2,3,x,2,3.,设,g,(,x,),e,x,3,x,，则,g,(,x,),e,x,3.,由,g,(,x,)0,，得,x,0,，得,x,ln 3.,故,g,(,x,),min,g,(ln 3),3,3ln 3.,1,x,1,0,，,18/39,探究提升,1.,证实不等式基本方法：,(1),利用单调性：若,f,(,x,),在,a,，,b,上是增函数，则,x,a,，,b,，有,f,(,a,),f,(,x,),f,(,b,),，,x,1,，,x,2,a,，,b,，且,x,1,x,2,，有,f,(,x,1,),f,(,x,2,).,对于减函数有类似结论,.,(2),利用最值：若,f,(,x,),在某个范围,D,内有最大值,M,(,或最小值,m,),，则,x,D,，有,f,(,x,),M,(,或,f,(,x,),m,).,2.,证实,f,(,x,),g,(,x,),，可结构函数,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，证实,F,(,x,)0.,19/39,【训练,2,】,(,全国,卷,),设函数,f,(,x,),ln,x,x,1.,令,f,(,x,),0,，解得,x,1.,当,0,x,0,，,f,(,x,),单调递增,.,当,x,1,时，,f,(,x,)1,，设,g,(,x,),1,(,c,1),x,c,x,，,又,g,(0),g,(1),0,，故当,0,x,0.,当,x,(0,，,1),时，,1,(,c,1),x,c,x,.,当,x,0,，,g,(,x,),单调递增；当,x,x,0,时，,g,(,x,)0,，求,a,取值范围,.,解,(1),f,(,x,),定义域为,(0,，,),，,当,a,4,时，,f,(,x,),(,x,1)ln,x,4(,x,1),，,故曲线,y,f,(,x,),在,(1,，,f,(1),处切线方程为,2,x,y,2,0.,22/39,当,a,2,，,x,(1,，,),时，,x,2,2(1,a,),x,1,x,2,2,x,10,，,故,g,(,x,)0,，,g,(,x,),在,(1,，,),单调递增，所以,g,(,x,),g,(1),0.,当,a,2,时，令,g,(,x,),0,，,由,x,2,1,和,x,1,x,2,1,得,x,1,1.,故当,x,(1,，,x,2,),时，,g,(,x,)0,，,g,(,x,),在,(1,，,x,2,),上单调递减，所以,g,(,x,),g,(1),0,，,综上可知，实数,a,取值范围是,(,，,2.,23/39,24/39,(2),f,(,x,1,),g,(,x,2,),m,，即,f,(,x,1,),m,g,(,x,2,),，,25/39,26/39,探究提升,1.,对于含参数不等式，假如易分离参数，可先分离参数、结构函数，直接转化为求函数最值；不然应进行分类讨论，在解题过程中，必要时，可作出函数图象草图，借助几何图形直观分析转化,.,2.,“,恒成立,”,与,“,存在性,”,问题求解是,“,互补,”,关系，即,f,(,x,),g,(,a,),对于,x,D,恒成立，应求,f,(,x,),最小值；若存在,x,D,，使得,f,(,x,),g,(,a,),成立，应求,f,(,x,),最大值,.,应尤其关注等号是否取到，注意端点取舍,.,27/39,又,f,(1),1,，即切点为,(1,，,1),，,28/39,(2)“,对任意,n,0,，,2,，存在,m,0,，,2,，使得,f,(,m,),g,(,n,),成立,”,，等价于,“,在,0,，,2,上，,f,(,x,),最大值大于或等于,g,(,x,),最大值,”.,所以,g,(,x,),在,0,，,2,上单调递增，所以,g,(,x,),max,g,(2),2.,令,f,(,x,),0,，得,x,2,或,x,a,.,当,a,0,时，,f,(,x,),0,在,0,，,2,上恒成立，,f,(,x,),单调递增，,f,(,x,),max,f,(2),(4,a,)e,1,2,，解得,a,4,2e,；,29/39,当,0,a,2,时，,f,(,x,),0,在,0,，,a,上恒成立，,f,(,x,),单调递减，,f,(,x,),0,在,a,，,2,上恒成立，,f,(,x,),单调递增，,f,(,x,),最大值为,f,(2),(4,a,)e,1,或,f,(0),a,e,，,所以,(4,a,)e,1,2,或,a,e,2.,当,a,2,时，,f,(,x,),0,在,0,，,2,上恒成立，,f,(,x,),单调递减，,30/39,31/39,2,10(,x,3)(,x,6),2,，,3,x,0,，,f,(,x,),单调递增；,36/39,故当,x,2,时，,f,(,x,),取得最大值,80,，,37/39,1.,重视转化思想在研究函数零点中应用，如方程解、两函数图象交点均可转化为函数零点，充分利用函数图象与性质，借助导数求解,.,2.,对于存在一个极大值和一个极小值函数，其图象与,x,轴交点个数，除了受两个极值大小制约外，还受函数在两个极值点外部函数值改变制约，在解题时要注意经过数形结合找到正确条件,.,3.,利用导数方法证实不等式,f,(,x,),g,(,x,),在区间,D,上恒成立基本方法是结构函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，然后依据函数单调性或者函数最值证实函数,h,(,x,)0.,其中找到函数,h,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),零点是解题突破口,.,38/39,4.,不等式恒成立、能成立问题惯用解法,(1),分离参数后转化为最值，不等式恒成立问题在变量与参数易于分离情况下，采取分离参数转化为函数最值问题，形如,a,f,(,x,),max,或,a,f,(,x,),min,.,(2),直接转化为函数最值问题，在参数难于分离情况下，直接转化为含参函数最值问题，伴有对参数分类讨论,.,(3),数形结合，结构函数，借助函数图象几何直观性求解，一定要重视函数性质灵活应用,.,39/39,
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