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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,椭圆简单几何性质1,1/69,椭圆定义,图形,标准方程,焦点坐标,a,b,c关系,焦点位置判断,F,1,(-c,0)，F,2,(c,0),F,1,(0,-c)，F,2,(0,c),椭圆分母看大小焦点伴随大跑,1,2,y,o,F,F,M,x,1,o,F,y,x,2,F,M,c,a,b,M,2/69,椭圆 简单几何性质,范围：,-axa,-byb,椭圆落在x=a,y=b组成矩形中（如图）,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,1.观察：x,y范围？,2.思索：怎样用代数方法解释x,y范围？,-axa,-byb,一.范围,3/69,二、椭圆顶点,令 x=0，得 y=？，,说明椭圆与 y轴交点（），,令 y=0，得 x=？,说明椭圆与 x轴交点（）。,*,顶点,：,椭圆与它对称轴四个交点，叫做椭圆顶点。,o,x,y,B,1,(0,b),B,2,(0,-,b),A,1,A,2,(a,0),0,b,a,0,*,长轴,、,短轴,：,线段A,1,A,2,、B,1,B,2,分别叫做椭圆长轴和短轴。,a、b分别叫做椭圆,长半轴长,和,短半轴长,。,焦点总在长轴上!,4/69,三.椭圆对称性,Y,X,O,P,1,（-x，y）,P,2,（-x，-y）,P,3,（-x，-y）,P（x，y）,把(,X,)换成(,-,X,),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；,把(,Y,)换成(,-,Y,),方程不变,说明椭圆关于()轴对称；,把(,X,)换成(,-,X,),(,Y,)换成(,-,Y,),方程还是不变,说明椭圆关于(,)对称；,Y,X,原点,所以，坐标轴是椭圆对称轴，原点是椭圆对称中心。,5/69,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,练习：依据前面所学相关知识画出以下图形,（1）,（2）,A,1,B,1,A,2,B,2,B,2,A,2,B,1,A,1,6/69,四,、椭圆离心率,离心率：,椭圆焦距与长轴长比：,叫做椭圆离心率。,1离心率取值范围：,1）e 越靠近 1，c 就越靠近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁,因为 a c 0，所以,0e b),知识归纳,a,2,=b,2,+c,2,8/69,标准方程,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,a、b、c关系,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0,c)、(0,-c),关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),-a x a,-b y b,-a y a,-b x b,a,2,=b,2,+c,2,a,2,=b,2,+c,2,9/69,例题1:,求椭圆 9 x,2,+4y,2,=36长轴和短轴长、离心 率、焦点和顶点坐标。,椭圆长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆短轴长是,:,2a=6,2b=4,解题步骤：,1、将椭圆方程转化为标准方程求a、b：,2、确定焦点位置和长轴位置,.,解：把已知方程化成标准方程,四、例题讲解：,10/69,练习:,求椭圆 16 x,2,+25y,2,=400长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标。,解：把已知方程化成标准方程,椭圆长轴长是:,离心率:,焦点坐标是:,四个顶点坐标是:,椭圆短轴长是:,2a=10,2b=8,11/69,例2:,求适合以下条件椭圆标准方程：,（1）经过点,（-3，0）、,（0，-2）；,解：方法一：,设椭圆方程为mx,2,ny,2,1（m,0,，n,0，mn），,将点坐标代入方程，求出m1/9,n1/4。,所以椭圆标准方程为,方法二：,利用椭圆几何性质，以坐标轴为对称轴椭圆与坐标轴交点就是椭圆顶点，于是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴一个端点，故a3，b2，所以椭圆标准方程为,（2）离心率为 ，经过点（2,0）,12/69,练习：,椭圆一个顶点为 ,其长轴长是短轴长2倍，求椭圆标准方程,分析：,题目没有指出焦点位置，要考虑两种位置,椭圆标准方程为：；,椭圆标准方程为：；,解：,（1）当 为长轴端点时，,（2）当 为短轴端点时，,，,总而言之，椭圆标准方程是 或,13/69,椭圆简单几何性质2,14/69,标准方程,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,a、b、c关系,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0,c)、(0,-c),关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,长半轴长为,a,短半轴长为,b.,(ab),-a x a,-b y b,-a y a,-b x b,a,2,=b,2,+c,2,a,2,=b,2,+c,2,15/69,二.离心率常见题型及解法,题型一：定义法,例1.已知椭圆方程为 +=1，求椭圆离心率；,1.直接算出a、c带公式求e,F,2,(c,0),x,o,y,F,1,(-c,0),P,c,a,2.几何意义：e为,OPF,2,正弦值,16/69,3.已知a,2,、c,2,直接求e,2,变式训练1：,若椭圆 +=1离心率为1/2，求m值.,4.已知a,2,、b,2,不算c直接求e,17/69,题型二：方程法,例2,.,依据a,b,c,e关系，结构关于a,c,齐次式，解出e即可，但要,注意椭圆离心率范围是0eb0)三个顶点为B,1,(0，-b)，B,2,(0，b),A(a,0),焦点F(c,0)且,B,1,F,AB,2,求该椭圆离心率。,B,2,(0，b),B,1,(0，-b),A(a,0),F(c,0),x,o,y,21/69,练习 2：已知一椭圆短轴长与焦距长相等，求椭圆离心率。,22/69,五.小结,1.知识点：求离心率两种常规方法：,（1）定义法:,求a,c或a、c关系；,（2）方程法:,依据题上相等关系，结构关于a,c齐次式，解出e.,2.思想方法,：,方程思想，转化思想,23/69,高考链接,（新课标全国卷）设F,1,和F,2,是椭圆,+=1(ab0)左、右焦点，P为直线 x=上一点，F,2,P,F,1,是底角为30,等腰三角形，求该椭圆离心率。,F,2,(c,0),x,o,y,F,1,(-c,0),x=3a/2,P,30,2c,2c,c,2c=3a/2,24/69,六.课后练习,2.设椭圆两个焦点分别为F,1,和F,2,，过F,2,作椭圆,长轴垂线交椭圆于点P，若为F,2,PF,1,等腰直角,三角形，求椭圆离心率.,1.若一个椭圆长轴长度、短轴长度和焦距长成等差数列，求该椭圆离心率.,3.已知椭圆两个焦点为F,1,和F,2,，A为椭圆上一,点，且AF,1,AF,2,，,AF,1,F,2,=60,，求该椭圆,离心率。,25/69,1.椭圆以坐标轴为对称轴，离心率 ，长轴长为,6，,则椭圆方程 为,（）,(A),(B),(C),(D),或,或,C,2.,若某个椭圆长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=_,26/69,已知椭圆 离心率 ，求 值,由 ，得：,解：,当椭圆焦点在 轴上时，,，得 ,当椭圆焦点在 轴上时，,，得 ,由 ，得 ，即 ,满足条件 或 ,练习2：,已知椭圆 离心率 ，求 值,27/69,练习3：,28/69,例4：,点M(x,y)与定点F(4,0)距离和它到定直线,l,:x=距离比是常数 ，求点M轨迹,。,x,y,o,F,M,l,F,1,l,(椭圆第二定义),准线方程：,29/69,解：,如图，设d是点M到直线L距离，依据题意，所求轨迹集合是：,由此得：,这是一个椭圆标准方程，所以点M轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b椭圆。,点M（x,y）与定点F（c,0）距离 和它到定直线,距离比是常数,求M点轨迹。,平方，化简得：,30/69,若点F是定直线,l,外一定点，动点M,到点F距离,与它,到直线,l,距离,之,比,等于常数,e,(0,e,1)，则点M轨迹是椭圆.,M,F,H,l,新知探究,动画,第二定义,31/69,直线 叫做椭圆对应于焦点F,2,(c，0),准线,，对应于焦点F,1,(c，0)准线方程是,O,x,y,F,2,F,1,新知探究,32/69,椭圆准线与离心率,离心率,：,椭圆准线：,o,x,y,M,L,L,F,F,离心率范围,：,相对应焦点F（c,0），准线是：,相对应焦点F（-c,0），准线是：,33/69,1.基本量:,a、b、c、e、,几何意义：,a,-长,半,轴、,b,-短,半,轴、,c,-半焦距，,e,-离心率；,相互关系：,椭圆中基本元素,2.基本点：,顶点、焦点、中心,3.基本线:,对称轴,（共两条线），,准线,焦点总在长轴上!,课堂小结,-准线,34/69,椭圆 +=1 上一点P到,右准线距离为10,则:点P到左焦点,距离为(),A.14 B.12 C.10 D.8,35/69,36/69,【答案】,6,37/69,38/69,39/69,例3：,40/69,变式,41/69,1.若椭圆两个焦点把两准线间距离三等分,则:离心率e=_,2离心率e=,且两准线间距离为4椭圆,标准方程为_,3.若椭圆短轴长为2,长轴是短轴2倍,则:中心到准线,距离为(),A.B.C.D.,4.离心率e=,一条准线方程为x=-,求标准方程,42/69,椭圆简单几何性质3,43/69,直线与椭圆位置关系,种类:,相离(没有交点),相切(一个交点),相交(二个交点),44/69,直线与椭圆位置关系判定,代数方法,45/69,1.位置关系：相交、相切、相离,2.判别方法(代数法),联立直线与椭圆方程,消元得到二元一次方程组,(1)0,直线与椭圆相交,有两个公共点；,(2)=0,直线与椭圆相切,有且只有一个公共点；,(3)0,直线与椭圆相离,无公共点,通法,知识点1.直线与椭圆位置关系,46/69,例1,：直线y=x+1与椭圆 恒有公共点,求m取值范围。,题型一：直线与椭圆位置关系,变式练习,：y=kx+1与椭圆 恰有公共点，则m范围（）,A、（0，1）B、（0，5）,C、1，5）（5，+,）D、（1，+）,47/69,练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x,2,+3y,2,=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?,练习2.不论k为何值,直线y=kx+2和曲线,交点情况满足(),A.没有公共点 B.一个公共点,C.两个公共点 D.有公共点,D,48/69,l,m,m,49/69,o,x,y,50/69,o,x,y,思索：最大距离是多少？,51/69,设直线与椭圆交于P,1,(x,1,y,1,)，P,2,(x,2,y,2,)两点，直线P,1,P,2,斜率为k,弦长公式：,知识点2：弦长公式,可推广到任意二次曲线,52/69,例3：,已知斜率为1直线L过椭圆 右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长,53/69,54/69,55/69,例5 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线方程.,解：,韦达定理,斜率,韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来结构,知识点3：中点弦问题,56/69,例 5已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线方程.,点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构,出中点坐标和斜率,点,作差,57/69,知识点3：中点弦问题,点差法：,利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差结构出中点坐标和斜率,58/69,直线和椭圆相交相关弦中点问题，惯用设而不求,思想方法,59/69,例5已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被,平分，求此弦所在直线方程.,所以 x,2,+4y,2,=(4-x),2,+4(2-y),2,，整理得x+2y-4=0,从而A,B在直线x+2y-4=0上,而过A,B两点直线有且只有一条,解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一 条件，灵活利用中点坐标公式及韦达定理，,60/69,练习：,61/69,例6、,如图，已知椭圆 与直线x+y-1=0交,于A、B两点，AB中点M与椭圆中心连线,斜率是 ，试求a、b值。,o,x,y,A,B,M,62/69,练习：,已知椭圆5x,2,+9y,2,=45，椭圆右焦点为F，,(1)求过点F且斜率为1直线被椭圆截得弦长.,(2)判断点A(1,1)与椭圆位置关系,并求以A为中点,椭圆弦所在直线方程.,63/69,练习：,已知椭圆5x,2,+9y,2,=45，椭圆右焦点为F，,(1)求过点F且斜率为1直线被椭圆截得弦长.,(2)判断点A(1,1)与椭圆位置关系,并求以A为中点,椭圆弦所在直线方程.,64/69,3、,弦中点问题,两种处理方法：,（,1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；,（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦斜率。,1、直线与椭圆三种位置关系及判断方法；,2、弦长计算方法：,弦长公式：,|,AB|=,=（适合用于任何曲线）,小 结,解方程组消去其中一元得一元二次型方程,0 相交,65/69,66/69,67/69,68/69,69/69,
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