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第五章 保角映射,保角映射在热力学、空气动力学以及电,磁场理论等研究中都有主要应用.本章从,解析函数导数几何意义出发，引出保角映,射概念，重点讨论分式线性映射及若干初,等函数所组成保角映射及其性质.,1/89,5.1 映射与保角映射概念,1,映射概念,2 两曲线夹角,3 导数几何意义,4 保角映射概念,5 关于保角映射普通理论,2/89,5.1.1 映射概念,复变函数反应了两对变量,x,y,和,u,v,之间,对应关系，所以能够看成两个复平面中点集对,应关系.,设 是复平面点集,D,上复变函数,即,z,平面中点集,D,为定义域,其值域,G,是,w,平面中点集,记为,G,=,f,(,D,),这时称,w,=,f,(,z,)为从,D,到,G,映射.对,于 称 为映射,w,=,f,(,z,)下点,z,0,在,w,3/89,平面上像,而称,z,0,为映射,w,=,f,(,z,)下点,w,0,在,z,平面,上原像.同时称,G,为映射,w,=,f,(,z,)下,D,在,w,平面上,像,称,D,为映射,w,=,f,(,z,)下,G,在,z,平面上原像.,假如,w,=,f,(,z,)把,D,中不一样点映射成,G,中不,同点,即假如 都是,D,中点,那么有,则称,w,=,f,(,z,)是从,D,到,G,双方单值,映射或一对一映射.,4/89,5.1.2 两曲线夹角,当,t,增大时,点,z,移动方向为正向,.,设,z,平面内有向光滑曲线,y,x,C,.,.,在曲线,C,上取两点:,作割线,P,0,P,要求割线正向,对应于,t,增大方向.,于是割线,P,0,P,与向量,同向.,5/89,割线,C,在,P,0,处切线.,C,.,.,y,x,当,P,时,沿,C,因为,C,是光滑曲线,所以 于是,向量 是曲线C切向,量,与,C,相切于点,要求 方向为,C,上点,z,0,处切线正向.,6/89,C,.,y,x,(1)C在点,z,0,处切线正向,与,x,轴,正向之间夹角是,(2)设,z,平面内两条有向光,.,滑曲线 和 相交于,z,0,(,t,=,t,0,)点.,要求,z,0,处曲线,C,1,和,C,2,正向之间,夹角为两条曲线在,z,0,处切线,正向之间夹角.,7/89,5.1.3 导数几何意义,所以,C,.,y,x,设,w,=,f,(,z,)在区域,D,内解析,且在,D,内,(1),几何意义,设 是,D,内过,有向光滑曲线,t,增大方向为正向.,于是,w,=,f,(,z,)将,z,平面上有向,对于,因为,C,光滑,8/89,光滑曲线,t,增大方向,C,.,y,x,v,u,.,光滑曲线,C,映射成,w,平面内过点 有向,为正向,且 是曲线,G,在,w,0,处,切向量.,9/89,因为 所以,曲线,G,在,w,0,处切线正向与,u,轴正向之间夹角,曲线,C,在,z,0,处切线正向与,x,轴正向之间夹角,假如将,x,轴与,u,轴重合,将,y,轴与,v,轴重合,即将,z,平面与,w,平面重合,那么曲线C在,z,0,处切线转动,之后与曲线,G,在,w,0,处切线方向一致.,在这个意义上,就是曲线,C,经过,w,=,f,(,z,),映射后在,z,0,处转动角.显然转动角与,C,无关.,10/89,假如 是,过,z,0,点,D,内两条有向光滑曲线，,则在映射,w,=,f,(,z,)下,C,1,和,C,2,在,w,平面上像分别为,而且 所以,11/89,.,.,所以,G,1,和,G,2,在,w,0,处夹角,C,1,和,C,2,在,z,0,处夹角,过,z,0,两条光滑曲线,C,1,、,C,2,在,z,0,处夹角大小与方向,和在映射,w,=,f,(,z,)下像,G,1,、,G,2,在,w,0,处夹角大小与,方向相同,即 时,映射,w,=,f,(,z,)含有,保角性,.,12/89,C,v,u,y,x,.,.,.,.,(2)几何意义,当 时,是映射,w,=,f,(,z,)在,z,0,处伸缩,率.它与,C,无关,即映射,w,=,f,(,z,)含有,伸缩率不变性,.,13/89,5.1.4 保角映射概念,定义5.1设,w,=,f,(,z,)在点,z,0,邻域内有定义.如,果,w,=,f,(,z,)在,z,0,处含有保角性和伸缩率不变性,则称,映射,w,=,f,(,z,)在,z,0,处是保角映射.假如,w,=,f,(,z,)在区域,D,内每一点都是保角映射,则称,w,=,f,(,z,)是区域,D,上保角映射.,定理5.1 若,w,=,f,(,z,)在,z,0,处解析,且 则,w,=,f,(,z,)在,z,0,处是保角映射.若,w,=,f,(,z,)在区域,D,解析,且在,D,内 则,w,=,f,(,z,)是区域,D,上保角映射.,14/89,例5.1,w,=,z,2,在,z,0处是保角映射,但在,z,=0处不,含有保角性.,解 因为 所以当,z,0时,所以,在,z,0处,w,=,z,2,是保角映射.,当,z,=0时,在,z,平面内取过,z,=0点两条射线为,(,z,),(,w,),(正实轴)和,不保角,15/89,5.1.5 关于保角映射普通理论,实际上,逆定理也成立.所以,映射,w,=,f,(,z,)是区域,D,上保角映射,充分必要,条件是,f,(,z,)在,D,内解析,而且,而且能够证实,假如,f,(,z,)是区域,D,上不恒为常数解析函数,则,点集,G,=,f,(,D,)是,w,平面上区域,即解析函数把区域,映射成区域.,16/89,基本问题:,(1)给定两个区域,D,和,G,是否存在双方单值保,角映射,把,D,映射成,G,?,(存在性问题),(2)假如存在这么映射,怎样求出?,(实现性问题),关于存在性问题，有下面,Riemann定理,.,定理5.2 假如,D,和,G,分别是,z,平面和,w,平面平面,上边界多于一个点单连通区域,则存在双方单值,保角映射,w,=,f,(,z,),把,D,映射成,G,.,17/89,Riemann定理中保角映射,f,(,z,)不一定惟一.,但假如再加一些条件,如,(其中 ),则存在惟一保,角映射,w,=,f,(,z,),使得,注,边界不多于一个点情形:,(1)扩充复平面,(没有边界点),;,(2)扩充复平面除去一个点,比如无穷远点,(只有一,个边界点),.,18/89,关于实现性问题,可利用下面,边界对应原理.,定理5.3 设,D,是,z,平面内由一条分段光滑Jordan,曲线,C,围成区域,f,(,z,)是,D,及其边界,C,上解析函数，,并把,C,双方单值地映射成,w,平面上光滑曲线,G,.如,果,C,正向映射成,G,正向,则在映射,w,=,f,(,z,)下,C,内部区域,D,映射成,G,正向左侧(若,G,也是Jordan,曲线,则映射成,G,内部)区域;假如,C,正向映射成,G,负向,则C内部区域映射成,G,右侧(若,G,也是,Jordan曲线,则映射成,G,外部)区域.,19/89,D,对于,C,不是Jordan曲线情况也可得出类似,边界对应原理结论,而且在边界个别点不满足双,方单值情况也成立,但在这些点不能确保保角性.,例5.2 求区域 在映射,w,=,f,(,z,)=,z,2,下像,G,=,f,(,D,).,解显然,w,=,z,2,在,D,内处处可,导，且 所以,f,(,z,)是,上保角映射.由,O,x,y,(,z,),20/89,D,可知,D,边界,C,O,x,y,(,z,),O,u,v,(,w,),在,w,平面上像为,因,D,内点 映射成,w,平面上点,G,2,i,内点.又因为 故,w,=,z,2,.,z,0,.,4,i,依据 ,应该是,G,21/89,5.2 分式线性映射,1 分式线性映射概念,2 几个简单分式线性映射,3 分式线性映射基本性质,4 唯一确定分式线性映射条件,5 分式线性映射经典例子,22/89,5.2.1 分式线性映射概念,称为,分式线性映射.,那么映射值域是,w,平面上一点.,(是复常数,),注1,因为 所以,确保了映射是保角映射.不然 即w,常数,注2,由 可得,23/89,即分式线性映射逆映射也是分式线性映射.,注3,两个分式线性映射,复合仍是分式线性映射,24/89,注4,分式线性映射,假如,c,=0,则由 知 于是,其中,假如,c,0,则,其中 所以普通分式线,性映射是由以下简单分式线性映射复合而成:,25/89,5.2.2 几个简单分式线性映射,1.平移映射,(为方便起见,令,w,平面与,z,平面重合),这是扩充,z,平面到扩充,w,平面双方单值映射.,在,此映射下,z,沿着复数,移距离|,b,|,得到像,w,.,b,所表示向量方向平,26/89,2.旋转映射,(,a,是实数).,它把点,z,以原点为中心旋转,a,角(,a,0时按逆时,针,a,1,时放大,0,r,0,b,为实数),即相同和平移映射也满,足要求.但它们是平凡,没有实际意义.,45/89,.,.,.,.,.,.,例5.4求把上半平面 映射成单位圆,内部 分式线性映射.,解 在,x,轴上取三点 使得,它们依次对应于,u,轴上三点,(方法一),46/89,于是所求分式线性映射为,化简可得,而且 与 围绕方向相同.,注,一样,假如选取其它三对不一样点,也能求出,满足要求,但形式不一样分式线性映射.,47/89,方法二,解 实轴映射成单位圆周.设上半平面中点,.,.,.,a,关于实轴对称点,映射成,w,=0关于 对,称点,z,=,.,z,=,a,映射成圆心,w,=0,由保对称性和 ,48/89,上半平面映为单位圆内部分式线性映射普通形式,说明,则所求映射为 其中,k,是待定常数.由,于 映射成 上点,所以,设,(,q,为实数,),则,取 时,取 时,(与方法一相同),49/89,例5.5 求把上半平面 映射成圆域内部,分式线性映射,使,解由例5.4中解法二可知，映射,把上半平面,映射成单位圆,内部,1,再作相同映射与平移映射，得,(,q,为实数),50/89,这么,映射成 且,因为,再由已知条件 可见 即,所以要求分式线性映射是,51/89,.,.,.,例5.6求把单位圆内部 映射成单位圆内,部 分式线性映射.,解 在 内取一点,z,1,=,a,0,设,z,1,像为,w,1,=0.,因为,z,1,=,a,关于圆周 对称点是,而条件,52/89,.,.,.,要求,分式线性映射把 映射成 所以依据,分式线性映射保对称性,映射成,w,1,=0关于,对称点,这么分式线性映射为,53/89,其中 是复常数.,轻易验证,当 时,因为,映射成,所以当 时,设,(,q,为实数),则所求,分式线性映射为,(,q,为实数).,注,旋转映射,(,q,为实数),也满足要求.但,它是平凡,没有实际意义.,54/89,例5.7 求一个分式线性映射,把由两圆周,所围成偏心圆环域,D,映射成中心在,w,=0同心圆,环域,G,且使其外半径为1.,y,x,(,z,),O,D,u,v,(,w,),O,G,55/89,解 设所求分式线性映射把,z,平面内两点,z,1,和,z,2,分别映射成,w,平面内,w,1,=0和,w,2,=,.,因为,w,1,和,w,2,同,同时关于同心圆环域,G,两个边界圆周对称,由分,式线性映射保对称性,z,1,和,z,2,应同时关于圆周,C,1,和,C,2,对称.所以,z,1,和,z,2,应在,C,1,和,C,2,圆心连线上，,即在实轴上,设 依据对称性,解方程得 (或 ).,下面只考虑 情形.,56/89,由 可知,圆周,C,2,映射成外边界,这时 于是,所求分式线,性映射形式为,(,k,为复常数).,因为,z,=0在 和 内部,在,C,2,取,则 于是,由此可得 即,(,q,为实数).,57/89,5.3 几个初等函数所组成映射,1 幂函数组成映射,2 指数函数与对数函数组成映射,58/89,5.3.1 幂函数组成映射,为了讨论方便,在本节中设 取值范围为,幂函数,在全平面解析，且,假如 则 故该映射在 点处处,保角.,下面讨论 点.设 则在映,射 下,根式取为主值,整数,59/89,射线 映射成,w,平面上射线 尤其,地,把正实轴 映射成正实轴 所以,故在,z,=0点不含有保角性.,),),由此可见,映射 把,z,平面上以原点为起点,映射 将角形区域 映射成角,形区域,60/89,O,特殊情况:,),上岸,沿正实轴割开,w,平面,下岸,角形区域,角形区域,映射成正实轴上岸,映射成正实轴下岸,61/89,角形区域,上半平面,),同时,把,z,平面上圆周 映射成,w,平面上圆周,在区域 内,是双方,单值保角映射.,62/89,用类似方法能够讨论 它也是把角形,区域映射成角形区域映射,不一样点只是角形区域,顶角变成原来顶角,实际上它是 逆,映射.,),),若将角形区域映射成角形区域,普通应用幂函数.,63/89,例5.8 求把角形区域 映射成单位,圆内部 双方单值保角映射.,解,所以所求映射为,),?,64/89,例5.9 求把在单位圆 内部,从原点沿正,实轴半径上有割痕区域(即在单位圆 内去,掉 )映射成单位圆内部,双方单值保角映射.,O,(,z,),O,(,w,),?,65/89,O,(,z,),O,(,z,1,),O,(,z,2,),O,(,z,3,),O,(,z,4,),O,(,w,),解,66/89,5.3.2 指数函数与对数函数 组成映射,指数函数 在全平面解析,且 处,处不为零.所以,它是全平面上保角映射.,设 则,O,O,x,0,(1),67/89,O,O,(2),(3)设,双方单值,O,O,带形区域,角形区域,68/89,O,O,O,O,特殊情形,双方单值,双方单值,带形区域,平面从原点沿正,实轴有割痕区域,上半平面,69/89,若将带形区域映射成角形区域,普通应用指数函数.,例5.10 求把带形区域 映射成单位,圆内部 双方单值保角映射.,O,?,解,O,所以所求映射为,70/89,区域 上指数函数反函数是对数,函数主值 在复平面除去原点与负实轴区,域,D,内,所以,D,是,D,上保角映射.,对数函数能够把,角形区,域映射成带形区域.,71/89,O,O,O,平面从原点沿负,实轴有裂痕区域,双方单值,O,双方单值,带形区域,上半平面,72/89,5.4 保角映射举例,例5.11求把 和 公共,部分映射成上半平面双方单值保角映射.,O,O,?,解圆 和 交于两点,73/89,而且交角等于 所以，映射 把 与,分别映射成 平面上原点和无穷远点,而,将所给区域映射成以原点为顶点角形区域,且顶,角等于 当,z,=0时,应在角形区域平分线,上,所以负实轴为该角形区域角平分线.于是该,角形区域为,74/89,O,O,O,O,75/89,例5.12求把 映射成,上半平面双方单值保角映射.,?,解区域,D,边界,y,=1和 在,i,点相切,所以,映射 把,y,=1和 映射成平行线,把区域,映射成带形区域,D,76/89,D,77/89,例5.13求把含有割痕,上半平面映射成上半平面 双方单值保,角映射.,O,ih,O,?,解映射 把割痕,映射为,z,1,平面上割痕 把正,负实轴映射为,z,1,平面上割痕,78/89,O,ih,O,O,O,79/89,例5.14 求把上半带形区域,映射成上半平面 且满足,双方单值保角映射.,O,O,?,80/89,O,O,O,1,O,O,O,1,81/89,解,注,即使 已经把上半带形区域,映射成了上半平面,不过,不满足条件.,82/89,例5.15 求把扩充复平面上单位圆外部区域,映射成含有割痕 扩,充,w,平面双方单值保角映射.,解,O,O,O,O,O,儒可夫斯基函数,83/89,儒可夫斯基函数,儒可夫斯基利用这么保角映射成功地处理了,机翼截面绕流问题,对空气动力学与航空工业发,展曾起到主要作用.,O,.,.,O,.,.,O,.,.,O,.,.,(,机翼截线,),84/89,总 结,1.幂函数能把一个角形区域(顶点在原点)映射成,上半平面;能把一个扇形区域映射成半圆域.,2.指数函数能把一个带形区域映射成半平面;对数,函数能把上半平面映射成带形区域.,3.分式线性映射能把半平面映射成单位圆内部;,把由两个圆弧所围成区域映射成角形区域;能,把一条有限长割痕变成一条射线;把两个相切,圆周映射成平行线(切点映射成无穷远点).,85/89,本章主要内容,保角映射,分式线性映射,一一对应,保角性,保圆性,几何意义,几个初等,函数组成,映射,分式线性映射确实定,对确定区域映射,保对称性,86/89,1.保角映射概念及其性质,3.分式线性变换与初等函数相结合,求一些,简单区域之间映射,本章重点,2.分式线性映射,87/89,第五章 完,88/89,儒可夫斯基,(N.Joukowski,1847.1.17-1921.3.17,),机翼理论创建者,曾被列宁誉为“俄罗斯航,空之父”.他早期论著论鸟滑翔飞行(1891),和论飞机最正确倾角(1897)在人类航空发展史上,占有主要学术地位.,89/89,