复变函数7.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,6.1,共形映射,概念,导数几何意义，保角、共形映射概念,第六章,共,形,(,保形,),映射,(,几何方法研究解析函数,),6.2,共形映射,基本问题,6.3,分式线性,映射,6.4,几个,初等函数,组成,共形,映射,1/74,2,1,共,形映射概念,第六章,共,形,(,保形,),映射,(,几何方法研究解析函数,),1.,解析函数导数几何意义,(,旋转角与伸缩率,),设函数,w,=,f,(,z,),在区域,D,内解析,z,0,为,D,内一点,且,f,(,z,0,),0,.,又设,C,为,z,平面内经过点,z,0,一条有向光滑曲线,.,映射,w,=,f,(,z,),将,C,映射成,w,平面内经过点,z,0,对应点,w,0,=,f,(,z,0,),一条有向光滑曲线,.,O,x,y,O,u,v,z,0,P,0,r,z,P,D,z,C,(,z,),(,w,),G,w,0,Q,0,Q,w,r,D,w,2/74,3,导数几何意义,O,x,y,O,u,v,z,0,P,0,r,z,P,D,z,C,(,z,),(,w,),G,w,0,Q,0,Q,w,r,D,w,3/74,4,1),导数,f,(,z,0,),0,辐角,Arg,f,(,z,0,),是曲线,C,经过,w,=,f,(,z,),映射后在,z,0,处,旋转角（转动角）,;,2),旋转角,大小与方向跟曲线,C,形状与方向无关,.,所以这种,映射含有,旋转角不变性,.,过,z,0,点每一条曲线映射到,w,平面在,w,0,点都转动了同一个角度,Arg,f,(,z,0,).,O,x,y,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,4/74,5,相交于点,z,0,任何两条曲线,C,1,与,C,2,之间夹角,在其大小和方向上都等同于经,w,=,f,(,z,),映射后,C,1,与,C,2,对应曲线,G,1,与,G,2,之间夹角,所以这种映射含有,保持两曲线间夹角与方向不变性质,.,这种性质称为,保角性,.,y,a,O,x,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,a,C,1,C,2,G,1,G,2,5/74,6,称为曲线,C,在,z,0,伸缩率,.,3),上式表明,|,f,(,z,)|,是两象点间距离和两原象点间距离比,值极限，从而可视为映射,w,=,f,(,z,),在点,z,0,处沿曲线,C,伸,缩率,它与曲线,C,形状及方向无关,.,所以这种映射又含有,伸缩率不变性,.,上式可视为,6/74,7,结论,:,设函数,w,=,f,(,z,),在区域,D,内解析,z,0,为,D,内一点,且,f,(,z,0,),0,则映射,w,=,f,(,z,),在,z,0,含有,两个性质,:1),保角性,.,即经过,z,0,两条曲线间夹角跟经过映射后所得两,曲线间夹角在大小和方向上保持不变,。,2),伸缩率不变性,.,即经过,z,0,任何一条曲线伸缩率均为,|,f,(,z,0,)|,而,与其形状和方向无关,.,7/74,8,例,1,求,w=f(z,)=,z,3,在,z,=,i,z,=0,处 导数值,并说明几何意义。,解：,w=f(z)=z,3,在全平面解析，,f,(,z,),=3,z,2,。,在,z,=,i,处含有伸缩率不变和保角性。,伸缩率为,3,，旋转角为 。,y,a,O,x,O,u,v,(,z,),(,w,),3a,C,G,8/74,9,在,D,内作以,z,0,为其一个顶点小三角形,在映射下,得到一个以,w,0,为其一个顶点小曲边三角形,这两个三角形对应边长之比近似为,|,f,(,z,0,)|,有一个角相等,则这两个三角形近似相同,.,O,x,y,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,a,a,C,1,C,2,G,1,G,2,几何意义,:,9/74,10,O,x,y,O,u,v,(,z,),(,w,),z,0,w,0,a,a,C,1,C,2,G,1,G,2,10/74,11,2.保角映射和,共形映射概念,定义,设函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,邻域内,是,一一,在,z,0,含有保角性和伸缩率不变性,则称映射,w,=,f,(,z,),在,z,0,是,共形,或称,w,=,f,(,z,),在,z,0,是,共形映射,.,假如映射,w,=,f,(,z,),在,D,内每一点都是共形,就称,w,=,f,(,z,),是,区域,D,内共形映射,.,含有保角性和伸缩率不变性映射称为,保角映射，也称为第一类保角映射,；而含有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转,方向相反,映射称为,第二类保角映射,。,比如 是第二类保角映射。,11/74,12,定理,6.1,假如函数,w,=,f,(,z,),在,z,0,解析,且,f,(,z,0,),0,则映射,w,=,f,(,z,),在,z,0,是,第一类保角映射,而且,Arg,f,(,z,0,),表示这个映射在,z,0,转动角,|,f,(,z,0,)|,表示伸缩率,.,假如解析函数,w,=,f,(,z,),在,D,内,是一一,，且处处有,f,(,z,),0,则,w,=,f,(,z,),是,D,内共形映射,.,共形映射是把区域,双方单值,映射成区域，在每一点保角，在每一点含有,伸缩率不变性。,比如函数 在 是第一类保角；,在 是共形。,12/74,13,2,共形映射基本问题,问题,2,:,已知两个单连通域,D,与,G,找一个解析函数,f,(,z,),将,D,共形地映射为,G,.（,基本问题,）,意义,:,用适当,共形映射,把较复杂平面区域及边界映射为较简单平面区域及边界,.,问题,1,：已知区域,和定义在,上解析函数,，求象集 并讨论,f,(,z,),共形性。,13/74,14,D,G,问题,2更实用，也更难！,要处理问题,2，只要能把,D,共形映射为,单位圆内即可,.,14/74,15,定理,6.2,（,保域性,Th,）解析函数（不恒为常数）把区域映射为区域。,定理,6.3,（,边界对应原理,）设区域,D,边界为简单闭曲线,C,，上解析，且将,C,一一地映射为简单闭曲线,。,当,z,沿,C,正向绕行时，对应,w,绕行方向定为,正向。令,G,是以,为边界区域，则,将,D,共形,映射为,G,。,定理,6.3 在处理问题2时很有用,！,15/74,16,在原象曲线,C,上,取定三点,z,1,z,2,z,3,它们在象曲线,上对应点分别为,w,1,w,2,w,3,.,假如,C,依,z,1,z,2,z,3,绕向与,依,w,1,w,2,w,3,绕向相同,则,C,内部就映射成,内部,不然映射成,外部。,w,1,w,2,w,3,w,w,1,w,2,w,3,w,z,1,z,2,z,z,3,16/74,17,比如倒映射,(,反演映射,),17/74,18,定理,6.4,（黎曼,存在唯一性,定理,),对边界多于一点任意两个给定单连通域,D,和,G,，必存在解析函数,w,=,f,(,z,),把,D,共形,映射为,G。,深入，对,任意给定,实数,及点 若要求函数 满足,则映射是唯一。,18/74,19,3,分式线性映射,分式线性映射,c,=0:,（整式）线性映射,.,分式线性映射在复平面上（除去,z,=-,d,/,c,）是保形,.,19/74,20,两个分式线性映射复合,仍是一个分式线性映射,.,比如,20/74,21,分式线性映射分解,可将普通分式线性映射分解为一些简单映射复合,:,21/74,22,由此可见,一个普通形式分式线性映射是由以下三种特殊映射复合而成,:,下面讨论三种映射几何特点,为了方便,暂且将,w,平面看成是与,z,平面重合,.,22/74,23,i),平移映射,w,=,z,+,b,.,因为复数相加能够化为向量相加,z,沿向量,b,方向平移一段距离,|,b,|,后,就得到,w,.,O,(,z,),(,w,),z,w,b,23/74,24,ii),旋转与相同映射,w,=,az,a,0,.,设,a,=,l,e,i,a,(,l,0),它,先将,z,转一个角度,a,再将,|,z,|,伸长,(,或缩短,),l,倍后,就得到,w,.,O,(,z,)=(,w,),z,w=,l,e,i,a,z,a,e,i,a,z,24/74,25,圆周对称点,因为,D,OPT,相同于,D,OPT,.,所以,OP,:,OT,=,OT,:,OP,即,OP,OP,=,OT,2,=,r,2,.,尤其地,圆心与无穷大对称,。,C,P,P,r,T,O,P,与,P,关于圆周,C,互为对称点,假如,OP,OP,=,r,2,。,25/74,26,z,w,1,w,1,可见倒代换,(,反演映射,),含有两个,对称性,反演映射,26/74,27,1.,保形性,分式线性映射几何性质,27/74,28,而,i),与,ii),是平移、旋转和伸缩变换，显然是保形，所组成复合映射,w,=,az,+,b,在整个扩充复平面上是保形,而分式线性映射是上述三种映射复合而组成,所以有,定理,6.5,分式线性映射在扩充复平面上是,一一对应,且含有保角性,.(,即为,共形,),28/74,29,映射,w,=,az,+,b,和,w,=1/,z,都含有将圆周映射成圆周特征,（这里将直线看作是无穷大半径圆）这种性质称作保圆性,.,映射,w,=,az,+,b,显然含有保圆性,下面说明,w,=1/,z,含有保圆性,.,2.,保圆性,29/74,30,所以,映射,w,=1/,z,将圆周,a,(,x,2,+,y,2,)+,bx,+,cy,+,d,=0(,a,=0,为,直线,d,=0,过原点,),变为圆周,d,(,u,2,+,v,2,)+,bu,-,cv,+,a,=0(,d,=0,为,直线,a,=0,过原点,),。当,a,0,d,0,：,圆周映射为圆周,;,当,a,0,d,=0,：圆周映射成直线,;,当,a,=0,d,0,：直线映射成圆周；当,a,=0,d,=0,：直线映射成直线,.,这就是说,映射,w,=1/,z,把圆周映射成圆周,.,或者说,映射,w,=1/,z,含有保圆性,.,30/74,31,依据保圆性,在分式线性映射下,假如给定圆周或直线上没有点映射成无穷远点,则它就映射成半径为有限圆周,;,假如有一个点映射成无穷远点,它就映射成直线,.,定理,6.6,分式线性映射将扩充,z,平面上圆周映射成扩充,w,平面上圆周,即含有,保圆性,.,31/74,32,现讨论在,z,平面内,两个,圆包围区域映射情况,.,依据前面讨论可知,:(I),当二圆周上,没有点,映射成无穷远点时,这二圆周 弧所围成区域映射成二圆弧所围成区域,;(II),当二圆周上有,一个点,映射成无穷远点时,这二圆 周弧所围成区域映射成一圆弧与一直线所 围成区域,;(III),当二圆周,交点,中一个映射成无穷远点时,这 二圆周弧所围成区域映射成角形区域,.,32/74,33,x,1,-,i,i,-,1,C,1,C,2,y,(,z,),O,33/74,34,解,所设两个圆弧交点为,-,i,与,i,且相互正交,.,交点,-,i,映射成无穷远点,i,映射成原点,.,所以所给区域经映射后映射成以原点为顶点角形区域,张角等于,p,/2.,此点在第三象限分角线,C,1,上,.,由保角性知,C,2,映射为第二象限分角线,C,2,.,34/74,35,映射角形区如图所表示,x,1,-,i,i,-,1,C,1,C,2,y,(,z,),O,C,2,C,1,O,u,v,(,w,),35/74,36,z,1,z,2,是关于圆周,C,一对对称点充要条件是经过,z,1,z,2,任何圆周,C,都与,C,正交,.,C,R,z,0,z,1,z,2,z,C,3.,保对称点性,36/74,37,定理,6.7,设点,z,1,z,2,是关于圆周,C,一对对称点,则 在分式线性映射下,它们象点,w,1,与,w,2,也是关于,C,象曲线,G,一对对称点,.,证,设经过,w,1,与,w,2,任一圆周,G,是经过,z,1,与,z,2,圆周,C,由分式线性映射过来,.,因为,C,与,C,正交,而分式线性映射含有保角性,所以,G,与,G,也必正交,所以,w,1,与,w,2,是一对关于,G,对称点,.,例题求一分式线性映射,将单位圆内变为上半平面,（,其逆？,）,.,37/74,38,4.,唯一决定分式线性映射条件,分式线性映射,中含有四个常数,a,b,c,d,.,不过,假如用这四个数中一个去除分子和分母,就可将分式中四个常数化为三个常数,.,所以,上式中实际上只有,三个独立,常数,.,所以,只需给定,三个条件,就能决定一个分式线性映射,.,38/74,39,定理,6.8,在,z,平面上任意给定三个相异点,z,1,z,2,z,3,在,w,平面上也任意给定三个,相异点,w,1,w,2,w,3,则存在唯一分,式线性映射,将,z,k,(,k,=1,2,3),依次映射,成,w,k,(,k,=1,2,3).,此时，分式线性映射由下式确定（对应点公式）,39/74,40,由此得,40/74,41,推论,6.1若,z,k,或,w,k,中有，则公式中对应项换为,1（,取极限结果,）；,推论,6.2若只给出,两个点,z,k,或,w,k,(,k,=1,2),，则公式可表示为：,尤其，,w,1,=0,，,w,2,=,时，则有：,41/74,42,例,2,求将上半平面,Im(,z,)0,映射成单位圆,|,w,|0,映射成单位圆,|,w,|0,映射成单位圆,|,w,|0,映射成,|,w,|0,映射成单位圆,|,w,|1,且满 足,w,(2,i,)=0,arg,w,(2,i,)=0,分式线性映射,.,故有,从而得所求映射为,解：,由条件,w,(2,i,)=0,知,所求映射要将上半平面中点,z,=2,i,映射成单位圆周圆心,w,=0.,所以由,(6.3.3),得,49/74,50,例,5,求将单位圆,|,z,|1,映射成单位圆,|,w,|1,分式线 性映射,.,x,1,y,(,z,),O,O,u,v,(,w,),1,a,50/74,51,解,设,z,平面上单位圆,|,z,|1,内部一点,a,映射成,w,平 面上单位圆,|,w,|1,中心,w,=0.,这时与,51/74,52,因为,z,平面上单位圆周上点要映成,w,平面上单位圆周上点,所以当,|,z,|=1,|,w,|=1.,将圆周,|,z,|=1,上点,z,=1,代入上式,得,所以,|,k,|=1,即,k,=e,i,j,.,这里,j,是任意实数,.,所以,将单位圆,|,z,|1,映射成单位圆,|,w,|1,分式线性映射普通表示式是,52/74,53,反之,形如上式映射必将单位圆,|,z,|1,映射成单位圆,|,w,|1.,这是因为圆周,|,z,|=1,上点,z,=e,i,q,(,q,为实数,),映射成圆周,|,w,|=1,上点,:,同时单位圆,|,z,|1,内有一点,z,=,a,映射成,w,=0.,所以,(6.3.5),必将单位圆,|,z,|1,映射成单位圆,|,w,|0,分式线性映射,.,解,由条件,w,(1/2)=0,知,所求映射要将,z,=1/2,映射成,|,w,|0,映射成,|,w,-,2,i,|2,且满足条件,w,(2,i,)=2,i,arg,w,(2,i,),=-p,/2,分式线性映射,.,2,i,(,z,),O,(,z,),2,i,(,w,),z,=(,w,-,2,i,)/2,56/74,57,解,轻易看出,映射,z,=(,w,-,2,i,)/2,将,|,w,-,2,i,|2,映射成,|,z,|0,映射成,|,z,|1,且满足,z,(2,i,)=0,映射易知为,57/74,58,4,几个初等函数所组成保形映射,1.,幂函数,函数,(,n,2,为自然数,),在,z,平面内处处可导,且,因而当,z,0,时,除去原点外,所组成映射处处,保角,.,所以,在,z,平面内,令,(,圆周映为圆周,),(,射线映为射线,),映射特点,:,以原点为顶点,角形域,(,扇形域,),映射,成以原点为顶点,角形域,(,扇形域,),但张角变成了原来,n,倍,.,不是一一,(,限定区域可共形,),.,58/74,59,角形域,:,角形域,:,(,单值性要求,),O,(,z,),q,0,O,(,w,),n,q,0,w,=,z,n,尤其,(,沿正实轴剪开,W,平面,).,(,z,),O,(,w,),O,上岸,下岸,w,=,z,n,59/74,60,例,1,求把角形域 映射成单位圆,|,w,|1,一个映射,.,解,:,故所求映射为,:,上节例,2,60/74,61,(,z,),O,1,(,w,),=,z,4,O,(,),61/74,62,解,上节例,3,上节例,2,62/74,63,63/74,64,2.,指数函数,函数,在,z,平面内,所以,由,所组成映射是 上共形映射,.,=e,x,：,z,平面上,垂直线,x=x,0,映射成,w,平面上,圆周,r,=e,x,0,;,设,z,=,x,+,iy,w,=,r,e,i,j,则由,w,=,e,z,=e,x+iy,=,r,e,i,j,推出,j,=,y,：,z,平面上,水平直线,y=y,0,映射成,w,平面上,射线,j,=y,0,。,（,x,=0-,单位,圆周,x,0,-,单位,圆外,）,64/74,65,带形域,0Im(,z,),a,映射成角形域,0arg,w,a,.,ai,O,x,y,(,z,),arg,w=a,u,O,v,(,w,),w,=e,z,尤其是,带形域,0Im(,z,)2,映射成,沿正实轴剪开,w,平面,:,0arg,w,2,.,z,=ln,w,2,p,i,O,x,y,(,z,),O,u,v,(,w,),65/74,66,由指数函数,w,=e,z,所组成映射特点是,:,把水平带形域,0Im(,z,),a,(,a,2,),映射成角形域,0arg,w,a,.,例,3,求把带形域,0Im(,z,),p,映射成单位圆,|,w,|1,一个映射,.,66/74,67,例,4,求映射把如图所表示半带状域映成上半单位圆。,1,-1,1,-1,67/74,68,O,(,z,),a,b,(,w,),O,p,i,(,z,),O,w,=e,z,O,(,s,),b-a,例,5,求把带形域,a,Re(,z,)0,一个映射,.,O,(,t,),(,b-a,),i,68/74,69,例,6,求把含有割痕,Re(,z,)=,a,0,Im(,z,),h,上半 平面映射成上半平面一个映射,.,x,O,y,(,z,),C,(,a,+,ih,),B,D,a,O,u,v,(,w,),a,-,h,a,a,+,h,B,C,D,解,不难看出,处理本题关键显然是要设法将垂,直于,x,轴割痕两侧和,x,轴之间,夹角展平,.,因为,映射,w,=,z,2,能将,顶点在原点处角度增大到两倍,所以利用这个映射能够到达将割痕展平目标,.,69/74,70,x,O,y,(,z,),C,(,a,+,ih,),B,D,a,v,O,u,(,w,),a,-,h,a,a,+,h,B,C,D,O,(,z,1,),C,B,D,ih,-,h,2,C,O,B,D,(,z,2,),C,O,Bh,2,D,(,z,3,),O,(,z,4,),C,B,D,-,h,+,h,z,1,=,z,-,a,z,2,=z,1,2,z,3,=z,2,+h,2,w=z,4,+a,70/74,71,首先,把上半,z,平面向,左平移,一个距离,a,:,z,1,=,z,-,a,.,第二,由映射,z,2,=,z,1,2,得到含有割痕,-,h,2,Re(,z,2,)+,Im(,z,2,)=0,z,2,平面,.,第三,把,z,2,平面向右作一距离为,h,2,平移,:,z,3,=,z,2,+,h,2,便得到去掉了正实轴,z,3,平面,.,71/74,72,例,7,求把下列图中由圆弧,C,2,与,C,3,所围成交角为,a,月牙域映射成角形域,j,0,arg,w,j,0,+,a,一个映射,.,a,j,0,(,w,),O,1,C,1,C,2,a,(,z,),O,-,i,i,72/74,73,a,O,(,z,),a,j,0,(,w,),O,1,C,1,C,2,a,(,z,),O,-,i,i,1,73/74,74,解,令,C,1,C,2,交点,z=,i,与,z=,-,i,分别映射成,z,平面中,z,=0,与,z,=,将所给月牙域映射成,z,平面中角形域映射是含有以下形式分式线性函数,:,其中,k,为待定复常数,.,74/74,