资源描述
,12.3,几何概型,1/66,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/66,基础知识自主学习,3/66,1.,几何概型概念,设,D,是一个可度量区域,(,比如,、,、,等,),，每个基本事件能够视为从区域,D,内随机地取一点，区域,D,内每一点被取到机会,；随机事件,A,发生能够视为恰好取到区域,D,内,_,.,这时，事件,A,发生概率与,d,测度,(,、,、,等,),成正比，与,d,形状和位置无关,.,我们把满足这么条件概率模型称为几何概型,.,2.,几何概型概率计算公式,普通地，在几何区域,D,中随机地取一点，记事件,“,该点落在其内部一个区域,d,内,”,为事件,A,，则事件,A,发生概率,P,(,A,),.,知识梳理,线段,平面图形,立体图形,都一样,某个指定区域,d,中点,长度,面积,体积,4/66,3.,几何概型试验两个基本特点,(1),无限性：在一次试验中，可能出现结果有,；,(2),等可能性：每个结果发生含有,.,4.,随机模拟方法,(1),使用计算机或者其它方式进行模拟试验，方便经过这个试验求出随机事件概率近似值方法就是模拟方法,.,(2),用计算机或计算器模拟试验方法为随机模拟方法,.,这个方法基本步骤是,用计算器或计算机产生某个范围内随机数，并赋予每个随机数一定意义；,统计代表某意义随机数个数,M,和总随机数个数,N,；,计算频率,f,n,(,A,),作为所求概率近似值,.,无限多个,等可能性,5/66,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),在一个正方形区域内任取一点概率是零,.(,),(2),几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到机会相等,.(,),(3),在几何概型定义中区域能够是线段、平面图形、立体图形,.(,),(4),随机模拟方法是以事件发生频率预计概率,.(,),(5),与面积相关几何概型概率与几何图形形状相关,.(,),6/66,考点自测,坐标小于,1,区间为,0,1,，长度为,1,，,0,3,区间长度为,3,，故所求概率为,.,1.(,教材改编,),在线段,0,3,上任投一点，则此点坐标小于,1,概率为,_.,答案,解析,7/66,2.(,山东改编,),在区间,0,2,上随机地取一个数,x,，则事件,“,1,1,”,发生概率为,_.,答案,解析,由几何概型概率计算公式得所求概率,8/66,3.,如图，在边长为,1,正方形中随机撒,1 000,粒豆子，有,180,粒落到阴影部分，据此预计阴影部分面积为,_.,答案,解析,由题意知，这是个几何概型问题，,S,正,1,，,S,阴,0.18.,0.18,9/66,4.(,南通模拟,),一个边长为,cm,正方形薄木板正中央有一个直径为,2 cm,圆孔，一只小虫在木板一个面内随机地爬行，则小虫,答案,解析,恰在离四个顶点距离都大于,2 cm,区域内概率等于,_.,10/66,如图所表示，分别以正方形四个顶点为圆心，,2 cm,为半径作圆，,与正方形相交截得四个圆心角为直角扇形，,当小虫落在图中黑色区域时，它离四个顶点距离都大于,2 cm,，其中黑色区域面积为,S,1,S,正方形,4,S,扇形,S,小圆,(3 ),2,2,2,1,2,9,5,4,，,11/66,5.(,高考改编,),若将一个质点随机投入如图所表示长方形,ABCD,中，其中,AB,2,，,BC,1,，则质点落在以,AB,为直径半圆内概率是,_.,答案,解析,设质点落在以,AB,为直径半圆内为事件,A,，,12/66,题型分类深度剖析,13/66,题型一与长度、角度相关几何概型,例,1,(1)(,全国甲卷改编,),某路口人行横道信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯连续时间为,40,秒,.,若一名行人来到该路口碰到红灯，则最少需要等候,15,秒才出现绿灯概率为,_.,答案,解析,14/66,答案,解析,15/66,(3),如图所表示，在,ABC,中，,B,60,，,C,45,，高,AD,，在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,，求,BM,1,概率,.,解答,16/66,因为,B,60,，,C,45,，所以,BAC,75.,记事件,N,为,“,在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,，使,BM,1,”,，则可得,BAM,BAD,时事件,N,发生,.,17/66,引申探究,1.,本例,(2),中，若将,“,cos,x,值介于,0,到,”,改为,“,cos,x,值介于,0,到,”,，则概率怎样？,解答,18/66,2.,本例,(3),中，若将,“,在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,”,改为,“,在线段,BC,上找一点,M,”,，求,BM,1,概率,.,解答,19/66,求解与长度、角度相关几何概型方法,求与长度,(,角度,),相关几何概型概率方法是把题中所表示几何模型转化为长度,(,角度,),，然后求解,.,要尤其注意,“,长度型,”,与,“,角度型,”,不一样,.,解题关键是构建事件区域,(,长度或角度,).,思维升华,20/66,跟踪训练,1,(1)(,全国乙卷改编,),某企业班车在,7,：,00,，,8,：,00,，,8,：,30,发车，小明在,7,：,50,至,8,：,30,之间抵达发车站乘坐班车，且抵达发车,站时刻是随机，则他等车时间不超出,10,分钟概率是,_.,答案,解析,如图所表示，画出时间轴,.,小明抵达时间会随机落在图中线段,AB,中，而当他抵达时间落在线段,AC,或,DB,时，才能确保他等车时间不超出,10,分钟，依据几何概型得所求概率,P,.,21/66,(2),已知集合,A,x,|,1,x,5,，,B,，在集合,A,中任取一,答案,解析,故,A,B,x,|2,x,3.,由几何概型知，,个元素,x,，则事件,“,x,(,A,B,),”,概率是,_.,22/66,题型二与面积相关几何概型,命题点,1,与平面图形面积相关问题,例,2,(,全国甲卷改编,),从区间,0,1,随机抽取,2,n,个数,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,y,1,，,y,2,，,，,y,n,，组成,n,个数对,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),，,，,(,x,n,，,y,n,),，其中两数平方和小于,1,数对共有,m,个，则用随机模拟方法得到圆周,率,近似值为,_.,答案,解析,23/66,由题意得,(,x,i,，,y,i,)(,i,1,2,，,，,n,),在如图所表示方格中，,24/66,命题点,2,与线性规划知识交汇命题问题,例,3,(,徐州模拟,),由不等式组,确定平面区域记为,1,，不等式组,确定平面区域记为,2,，若在,1,中随机取一点，则该点恰好在,2,内概率为,_.,答案,解析,25/66,如图，平面区域,1,就是三角形区域,OAB,，平面区域,2,与平面区域,1,重合部分就是区域,OACD,，,26/66,求解与面积相关几何概型注意点,求解与面积相关几何概型时，关键是搞清某事件对应面积，必要时可依据题意结构两个变量，把变量看成点坐标，找到全部试验结果组成平面图形，方便求解,.,思维升华,27/66,跟踪训练,2,(1)(,泰州模拟,),设不等式组,所表示平面区域为,M,，,x,2,y,2,1,所表示平面区域为,N,，现随机向区域,M,内抛一粒豆子，则豆子落在区域,N,内概率为,_.,答案,解析,28/66,画出两不等式组表示平面区域，则图中阴影部分为两不等式组公共部分，,29/66,(2)(,福建,),如图，矩形,ABCD,中，点,A,在,x,轴上，点,B,坐标为,(1,0),，且点,C,与点,D,在函数,f,(,x,),图象上,.,若在矩形,ABCD,内随机取一点，则此点取自阴影部分概率等于,_.,答案,解析,30/66,由图形知,C,(1,2),，,D,(,2,2),，,31/66,题型三与体积相关几何概型,例,4,(1),一只蜜蜂在一个棱长为,3,正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中一直保持与正方体,6,个表面距离均大于,1,，则称其为,“,安全飞行,”,，,由题意知小蜜蜂安全飞行范围为以这个正方体中心为中心，且棱长为,1,小正方体内,.,这个小正方体体积为,1,，大正方体体积为,27,，故安全飞行概率为,P,.,答案,解析,则蜜蜂,“,安全飞行,”,概率为,_.,32/66,(2),已知正三棱锥,S,ABC,底面边长为,4,，高为,3,，在正三棱锥内任取一点,P,，使得,V,P,ABC,V,S,ABC,概率是,_.,当,P,在三棱锥三条侧棱中点所在平面及下底面组成正三棱台内时符合要求，由几何概型知，,.,答案,解析,33/66,求解与体积相关几何概型注意点,对于与体积相关几何概型问题，关键是计算问题总体积,(,总空间,),以及事件体积,(,事件空间,),，对于一些较复杂问题也可利用其对立事件去求,.,思维升华,34/66,跟踪训练,3,在体积为,V,三棱锥,S,ABC,棱,AB,上任取一点,P,，则三棱锥,S,APC,体积大于,概率是,_.,答案,解析,如图，三棱锥,S,ABC,与三棱锥,S,APC,高相同，要使三棱锥,S,APC,体积大于,，,只需,APC,面积大于,ABC,面积,.,假设点,P,是线段,AB,靠近点,A,三等分点，,记事件,M,为,“,三棱锥,S,APC,体积大于,”,，,则事件,M,发生区域是线段,P,B,.,35/66,典例,(1),在等腰,Rt,ABC,中，,C,90,，在直角边,BC,上任取一点,M,，则,CAM,30,概率是,_.,(2),在长为,1,线段上任取两点，则这两点之间距离小于,概率为,_.,几何概型中“测度”,现场纠错系列,14,错解展示,现场纠错,纠错心得,(1),在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内分布等可能,.,(2),两个变量在某个范围内取值，对应,“,测度,”,是面积,.,36/66,解析,(1),C,90,，,CAM,30,，,返回,37/66,(2),设任取两点所表示数分别为,x,，,y,，,则,0,x,1,，且,0,y,1.,返回,38/66,课时作业,39/66,1.(,南通模拟,),在面积为,1,正方形,ABCD,内部随机取一点,P,，则,PAB,面积大于等于,概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,40/66,2.,已知,P,是,ABC,所在平面内一点，,0,，现将一粒黄豆随机撒在,ABC,内，则黄豆落在,PBC,内概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,41/66,以,PB,、,PC,为邻边作平行四边形,PBDC,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,42/66,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,43/66,3.,已知一只蚂蚁在边长分别为,5,12,13,三角形边上随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于,1,地方概率为,_.,答案,解析,由题意可知，三角形三条边长和为,5,12,13,30,，,而蚂蚁要在离三个顶点距离都大于,1,地方爬行，,则它爬行区域长度为,3,10,11,24,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,44/66,4.(,南京质检,),在区间,1,4,内取一个数,x,，则,概率是,_.,答案,解析,则,1,x,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,45/66,5.,已知,ABC,中，,ABC,60,，,AB,2,，,BC,6,，在,BC,上任取一点,D,，则使,ABD,为钝角三角形概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,46/66,如图，当,BE,1,时，,AEB,为直角，,则点,D,在线段,BE,(,不包含,B,、,E,点,),上时，,ABD,为钝角三角形；,当,BF,4,时，,BAF,为直角，则点,D,在线段,CF,(,不包含,C,、,F,点,),上时，,ABD,为钝角三角形，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,47/66,6.(,常州模拟,),在区间,，,内随机取两个数分别记为,a,，,b,，则使得函数,f,(,x,),x,2,2,ax,b,2,有零点概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,48/66,建立如图所表示平面直角坐标系，则试验全部结果组成区域为矩形,ABCD,及其内部,.,要使函数,f,(,x,),x,2,2,ax,b,2,有零点，,则必须有,4,a,2,4,b,2,4,0,，即,a,2,b,2,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,49/66,7.,有一个底面圆半径为,1,、高为,2,圆柱，点,O,为这个圆柱底面圆圆心，在这个圆柱内随机取一点,P,，则点,P,到点,O,距离大于,1,概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,50/66,8.,在区间,1,5,和,2,4,上分别各取一个数，记为,m,和,n,，则方程,1,表示焦点在,x,轴上椭圆概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,51/66,如图，由题意知，在矩形,ABCD,内任取一点,Q,(,m,，,n,),，点,Q,落在阴影部分概率即为所求概率，易知直线,m,n,恰好将矩形平分，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,52/66,9.,随机地向半圆,0,y,(,a,为正常数,),内掷一点，点落在圆内任何区域概率与区域面积成正比，则原点与该点连线与,x,轴夹角小于,概率为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,53/66,半圆区域如图所表示,.,设,A,表示事件,“,原点与该点连线与,x,轴夹角小于,”,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,54/66,10.,随机向边长为,5,5,6,三角形中投一点,P,，则点,P,到三个顶点距离都大于,1,概率是,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,55/66,由题意作图，如图，,三个小扇形可合并成一个半圆，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,56/66,11.,已知向量,a,(,2,1),，,b,(,x,，,y,).,(1),若,x,，,y,分别表示将一枚质地均匀正方体骰子,(,六个面点数分别为,1,2,3,4,5,6),先后抛掷两次时第一次，第二次出现点数，求满足,a,b,1,概率；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,57/66,将一枚质地均匀正方体骰子先后抛掷两次，所包含基本事件总数为,6,6,36,，,由,a,b,1,得,2,x,y,1,，,所以满足,a,b,1,基本事件为,(1,1),，,(2,3),，,(3,5),，共,3,个，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,58/66,(2),若,x,，,y,在连续区间,1,6,上取值，求满足,a,b,0,概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,59/66,若,x,，,y,在连续区间,1,6,上取值，则全部基本事件结果为,(,x,，,y,)|1,x,6,1,y,6,，,满足,a,b,0,基本事件结果为,A,(,x,，,y,)|1,x,6,1,y,6,且,2,x,y,0.,画出图形如图，,矩形面积为,S,矩形,25,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,60/66,12.,已知关于,x,二次函数,f,(,x,),ax,2,4,bx,1.,设点,(,a,，,b,),是区域,内一点，求函数,y,f,(,x,),在区间,1,，,),上是增函数概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,61/66,要使,f,(,x,),ax,2,4,bx,1,在区间,1,，,),上为增函数，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,62/66,所求概率区间应满足,2,b,a,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,63/66,*13.,甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船码头，它们在一昼夜内抵达该码头时刻是等可能,.,假如甲船停泊时间为,1 h,，乙船停泊时间为,2 h,，求它们中任意一艘都不需要等候码头空出概率,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,64/66,设甲、乙两艘船抵达码头时刻分别为,x,与,y,，记事件,A,为,“,两船都不需要等候码头空出,”,，则,0,x,24,0,y,24,，要使两船都不需要等候码头空出，当且仅当甲比乙早抵达,1 h,以上或乙比甲早抵达,2 h,以上，即,y,x,1,或,x,y,2.,故所求事件组成集合,A,(,x,，,y,)|,y,x,1,或,x,y,2,，,x,0,24,，,y,0,24.,A,为图中阴影部分，全部结果组成集合,为边长是,24,正方形及其内部,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,65/66,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,66/66,
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