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,第2课时,函数最大值、最小值,1/69,2/69,主题1函数最大值,观察以下两个函数图象,回答相关问题:,3/69,1.比较两个函数图象,它们是否都有最高点?,提醒:,图中函数y=f(x)=-x,2,图象上有一个最高点;,图中函数y=f(x)=-x图象上没有最高点.,4/69,2.经过观察图你能发觉什么?,提醒,:,对任意,x,R,都有,f(x),f(0).,5/69,结论:最大值定义,普通地,设函数y=f(x),定义域为I,假如存在实数M满,足:,(1)对任意xI,都有_.,(2)存在x,0,I,使得_.那么,称M是函数,y=f(x),最大值.,f(x)M,f(x,0,)=M,6/69,【微思索】,1.在最大值定义中,实数M应满足什么条件?,提醒,:,M,是一个函数值,即存在一个元素,x,0,I,使,M=f(x,0,).,2.函数f(x)最大值几何意义是什么?,提醒,:,函数最大值几何意义是对应图象最高点纵坐标,.,7/69,主题2函数最小值,观察以下两个函数图象,回答相关问题.,8/69,1.比较两个函数图象,它们是否都有最低点?,提醒,:,图,中函数y=f(x)=x,2,图象有一个最低点.,图中函数y=f(x)=x图象没有最低点.,2.经过观察图你能发觉什么?,提醒,:,对任意,x,R,都有,f(x),f(0).,9/69,结论:最小值定义,普通地,设函数y=f(x)定义域为I,假如存在实数M满,足:,(1)对任意,xI,都有_;,(2)存在x,0,I,使得_.,那么,称M是函数y=f(x)最小值.,f(x)M,f(x,0,)=M,10/69,【微思索】,1.函数f(x)对于定义域内任意元素都有f(x)M,则M是否是函数最小值?,提醒,:,不一定,若存在,f(x,0,)=M,则是,不然不是,.,11/69,2.若函数f(x)在区间a,b上是单调递增,则函数f(x)最大值是_;最小值是_.,提醒,:,f(b),f(a),12/69,【预习自测】,1.函数y=2x+1在1,2上最大值是(),A.3B.4C.5D.1,【解析】,选,C.,因为,y=2x+1,为增函数,所以,y=2x+1,在,1,2,上递增,所以,y,max,=2,2+1=5.,13/69,2.函数f(x)=x,2,-4x+3,x1,4最小值为(),A.-1 B.0 C.3 D.-2,【解析】,选,A.,因为,f(x),在,1,2,上是减函数,在,2,4,上是增函数,所以,f(x),最小值为,f(2)=-1.,14/69,3.函数f(x)=则f(x)最大值是_,最小值是_.,【解析】,当1x2时,82x+610,当-1x1时,6x+70)在区间1,3上最大值为4,则a=_.,【解析】,因为,a0,所以函数,f(x)=ax+1,在区间,1,3,上是增函数,所以,f(x),max,=f(3)=3a+1=4,所以,a=1.,答案,:,1,18/69,6.求函数f(x)=x+在1,2上最大值、最小值.(仿照教材P31例4解析过程),19/69,【解析】,设1x,1,x,2,2,则f(x,1,)-f(x,2,)=,因为1x,1,x,2,2,所以x,1,-x,2,0,1x,1,x,2,4,所以x,1,x,2,-40,所以f(x,1,)-f(x,2,)0,即f(x,1,)f(x,2,),所以f(x)在1,2上是减函数,从而函数最大值是f(1)=1+4=5,最小值是f(2)=2+2=4.,20/69,类型一利用单调性求函数最值,【典例1】,已知函数f(x)=,x3,5.,(1)判断函数f(x)单调性,并证实.,(2)求函数f(x)最大值和最小值.,21/69,【解题指南】,(1)利用定义判断f(x)单调性.,(2)依据f(x)单调性,求最大、最小值.,22/69,【解析】,(1)f(x)在3,5上是增函数,证实以下:,任取x,1,x,2,3,5且x,1,x,2,f(x,1,)-f(x,2,)=,因为3x,1,x,2,5,所以x,1,-x,2,0,所以f(x,1,)-f(x,2,)0,即f(x,1,)f(x,2,),23/69,所以f(x)在3,5上为增函数.,(2)由(1)知,f(x)在3,5上为增函数,则f(x),min,=f(3)=,f(x),max,=f(5)=.,24/69,【方法总结】,求函数最值三种方法,(1)观察法:对于简单初等函数,如一次函数、二次函数、反百分比函数,能够依据定义域求出值域,观察得出.,(2)图象法:对于图象较轻易画出函数最值问题,可借助于图象直观求出.,25/69,(3)单调性法:对于较复杂函数,可利用单调性判断方法,判断出函数单调性,然后求最值.,提醒:利用单调性求最值时,一定要先确定函数定义域.,26/69,【巩固训练】,(济宁高一检测)求函数y=,(-4x-2)最大值和最小值.,【解题指南】,先判断函数在-4,-2上单调性,再求函数最大、最小值.,27/69,【解析】,设-4x,1,x,2,-2，因为f(x,1,)-f(x,2,)=,因为x,1,+10，x,2,+10，x,1,-x,2,0，所以 0，所,以f(x,1,)f(x,2,)，所以f(x)=在-4，-2上单调递增.,所以y,max,=f(-2)=2，y,min,=f(-4)=.,28/69,【赔偿训练】,1.函数 最大值是,(),A.1 B.2 C.3 D.4,29/69,【解析】,选D.当x0时,2x+33;当01时,-x+54.综上可知,当x=1时,y有最大值4.,30/69,2.已知函数f(x)=x+.,(1)证实:f(x)在(1,+)内是增函数.,(2)求f(x)在2,4上最值.,31/69,【解析】,(1)任取x,1,，x,2,(1，+)，而且x,1,x,1,1，所以x,1,-x,2,1，所以x,1,x,2,-10，,故(x,1,-x,2,),0，即f(x,1,)f(3),所以f(x),max,=f(-2)=11.,36/69,(2)当t1时,f(x)在t,t+1上递增,所以g(t)=f(t)=t,2,-2t+3,当t1t+1,即0t1时,g(t)=f(1)=2.,当t+11,即t1时,由t,2,-2t+3=3,解得t=2或t=0(舍去),当0t1时,g(t)=23,无解.,当t1时,f(x)在t,t+1上递增,所以h(t)=f(t+1)=t,2,+2,当0tf(t+1),所以h(t)=t,2,-2t+3,40/69,当 t1时,f(t)f(t+1),所以h(t)=t,2,+2,当t0)在区间,m,n上最值类型,(1)若对称轴x=-在区间m,n内,则最小值为,f(-)，最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点,m,n中与x=-距离较远一个对应函数值为最大值),42/69,(2)若-n,则f(x)在m,n上是减函数,最大值为f(m),最小值为f(n).,43/69,【赔偿训练】,1.若函数f(x)满足f(x+1)=x(x+3),xR,则f(x)最小值为_.,【解题指南】,先求f(x)解析式,再利用配方法求f(x)最小值.,44/69,【解析】,由f(x+1)=x(x+3)=(x+1),2,+(x+1)-2,得f(x)=x,2,+x-2=所以f(x)最小值是-.,答案:,-,45/69,2.(银川高一检测)已知二次函数f(x)=-x,2,+2ax+1-a,x0,1,a为常数,求f(x)最大值g(a)解析式.,46/69,【解题指南】,依据二次函数f(x)=-x,2,+2ax+1-a对称轴与区间0,1关系,讨论单调性求解.,【解析】,函数f(x)=-x,2,+2ax+1-a对称轴为x=a,当a1时,f(x)在0,1上递增,所以f(x),max,=f(1)=a.,所以g(a)=,48/69,类型三函数最值应用,【典例3】,(菏泽高一检测)已知A,B两城相距100km,在两城之间距A城xkm处D地建一核电站给A,B两城供电,为确保城市安全,核电站距两城距离不得小于10km.已知供电费用与供电距离平方和供电量之积成正比,百分比系数=0.3.若A城供电量为20亿度/月,B城为10亿度/月.,49/69,(1)把月供电总费用y表示成x函数,并求定义域.,(2)核电站建在距A城多远,才能使供电总费用最小?,50/69,【解题指南】,(1)A城供电费用y,1,=0.320 x,2,B城供电费用y,2,=0.310(100-x),2,从而得出总费用,由x10且100-x10可得x范围.,(2)由二次函数性质求最小值.,51/69,【解析】,(1)A城供电费用为y,1,=0.320 x,2,=6x,2,B城供电费用y,2,=0.310(100-x),2,=3(100-x),2,所以总费用为:y=y,1,+y,2,=6x,2,+3(100-x),2,=9x,2,-600 x+30000.,又 得10 x90,故x取值范围是x|10 x90.,52/69,(2)y=9x,2,-600 x+30000=,所以当x=时,y取得最小值.,答:当核电站建在距A城 km时,才能使供电总费用最小.,53/69,【方法总结】,解实际应用问题五个步骤,(1)审:审清题意,读懂题,找出各量之间关系.,(2)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰当设出未知数.,(3)列:依据已知条件列出正确数量关系.,(4)解:转化为求函数最值或解方程或解不等式.,(5)答:回归实际,明确答案,得出结论.,54/69,【巩固训练】,某企业生产一个电子仪器固定成本为,0元,每生产一台仪器需要增加投入100元,已知总,收益满足函数:R(x)=其中x是仪,器月产量.,55/69,(1)将利润表示为月产量函数f(x).,(2)当月产量为何值时,企业所赢利润最大?最大利润为多少元(总收益=总成本+利润)?,56/69,【解析】,(1)因为月产量为x台,则总成本为0+100 x,从而f(x)=,57/69,(2)当0 x400时,f(x)=-(x-300),2,+25000,所以当x=300时,f(x)有最大值25000;,当x400时,f(x)=60000-100 x是减函数,f(x)60000-100400=025000.,所以每个月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元.,58/69,【赔偿训练】,(黄冈高一检测)某服装厂生产一,种服装,每件服装成本为40元,出厂单价为60元,该厂为勉励销售商订购,决定当一次订购量超出100件时,每多订购一件,订购全部服装出厂单价就降低0.02元,依据市场调查,销售商一次订购量不会超出500件.,59/69,(1)设一次订购量为x件,服装实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)表示式.,(2)当销售商一次订购多少件服装时,该服装厂取得利润最大?并求出最大值.,60/69,【解析】,(1)当0 x100,xN时,P=60.,当100 x500,xN时,P=60-0.02(x-100)=62-.,所以P=,61/69,(2)设销售商一次订购量为x件,工厂取得利润为y元,则有y=(P-40)x=,当0 x100且xN时,易知x=100时,y取得最大值,为;,当100 x500且xN时,y=22x (x-550),2,+6050,62/69,此函数在100,所以当销售商一次订购500件服装时,该服装厂取得利润最大,为6000元.,63/69,拓展类型:与最值相关恒成立问题,【典例】,当x(1,2)时,不等式x,2,+mx+40恒成立,求m取值范围.,【解题指南】,分离出m,转化为求函数最值,进而求得m范围.,64/69,【解析】,当x(1，2)时，不等式x,2,+mx+40可化为m-5，故m-5.,65/69,【方法总结】,恒成立问题两种求解方法,方法一:结构常见函数模型,将参数分离,然后依据函数性质,转化为函数最大、最小值问题求解.,方法二:当函数解析式较简单时,能够画出函数图象,结合图象求最值.,66/69,【课堂小结】,1.知识总结,67/69,2.方法总结,求函数最值方法适用函数,(1)观察法.适合用于简单函数,如一次函数等.,(2)图象法.对已知图象函数用此方法.,(3)配方法.对二次(或二次型)函数适用.,(4)单调性法.可判断在闭区间上单调函数适用.,68/69,注意事项,(1)最值M一定是一个函数值,是值域中一个元素.,(2)在利用单调性求最值时,勿忘求函数定义域.,69/69,
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