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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2.3空间的角的计算,1/48,空间向量引入为代数方法处理立体几何问题提供了一个主要工具和方法，解题时，可用定量计算代替定性分析，从而防止了一些繁琐推理论证。求空间角与距离是立体几何一类主要问题，也是高考热点之一。我们主要研究怎么样用向量方法处理空间角问题。,2/48,空间角：,空间角常见有：,线线角、线面角、面面角。,空间两条异面直线所成角可转化为两条相交直线所成锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求 范围内 角；,斜线与平面所成角是指斜线与它在面内射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角范围也是 ；,两个平面所成角是用二面角平面角来度量。它范围是 。,总之，空间角最终都能够转化为两相交直线所成角。所以我们能够考虑经过两个向量夹角去求这些空间角。,3/48,异面直线所成角范围：,思索：,结论：,一、线线角：,4/48,所以 与 所成角余弦值为,解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标,系 ,如图所表示，设 则：,所以：,例一：,5/48,练习：,在长方体,中，,简解：,6/48,直线与平面所成角范围：,思索：,结论：,二、线面角：,7/48,例二：,在长方体 中，,简解：,所以,8/48,练习：,棱长为,1,.,正方体,x,y,z,设正方体棱长为1，,9/48,l,将二面角转化为二面角两个面方向向量（在二面角面内且垂直于二面角棱）夹角。,如图，设二面角 大小为 ，其中,D,C,B,A,三、面面角：,方向向量法：,二面角范围,：,10/48,例三：,如图3，甲站在水库底面上点A处，乙站在水坝斜面上点B处。从A，B到直线,（库底与水坝交线）距离AC和BD分别为,和 ,CD长为,AB长为。求库底与水坝所成二面角余弦值。,解：,如图，,化为向量问题,依据向量加法法则有,于是，得,设向量 与 夹角为 ，就是库底与水坝所成二面角。,所以,A,B,C,D,所以,所以库底与水坝所成二面角余弦值为,11/48,l,l,三、面面角：,二面角范围,：,法向量法,注意,法向量方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角补角,12/48,设平面,方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”情况，二面角等于法向量夹角,13/48,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,14/48,l,D,C,B,A,3.二面角：,l,l,一进一出，二面角等于法向量夹角；,同进同出，二面角等于法向量夹角补角。,15/48,2、假如平面一条斜线与它在这个平面上射影方向向量分别是=（1，0，1），=（0，1，1），那么这条斜线与平面所成角是_.,3、已知两平面法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)，则两平面所成钝二面角为_.,练习:,1、已知 =(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC一个法向量是_.,60,0,135,0,16/48,4.三棱锥P-,ABC PAABC,PA=AB=AC,E为PC中点,则PA与BE所成角余弦值为_,.,5.,直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,A,1,A=2,AB=AC=1,则AC,1,与截面BB,1,CC,1,所成,角余弦值为_.,6.正方体,中,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中E为A,1,D,1,中点,则二面角E-BC-A大小是_,17/48,7.正三棱柱 中，D是AC中点，当,时，求二面角 余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,8.已知正方体 边长为2，,O,为,AC,和,BD,交点，,M,为 中点,（1）求证：直线 面,MAC;,（2）求二面角 余弦值.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,18/48,解法一：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形边长为a，侧棱长为b,则 C(0,0,0),故,则可设 =1，则B(0,1,0),y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,作 于E,于F，,则 即为二面角 大小,在 中，,即E分有向线段 比为,19/48,因为 且 ，所以,在 中，同理可求,cos =,即二面角 余弦值为,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,20/48,解法二,：同法一，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz,在坐标平面yoz中,设面 一个法向量为,同法一，可求 B(0,1,0),可取 (1,0,0)为面 法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 大小等于 ,cos =,即二面角 余弦值为,方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”情况，二面角等于法向量夹角,21/48,8.证实：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,8.已知正方体 边长为2，,O,为,AC,和,BD,交点，,M,为 中点,（1）求证：直线 面,MAC;,（2）求二面角 余弦值.,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,22/48,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,x,y,z,23/48,习题课,24/48,例1 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC,E是PC中点，作EFPB交PB于点F.,(1)求证：PA/平面EDB,(2)求证：PB,平面EFD,(3)求二面角C-PB-D大小。,A,B,C,D,P,E,F,25/48,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,G,解：如图所表示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证实：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,26/48,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,G,(2)求证：PB,平面EFD,27/48,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,(3)求二面角C-PB-D大小。,28/48,A,B,C,D,P,E,F,X,Y,Z,29/48,30/48,例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC 底面ABCD。已知 AB=2，BC=，SA=SB=.,(1)求证,(2)求直线SD与平面SAB所成角正弦值。,S,A,B,C,D,O,x,y,z,31/48,S,A,B,D,O,C,证实：(1)取,BC,中点,O,，连接,OA、OS,。,32/48,(2)求直线SD与平面SAB所成角正弦值。,S,A,B,C,O,x,y,z,D,所以直线SD与平面SAB所成角正弦值为,33/48,例3,如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，PA=AB=1,AD=，在线段BC上是否存在一点E,使PA与平面PDE所成角大小为45,0,?若存在，确定点E位置；若不存在说明理由。,D,B,A,C,E,P,x,z,y,34/48,解：以A为原点，,AD、AB、AP,所在直线分别为X轴、Y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，,设BE=m，则,35/48,例4、(，天津)如图所表示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC中点。,(1)证实：PA/平面EDB；,(2)求EB与底面ABCD所成角正切值。,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,36/48,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,(1)证实：设正方形边长为1，则,PD=DC=DA=,1.连,AC,、,BD,交于,G,点,37/48,(2)求EB与底面ABCD所成角正切值。,A,B,C,D,P,E,G,x,y,z,所以,EB,与底面,ABCD,所成角正弦值为,所以,EB,与底面,ABCD,所成角正切值为,38/48,方向朝面内，方向朝面外，属于“一进一出”情况，二面角等于法向量夹角,39/48,1、如图，已知：直角梯形OABC中，,OABC,AOC=90，SO面OABC，,且OS=OC=BC=1，OA=2。,求：(1)异面直线SA和OB所成角余弦值,(2)OS与面SAB所成角余弦值,(3)二面角BASO余弦值,O,A,B,C,S,x,y,z,【练习】,40/48,O,A,B,C,S,x,y,z,1、如图，已知：直角梯形OABC中，,OABC,AOC=90，SO面OABC，,且OS=OC=BC=1，OA=2。,求：(1)异面直线SA和OB所成,角余弦值,41/48,O,A,B,C,S,x,y,z,1、如图，已知：直角梯形OABC中，,OABC,AOC=90，SO面OABC，,且OS=OC=BC=1，OA=2。,求：(2)OS与面SAB所成角余弦值,所以OS与面SAB所成角余弦值为,42/48,O,A,B,C,S,x,y,z,所以二面角BASO余弦值为,1、如图，已知：直角梯形OABC中，,OABC,AOC=90，SO面OABC，,且OS=OC=BC=1，OA=2。,求：(3)二面角BASO余弦值,43/48,2、在如图试验装置中，正方形框架边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF相互垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN长度保持相等，记CM=BN=,（1）求MN长；,（2）a 为何值时？MN长最小？,（3）当MN长最小时，,求面MNA与面MNB所成,二面角余弦值。,A,B,C,D,E,F,M,N,44/48,A,B,C,D,M,N,E,45/48,46/48,3,、如图，在棱长为 正方体 中，,分别是棱AB,BC上动点，且 。,（1）求证：；,（2）当三棱锥 体积取最大值时，求二面角,正切值。,O,C,B,A,O,A,B,C,E,F,47/48,O,C,B,A,O,A,B,C,E,F,图6,48/48,
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