高考数学复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题理市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课件.pptx

,第,3,讲数列综合问题,专题四数列、推理与证实,1/49,热点分类突破,真题押题精练,2/49,热点分类突破,3/49,热点一利用,S,n,，,a,n,关系式求,a,n,1.,数列,a,n,中，,a,n,与,S,n,关系,2.,求数列通项惯用方法,(1),公式法：利用等差,(,比,),数列求通项公式,.,(2),在已知数列,a,n,中，满足,a,n,1,a,n,f,(,n,),，且,f,(1),f,(2),f,(,n,),可求，则可用累加法求数列通项,a,n,.,(3),在已知数列,a,n,中，满足,f,(,n,),，且,f,(1),f,(2),f,(,n,),可求，则可用,累乘法求数列通项,a,n,.,(4),将递推关系进行变换，转化为常见数列,(,等差、等比数列,).,4/49,例,1,已知等差数列,a,n,中，,a,2,2,，,a,3,a,5,8,，数列,b,n,中，,b,1,2,，其前,n,项和,S,n,满足：,b,n,1,S,n,2(,n,N,*,).,(1),求数列,a,n,，,b,n,通项公式；,解答,5/49,解,a,2,2,，,a,3,a,5,8,，,2,d,2,3,d,8,，,d,1,，,a,n,n,.,b,n,1,S,n,2(,n,N,*,),，,b,n,S,n,1,2(,n,N,*,，,n,2).,由,，得,b,n,1,b,n,S,n,S,n,1,b,n,(,n,N,*,，,n,2),，,b,n,1,2,b,n,(,n,N,*,，,n,2).,b,1,2,，,b,2,2,b,1,，,b,n,为首项为,2,，公比为,2,等比数列，,b,n,2,n,.,6/49,解答,思维升华,给出,S,n,与,a,n,递推关系，求,a,n,，惯用思绪：一是利用,S,n,S,n,1,a,n,(,n,2),转化为,a,n,递推关系，再求其通项公式；二是转化为,S,n,递推关系，先求出,S,n,与,n,之间关系，再求,a,n,.,思维升华,7/49,两式相减，得,8/49,证实,跟踪演练,1,(,天津市红桥区重点中学八校联考,),已知数列,a,n,前,n,项和为,S,n,，且满足,S,n,n,2(,a,n,2)(,n,N,*,).,(1),证实：数列,a,n,1,为等比数列；,9/49,证实,S,n,n,2(,a,n,2),，,当,n,2,时，,S,n,1,(,n,1),2(,a,n,1,2),，,两式相减，得,a,n,1,2,a,n,2,a,n,1,，,a,n,2,a,n,1,1,，,a,n,1,2(,a,n,1,1),，,又当,n,1,时，,a,1,1,2(,a,1,2),，,得,a,1,3,，,a,1,1,2,，,数列,a,n,1,是以,2,为首项，,2,为公比等比数列,.,10/49,(2),若,b,n,a,n,log,2,(,a,n,1),，数列,b,n,前,n,项和为,T,n,，求,T,n,.,解答,11/49,解,由,(1),知，,a,n,1,2,2,n,1,2,n,，,a,n,2,n,1,，,又,b,n,a,n,log,2,(,a,n,1),，,b,n,n,(2,n,1),，,T,n,b,1,b,2,b,3,b,n,(1,2,2,2,2,3,2,3,n,2,n,),(1,2,3,n,),，,设,A,n,1,2,2,2,2,3,2,3,(,n,1),2,n,1,n,2,n,，,则,2,A,n,1,2,2,2,2,3,(,n,1),2,n,n,2,n,1,，,两式相减，得,A,n,2,2,2,2,3,2,n,n,2,n,1,12/49,A,n,(,n,1),2,n,1,2.,13/49,热点二数列与函数、不等式综合问题,数列与函数综合问题普通是利用函数作为背景，给出数列所满足条件，通常利用点在曲线上给出,S,n,表示式，还有以曲线上切点为背景问题，处理这类问题关键在于利用数列与函数对应关系，将条件进行准确转化,.,数列与不等式综合问题普通以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题,.,14/49,例,2,设,f,n,(,x,),x,x,2,x,n,1,，,x,0,，,n,N,，,n,2.,(1),求,f,n,(2),；,解答,15/49,解,方法一,由题设,f,n,(,x,),1,2,x,nx,n,1,，,所以,f,n,(2),1,2,2,(,n,1)2,n,2,n,2,n,1,，,则,2,f,n,(2),2,2,2,2,(,n,1)2,n,1,n,2,n,，,由,得，,f,n,(2),1,2,2,2,2,n,1,n,2,n,所以,f,n,(2),(,n,1)2,n,1.,16/49,(,n,1)2,n,1.,17/49,证实,思维升华,处理数列与函数、不等式综合问题要注意以下几点,(1),数列是一类特殊函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要尤其重视,.,(2),解题时准确结构函数，利用函数性质时注意限制条件,.,(3),不等关系证实中进行适当放缩,.,思维升华,18/49,证实,因为,f,n,(0),1,0,，,又,f,n,(,x,),1,2,x,nx,n,1,0,，,19/49,20/49,证实,跟踪演练,2,(,届浙江省宁波市期末,),已知数列,a,n,满足,a,1,2,，,a,n,1,2(,S,n,n,1)(,n,N,*,),，令,b,n,a,n,1.,(1),求证：,b,n,是等比数列；,证实,a,1,2,，,a,2,2(2,2),8,，,a,n,1,2(,S,n,n,1)(,n,N,*,),a,n,2(,S,n,1,n,)(,n,2),，,两式相减，得,a,n,1,3,a,n,2(,n,2).,经检验，当,n,1,时上式也成立，,即,a,n,1,3,a,n,2(,n,1).,所以,a,n,1,1,3(,a,n,1),，即,b,n,1,3,b,n,，且,b,1,3.,故,b,n,是等比数列,.,21/49,(2),记数列,nb,n,前,n,项和为,T,n,，求,T,n,；,解答,解,由,(1),得,b,n,3,n,.,T,n,1,3,2,3,2,3,3,3,n,3,n,，,3,T,n,1,3,2,2,3,3,3,3,4,n,3,n,1,，,两式相减，得,2,T,n,3,3,2,3,3,3,n,n,3,n,1,22/49,证实,23/49,24/49,25/49,热点三数列实际应用,用数列知识解相关实际问题，关键是合理建立数学模型,数列模型，搞清所结构数列是等差模型还是等比模型，它首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题,.,求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题结果,.,26/49,例,3,自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在,11,个省区设置了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户能够享受,“,绿色通道,”,申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座,120,万元蔬菜加工厂,M,，,M,价值在使用过程中逐年降低，从第二年到第六年，每年年初,M,价值比上年年初降低,10,万元，从第七年开始，每年年初,M,价值为上年年初,75%.,(1),求第,n,年年初,M,价值,a,n,表示式；,解答,27/49,解,当,n,6,时，数列,a,n,是首项为,120,，公差为,10,等差数列，故,a,n,120,10(,n,1),130,10,n,，,当,n,7,时，数列,a,n,从,a,6,开始项组成一个以,a,6,130,60,70,为首项，,以,为公比等比数列，,28/49,(2),设,A,n,，若,A,n,大于,80,万元，则,M,继续使用，不然须在,第,n,年年初对,M,更新，证实：必须在第九年年初对,M,更新,.,证实,思维升华,29/49,证实,设,S,n,表示数列,a,n,前,n,项和，由等差数列和等比数列求和公式，得,当,1,n,6,时，,S,n,120,n,5,n,(,n,1),，,当,n,7,时，因为,S,6,570,，,30/49,因为,a,n,是递减数列，所以,A,n,是递减数列,.,所以必须在第九年年初对,M,更新,.,31/49,思维升华,常见数列应用题模型求解方法,(1),产值模型：原来产值基础数为,N,，平均增加率为,p,，对于时间,n,总产值,y,N,(1,p,),n,.,(2),银行储蓄复利公式：按复利计算利息一个储蓄，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,y,a,(1,r,),n,.,(3),银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为,a,元，每期利率为,r,，存期为,n,，则本利和,y,a,(1,nr,).,(4),分期付款模型：,a,为贷款总额，,r,为年利率，,b,为等额还款数，则,b,.,32/49,跟踪演练,3,(,全国,),几位大学生响应国家创业号召，开发了一款应用软件,.,为激发大家学习数学兴趣，他们推出了,“,解数学题获取软件激活码,”,活动,.,这款软件激活码为下面数学问题答案：已知数列,1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，,，其中第一项是,2,0,，接下来两项是,2,0,2,1,，再接下来三项是,2,0,2,1,2,2,，依这类推,.,求满足以下条件最小整数,N,：,N,100,且该数列前,N,项和为,2,整数幂,.,那么该款软件激活码是,A.440 B.330 C.220 D.110,答案,解析,33/49,34/49,设,N,是第,n,1,组第,k,项，若要使前,N,项和为,2,整数幂，,35/49,真题押题精练,36/49,真题体验,1.(,浙江,),设数列,a,n,前,n,项和为,S,n,.,若,S,2,4,，,a,n,1,2,S,n,1,，,n,N,*,，则,a,1,_,，,S,5,_.,1,答案,解析,1,2,121,37/49,1,2,当,n,2,时，由已知可得,a,n,1,2,S,n,1,，,a,n,2,S,n,1,1,，,由,，得,a,n,1,a,n,2,a,n,，,a,n,1,3,a,n,，又,a,2,3,a,1,，,a,n,是以,a,1,1,为首项，以,q,3,为公比等比数列,.,38/49,2.(,山东,),已知,x,n,是各项均为正数等比数列，且,x,1,x,2,3,，,x,3,x,2,2.,(1),求数列,x,n,通项公式；,解,设数列,x,n,公比为,q,.,1,2,所以,3,q,2,5,q,2,0,，,由已知得,q,0,，,所以,q,2,，,x,1,1.,所以数列,x,n,通项公式为,x,n,2,n,1,.,解答,39/49,(2),如图，在平面直角坐标系,xOy,中，依次连接点,P,1,(,x,1,1),，,P,2,(,x,2,2),，,，,P,n,1,(,x,n,1,，,n,1),得到折线,P,1,P,2,P,n,1,，求由该折线与直线,y,0,，,x,x,1,，,x,x,n,1,所围成区域面积,T,n,.,1,2,解答,40/49,解,过,P,1,，,P,2,，,，,P,n,1,向,x,轴作垂线，垂足分别为,Q,1,，,Q,2,，,，,Q,n,1,.,由,(1),得,x,n,1,x,n,2,n,2,n,1,2,n,1,，,记梯形,P,n,P,n,1,Q,n,1,Q,n,面积为,b,n,，,1,2,所以,T,n,b,1,b,2,b,n,3,2,1,5,2,0,7,2,1,(2,n,1),2,n,3,(2,n,1),2,n,2,，,则,2,T,n,3,2,0,5,2,1,7,2,2,(2,n,1),2,n,2,(2,n,1),2,n,1,，,由,，得,41/49,T,n,3,2,1,(2,2,2,2,n,1,),(2,n,1),2,n,1,1,2,42/49,押题预测,解答,押题依据,本题综合考查数列知识，考查反证法数学方法及逻辑推理能力,.,已知数列,a,n,前,n,项和,S,n,满足关系式,S,n,ka,n,1,，,k,为不等于,0,常数,.,(1),试判断数列,a,n,是否为等比数列；,押题依据,43/49,解,若数列,a,n,是等比数列，则由,n,1,得,a,1,S,1,ka,2,，从而,a,2,ka,3,.,又取,n,2,得,a,1,a,2,S,2,ka,3,，,于是,a,1,0,，显然矛盾，故数列,a,n,不是等比数列,.,44/49,解答,押题依据,本题综合考查数列知识，高考热点问题，即数列与不等式完美结合，其中将求数列前,n,项和惯用方法,“,裂项相消法,”,与,“,错位相减法,”,结合在一起，考查了综合分析问题、处理问题能力,.,押题依据,45/49,从而,S,n,a,n,1,.,当,n,2,时，由,S,n,1,a,n,，得,a,n,S,n,S,n,1,a,n,1,a,n,，,即,a,n,1,2,a,n,，此时数列是首项为,a,2,、公比为,2,等比数列,.,从而其前,n,项和,S,n,2,n,2,(,n,N,*,).,46/49,解答,47/49,解,由,得,b,n,n,2,，,记,C,2,12,1,22,0,n,2,n,2,，,则,2,C,2,12,0,22,1,n,2,n,1,，,48/49,即,n,2,n,900,，因为,n,N,*,，故,n,9,，,从而最小正整数,n,值是,10.,49/49,