多元函数微分学-2-4月9日.pptx

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,南开大学 高等数学(信息类)主讲人：王秀玲,一、平面点集 n维欧氏空间,二、多元函数概念,三、多元函数极限,四、多元函数连续性,第一节 多元函数基本概念,1/26,中点列收敛(了解),定义,2/26,定理,定理,柯西收敛准则,中其它完备性定理见P34.,3/26,四,、,多元函数连续性,定义,.,设,n,元函数,定义在,D,上,假如函数在,D,上,各点处,都连续,则称此函数,在,D,上,不然称为,不连续,此时,称为,间断点,.,则称,n,元函数,连续,.,连续,连续充要条件是,4/26,比如,函数,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:,一切多元初等函数在定义区域内连续.,5/26,例1,设,试证,f,(,x,y,)在原点连续.,证,所以,f,(,x,y,)在原点连续.,要证,6/26,例2,设,讨论,f,(,x,y,)连续性.,解,7/26,例2,设,讨论,f,(,x,y,)连续性.,解,8/26,例3,证实,在点(0,0)处沿此点每条射线,连续,9/26,定理,若,f,(,x,y,)和,g,(,x,y,),在 连续,则函数,若函数,定理,则复合函数,闭域,上多元连续函数有与一元函数类似以下性质:,10/26,定理,：,若,f,(,P,),在有界闭域,D,上连续,则,*,(4),f,(P)必在D 上一致连续.,在,D,上可取得最大值,M,及最小值,m,;,(3)对任意,(有界性定理),(最值定理),(介值定理),(一致连续性定理),(证实略),11/26,解:,原式,例4.,求,例5.,求函数,连续域.,解:,12/26,一、偏导数定义及其计算法,二、高阶偏导数(下节课),6.2,偏 导 数,13/26,定义,在点,存在,偏导数，记为,某邻域内有定义,则称此极限为函数,若极限,设函数,注意:,14/26,一样可定义对,y,偏导数,若函数,z=f,(,x,y,)在域,D,内每一点,(,x,y,)处对,x,则该偏导数称为偏导函数,也简称为,偏导数,记为,或,y,偏导数存在,15/26,比如,三元函数,u=f,(,x,y,z,)在点(,x,y,z,)处对,x,偏导数概念能够推广到二元以上函数.,偏导数定义为,(请自己写出),16/26,二元函数偏导数几何意义:,是曲线,在点,M,0,处切线,对,x,轴斜率.,在点,M,0,处切线,斜率.,是曲线,对,y,轴,17/26,例1.,求,解法1:,解法2:,在点(1,2)处偏导数.,18/26,例2.,设,证:,例3,.,求,偏导数.,解:,求证,19/26,例4.设,解:,分段函数在分界点处偏导数普通用定义求.,20/26,函数在某点各偏导数都存在,但在该点,不一定连续,.,显然,比如,注意：,在上节已证,f,(,x,y,)在点(0,0)并不连续,!,21/26,函数在某点连续不能确保在此点各偏导数都存在,不过,比如,注意：,22/26,处处都存在且有界,定理,一个邻域内两个偏导数,证实 P50,23/26,内容小结,多元函数连续性,1)函数,2)闭域上多元连续函数性质:,有界定理;,最值定理;,介值定理,3)一切多元初等函数在定义区域内连续,24/26,内容小结,1.偏导数概念及相关结论,定义;记号;几何意义,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,2.偏导数计算方法,求一点处偏导数方法,先代后求,先求后代,利用定义,25/26,作业：P-44习题6-1,8 单号题目；,P-57习题6-2,2;3(1),(3),26/26,