高考数学复习第八章立体几何8.3直线平面平行的判定与性质文市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖课.pptx

,8.3,直线、平面平行判定与性质,1/75,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,2/75,基础知识自主学习,3/75,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,假如平面外一条直线和,一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行(简记为“线线平行线面平行”),，,，,，,_,1.,线面平行判定定理和性质定理,知识梳理,这个平面内,l,a,a,l,l,4/75,性质,定理,假如一条直线和一个平面平行，经过这条直线平面与这个平面相交，那么这条直线就和 平行(简记为“线面平行线线平行”),，,，,，,l,b,交线,l,l,b,5/75,2.,面面平行判定定理和性质定理,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,假如一个平面内有两条,都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”),，,，,，,，,，,相交直线,a,b,a,b,P,a,b,6/75,性质,定理,假如两个平行平面同时和第三个平面 ，那么所得两条 平行,，,，,，,a,b,相交,交线,a,b,7/75,知识拓展,主要结论,(1),垂直于同一条直线两个平面平行，即若,a,，,a,，则,；,(2),垂直于同一个平面两条直线平行，即若,a,，,b,，则,a,b,；,(3),平行于同一个平面两个平面平行，即若,，,，则,.,8/75,思索辨析,判断以下结论是否正确,(,请在括号中打,“”,或,“”,),(1),若一条直线平行于一个平面内一条直线，则这条直线平行于这个平面,.,(,),(2),若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内任一条直线,.(,),(3),假如一个平面内两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,.,(,),9/75,(4),假如两个平面平行，那么分别在这两个平面内两条直线平行或异面,.,(,),(5),若直线,a,与平面,内无数条直线平行，则,a,.(,),(6),若,，直线,a,，则,a,.(,),10/75,考点自测,1.(,教材改编,),以下命题中不正确有,_.,若,a,，,b,是两条直线，且,a,b,，那么,a,平行于经过,b,任何平面；,若直线,a,和平面,满足,a,，那么,a,与,内任何直线平行；,平行于同一条直线两个平面平行；,若直线,a,，,b,和平面,满足,a,b,，,a,，,b,，则,b,.,答案,解析,中，,a,能够在过,b,平面内；,中，,a,与,内直线可能异面；,中，两平面可相交；,中，由直线与平面平行判定定理知，,b,，正确,.,11/75,2.,设,l,，,m,为直线，,，,为平面，且,l,，,m,，则,“,l,m,”,是,“,”,_,条件,.,答案,解析,必要不充分,当平面与平面平行时，,两个平面内直线没有交点，,故,“,l,m,”,是,“,”,必要条件；,当两个平面内直线没有交点时，,两个平面能够相交，,l,m,是,必要不充分条件,.,12/75,3.,如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，点,E,为,AD,中点，点,F,在,CD,上,.,若,EF,平面,AB,1,C,，则线段,EF,长度为,_.,答案,解析,因为直线,EF,平面,AB,1,C,，,EF,平面,ABCD,，,且平面,AB,1,C,平面,ABCD,AC,，所以,EF,AC,，,又,E,是,DA,中点，所以,F,是,DC,中点，,由中位线定理可得,EF,又在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,AB,2,，,所以,AC,，所以,EF,13/75,4.(,教材改编,),如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,DD,1,中点，则,BD,1,与平面,ACE,位置关系为,_.,答案,解析,平行,连结,BD,，设,BD,AC,O,，连结,EO,，,在,BDD,1,中，,O,为,BD,中点，,所以,EO,为,BDD,1,中位线，,则,BD,1,EO,，而,BD,1,平面,ACE,，,EO,平面,ACE,，,所以,BD,1,平面,ACE,.,14/75,5.,过三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,任意两条棱中点作直线，其中与平面,ABB,1,A,1,平行直线共有,_,条,.,答案,解析,6,各中点连线如图，只有面,EFGH,与面,ABB,1,A,1,平行，在四边形,EFGH,中有,6,条符合题意,.,15/75,题型分类深度剖析,16/75,题型一直线与平面平行判定与性质,命题点,1,直线与平面平行判定,例,1,如图，四棱锥,P,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,AD,，,E,，,F,，,H,分别为线段,AD,，,PC,，,CD,中点，,AC,与,BE,交于,O,点，,G,是线段,OF,上一点,.,(1),求证：,AP,平面,BEF,；,证实,17/75,连结,EC,，,AD,BC,，,BC,AD,，,BC,綊,AE,，,四边形,ABCE,是平行四边形，,O,为,AC,中点,.,又,F,是,PC,中点，,FO,AP,，,FO,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,.,18/75,(2),求证：,GH,平面,PAD,.,证实,连结,FH,，,OH,，,F,，,H,分别是,PC,，,CD,中点，,FH,PD,，,FH,平面,PAD,.,又,O,是,BE,中点，,H,是,CD,中点，,又,FH,OH,H,，,平面,OHF,平面,PAD,.,又,GH,平面,OHF,，,GH,平面,PAD,.,OH,AD,，,OH,平面,PAD,.,几何画板展示,19/75,命题点,2,直线与平面平行性质,例,2,(,镇江,月考,),如图，四棱锥,P,ABCD,底面是边长为,8,正方形，四条侧棱长均为,.,点,G,，,E,，,F,，,H,分别是棱,PB,，,AB,，,CD,，,PC,上共面四点，平面,GEFH,平面,ABCD,，,BC,平面,GEFH,.,(1),证实：,GH,EF,；,证实,因为,BC,平面,GEFH,，,BC,平面,PBC,，,且平面,PBC,平面,GEFH,GH,，所以,GH,BC,.,同理可证,EF,BC,，所以,GH,EF,.,20/75,(2),若,EB,2,，求四边形,GEFH,面积,.,解答,21/75,如图，连结,AC,，,BD,交于点,O,，,BD,交,EF,于点,K,，连结,OP,，,GK,.,因为,PA,PC,，,O,是,AC,中点，所以,PO,AC,，,同理可得,PO,BD,.,又,BD,AC,O,，且,AC,，,BD,都在底面内，,所以,PO,底面,ABCD,.,又因为平面,GEFH,平面,ABCD,，,且,PO,平面,GEFH,，所以,PO,平面,GEFH,.,因为平面,PBD,平面,GEFH,GK,，,所以,PO,GK,，且,GK,底面,ABCD,，,22/75,从而,GK,EF,.,所以,GK,是梯形,GEFH,高,.,由,AB,8,，,EB,2,得,EB,AB,KB,DB,1,4,，,从而,KB,DB,OB,，即,K,为,OB,中点,.,再由,PO,GK,得,GK,PO,，,即,G,是,PB,中点，且,GH,BC,4.,由已知可得,OB,，,所以,GK,3.,故四边形,GEFH,面积,S,GK,23/75,判断或证实线面平行惯用方法,(1),利用线面平行定义,(,无公共点,),；,(2),利用线面平行判定定理,(,a,，,b,，,a,b,a,),；,(3),利用面面平行性质定理,(,，,a,a,),；,(4),利用面面平行性质,(,，,a,，,a,，,a,a,).,思维升华,24/75,跟踪训练,1,如图所表示，,CD,，,AB,均与平面,EFGH,平行，,E,，,F,，,G,，,H,分别在,BD,，,BC,，,AC,，,AD,上，且,CD,AB,.,求证：四边形,EFGH,是矩形,.,证实,CD,平面,EFGH,，而平面,EFGH,平面,BCD,EF,，,CD,EF,.,同理,HG,CD,，,EF,HG,.,同理,HE,GF,，,四边形,EFGH,为平行四边形,.,CD,EF,，,HE,AB,，,HEF,为异面直线,CD,和,AB,所成角,.,又,CD,AB,，,HE,EF,.,平行四边形,EFGH,为矩形,.,25/75,题型二平面与平面平行判定与性质,例,3,(,镇江模拟,),如图所表示，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,AC,，,A,1,B,1,，,A,1,C,1,中点，求证：,(1),B,，,C,，,H,，,G,四点共面；,证实,G,，,H,分别是,A,1,B,1,，,A,1,C,1,中点，,GH,是,A,1,B,1,C,1,中位线，,GH,B,1,C,1,.,又,B,1,C,1,BC,，,GH,BC,，,B,，,C,，,H,，,G,四点共面,.,26/75,(2),平面,EFA,1,平面,BCHG,.,证实,E,，,F,分别是,AB,，,AC,中点，,EF,BC,.,EF,平面,BCHG,，,BC,平面,BCHG,，,EF,平面,BCHG,.,A,1,G,綊,EB,，,四边形,A,1,EBG,是平行四边形，,A,1,E,GB,.,A,1,E,平面,BCHG,，,GB,平面,BCHG,，,A,1,E,平面,BCHG,.,A,1,E,EF,E,，,平面,EFA,1,平面,BCHG,.,27/75,引申探究,1.,在本例条件下，若,D,为,BC,1,中点，求证：,HD,平面,A,1,B,1,BA,.,证实,如图所表示，连结,HD,，,A,1,B,，,D,为,BC,1,中点，,H,为,A,1,C,1,中点，,HD,A,1,B,，,又,HD,平面,A,1,B,1,BA,，,A,1,B,平面,A,1,B,1,BA,，,HD,平面,A,1,B,1,BA,.,28/75,2.,在本例条件下，若,D,1,，,D,分别为,B,1,C,1,，,BC,中点，求证：平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,证实,29/75,如图所表示，连结,A,1,C,交,AC,1,于点,M,，,四边形,A,1,ACC,1,是平行四边形，,M,是,A,1,C,中点，连结,MD,，,D,为,BC,中点，,A,1,B,DM,.,A,1,B,平面,A,1,BD,1,，,DM,平面,A,1,BD,1,，,DM,平面,A,1,BD,1,.,30/75,又由三棱柱性质知，,D,1,C,1,綊,BD,，,四边形,BDC,1,D,1,为平行四边形，,DC,1,BD,1,.,又,DC,1,平面,A,1,BD,1,，,BD,1,平面,A,1,BD,1,，,DC,1,平面,A,1,BD,1,，,又,DC,1,DM,D,，,DC,1,，,DM,平面,AC,1,D,，,平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,31/75,证实面面平行方法,(1),面面平行定义；,(2),面面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；,(3),利用垂直于同一条直线两个平面平行；,(4),两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；,(5),利用,“,线线平行,”,、,“,线面平行,”,、,“,面面平行,”,相互转化,.,思维升华,32/75,跟踪训练,2,(,盐城模拟,),如图，四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,底面,ABCD,是正方形，,O,是底面中心，,A,1,O,底面,ABCD,，,AB,AA,1,(1),证实：平面,A,1,BD,平面,CD,1,B,1,；,证实,33/75,由题设知，,BB,1,綊,DD,1,，,四边形,BB,1,D,1,D,是平行四边形，,BD,B,1,D,1,.,又,BD,平面,CD,1,B,1,，,B,1,D,1,平面,CD,1,B,1,，,BD,平面,CD,1,B,1,.,A,1,D,1,綊,B,1,C,1,綊,BC,，,四边形,A,1,BCD,1,是平行四边形，,A,1,B,D,1,C,.,又,A,1,B,平面,CD,1,B,1,，,D,1,C,平面,CD,1,B,1,，,A,1,B,平面,CD,1,B,1,.,又,BD,A,1,B,B,，,平面,A,1,BD,平面,CD,1,B,1,.,34/75,(2),求三棱柱,ABD,A,1,B,1,D,1,体积,.,解答,35/75,A,1,O,平面,ABCD,，,A,1,O,是三棱柱,ABD,A,1,B,1,D,1,高,.,36/75,题型三平行关系综合应用,例,4,(,盐城模拟,),如图所表示，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,是棱,CC,1,中点，问在棱,AB,上是否存在一点,E,，使,DE,平面,AB,1,C,1,？若存在，请确定点,E,位置；若不存在，请说明理由,.,解答,几何画板展示,37/75,方法一存在点,E,，且,E,为,AB,中点时，,DE,平面,AB,1,C,1,.,下面给出证实：,如图，取,BB,1,中点,F,，连结,DF,，,则,DF,B,1,C,1,，,AB,中点为,E,，连结,EF,，,ED,，,则,EF,AB,1,，,B,1,C,1,AB,1,B,1,，,平面,DEF,平面,AB,1,C,1,.,而,DE,平面,DEF,，,DE,平面,AB,1,C,1,.,38/75,方法二假设在棱,AB,上存在点,E,，使得,DE,平面,AB,1,C,1,，,如图，取,BB,1,中点,F,，连结,DF,，,EF,，,ED,，则,DF,B,1,C,1,，,又,DF,平面,AB,1,C,1,，,B,1,C,1,平面,AB,1,C,1,，,DF,平面,AB,1,C,1,，,又,DE,平面,AB,1,C,1,，,DE,DF,D,，,平面,DEF,平面,AB,1,C,1,，,EF,平面,DEF,，,EF,平面,AB,1,C,1,，,又,EF,平面,ABB,1,，平面,ABB,1,平面,AB,1,C,1,AB,1,，,EF,AB,1,，,点,F,是,BB,1,中点，,点,E,是,AB,中点,.,即当点,E,是,AB,中点时，,DE,平面,AB,1,C,1,.,39/75,利用线面平行性质，能够实现与线线平行转化，尤其在截面图画法中，惯用来确定交线位置，对于最值问题，惯用函数思想来处理,.,思维升华,40/75,跟踪训练,3,(,南京模拟,),如图所表示，在四面体,ABCD,中，截面,EFGH,平行于对棱,AB,和,CD,，试问截面在什么位置时其截面面积最大？,解答,几何画板展示,41/75,AB,平面,EFGH,，,平面,EFGH,与平面,ABC,和平面,ABD,分别交于,FG,，,EH,.,AB,FG,，,AB,EH,，,FG,EH,，同理可证,EF,GH,，,截面,EFGH,是平行四边形,.,设,AB,a,，,CD,b,，,FGH,(,即为异面直线,AB,和,CD,所成角或其补角,).,又设,FG,x,，,GH,y,，则由平面几何知识可得,，,两式相加得,1,，即,y,(,a,x,),，,42/75,S,EFGH,FG,GH,sin,x,(,a,x,)sin,x,(,a,x,).,x,0,，,a,x,0,且,x,(,a,x,),a,为定值，,当且仅当,x,a,x,时等号成立,.,此时,x,，,y,.,即当截面,EFGH,顶点,E,、,F,、,G,、,H,分别为棱,AD,、,AC,、,BC,、,BD,中点时截面面积最大,.,43/75,典例,(14,分,),如图，在四棱锥,S,ABCD,中，已知底面,ABCD,为直角梯形，其中,AD,BC,，,BAD,90,，,SA,底面,ABCD,，,SA,AB,BC,2,，,tan,SDA,.,(1),求四棱锥,S,ABCD,体积；,(2),在棱,SD,上找一点,E,，使,CE,平面,SAB,，并证实,.,立体几何中探索性问题,答题模板系列,5,规范解答,答题模板,44/75,解,(1),SA,底面,ABCD,，,tan,SDA,，,SA,2,，,AD,3.,2,分,由题意知四棱锥,S,ABCD,底面为直角梯形，,且,SA,AB,BC,2,，,V,S,ABCD,SA,(,BC,AD,),AB,2,(2,3),2,.,6,分,45/75,(2),当点,E,位于棱,SD,上靠近,D,三等分点处时，,可使,CE,平面,SAB,.,8,分,证实以下：,取,SD,上靠近,D,三等分点为,E,，,取,SA,上靠近,A,三等分点为,F,，连结,CE,，,EF,，,BF,，,则,EF,綊,AD,，,BC,綊,AD,，,BC,綊,EF,，,CE,BF,.,12,分,又,BF,平面,SAB,，,CE,平面,SAB,，,CE,平面,SAB,.,14,分,返回,46/75,处理立体几何中探索性问题步骤,第一步：写出探求最终结论；,第二步：证实探求结论正确性；,第三步：给出明确答案；,第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范,.,返回,47/75,课时作业,48/75,1.(,南通模拟,),有以下命题：,若直线,l,平行于平面,内无数条直线，则直线,l,；,若直线,a,在平面,外，则,a,；,若直线,a,b,，,b,，则,a,；,若直线,a,b,，,b,，则,a,平行于平面,内无数条直线,.,其中真命题个数是,_.,答案,解析,1,命题,，,l,能够在平面,内，不正确；,命题,，直线,a,与平面,能够是相交关系，不正确；,命题,，,a,能够在平面,内，不正确；,命题,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,49/75,2.(,苏北四校联考,),如图是一个几何体平面展开图，其中四边形,ABCD,是正方形，,E,，,F,分别为,PA,，,PD,中点,.,在此几何体中，给出以下四个结论：,直线,BE,与直线,CF,是异面直线；,直线,BE,与直线,AF,是异面直线；,直线,EF,平面,PBC,；,平面,BCE,平面,PAD,.,其中正确结论序号为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,50/75,因为,EF,綊,AD,，,AD,綊,BC,，所以,EF,綊,BC,，,所以,E,，,B,，,C,，,F,四点共面，所以,BE,与,CF,共面，所以,错误；,因为,AF,平面,PAD,，,E,平面,PAD,，,E,直线,AF,，,B,平面,PAD,，,所以,BE,与,AF,是异面直线，所以,正确；,因为,EF,BC,，,EF,平面,PBC,，,BC,平面,PBC,，,所以,EF,平面,PBC,，所以,正确；,因为不能推出线面垂直，,故平面,BCE,平面,PAD,不成立，所以,错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,51/75,3.,设,l,为直线，,，,是两个不一样平面,.,以下命题中正确是,_.,若,l,，,l,，则,；,若,l,，,l,，则,；,若,l,，,l,，则,；,若,，,l,，则,l,.,答案,解析,l,，,l,，则,与,可能平行，也可能相交，故,错；,由,“,同垂直于一条直线两个平面平行,”,可知,正确；,由,l,，,l,可知,，故,错；,由,，,l,可知,l,与,可能平行，也可能,l,，也可能相交，故,错,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,52/75,4.(,苏锡常联考,),以下关于互不相同直线,m,，,l,，,n,和平面,，,四个命题：,若,m,，,l,A,，点,A,m,，则,l,与,m,不共面；,若,m,，,l,是异面直线，,l,，,m,，且,n,l,，,n,m,，则,n,；,若,l,，,m,，,，则,l,m,；,若,l,，,m,，,l,m,A,，,l,，,m,，则,.,其中假命题是,_.(,填序号,),答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,53/75,5.,已知平面,平面,，,P,是,，,外一点，过点,P,直线,m,与,，,分别交于,A,，,C,两点，过点,P,直线,n,与,，,分别交于,B,，,D,两点，且,PA,6,，,AC,9,，,PD,8,，则,BD,长为,_.,答案,解析,由,得,AB,CD,.,分两种情况：,若点,P,在,，,同侧，,若点,P,在,，,之间，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,PB,16,，,BD,24.,54/75,6.(,全国甲卷,),，,是两个平面，,m,，,n,是两条直线，有以下四个命题：,假如,m,n,，,m,，,n,，那么,；,假如,m,，,n,，那么,m,n,；,假如,，,m,，那么,m,；,假如,m,n,，,，那么,m,与,所成角和,n,与,所成角相等,.,其中正确命题有,_.,答案,解析,当,m,n,，,m,，,n,时，两个平面位置关系不确定，故,错误，,经判断知,均正确，,故正确答案为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,55/75,7.,设,，,，,是三个不一样平面，,m,，,n,是两条不一样直线，在命题,“,m,，,n,，且,_,，则,m,n,”,中横线处填入以下三组条件中一组，使该命题为真命题,.,，,n,；,m,，,n,；,n,，,m,.,能够填入条件有,_.,答案,解析,或,由面面平行性质定理可知，,正确；,当,n,，,m,时，,n,和,m,在同一平面内，,且没有公共点，所以平行，,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,56/75,8.,如图，在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,(,底面是正方形直四棱柱叫正四棱柱,),中，,E,、,F,、,G,、,H,分别是棱,CC,1,、,C,1,D,1,、,D,1,D,、,CD,中点，,N,是,BC,中点，动点,M,在四边形,EFGH,上及其内部运动，则,M,满足条件,_,时，有,MN,平面,B,1,BDD,1,.,答案,解析,M,线段,FH,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为,HN,BD,，,HF,DD,1,，所以平面,NHF,平面,B,1,BDD,1,，故线段,FH,上任意点,M,与,N,相连，都有,MN,平面,B,1,BDD,1,.(,答案不唯一,),57/75,9.,将一个真命题中,“,平面,”,换成,“,直线,”,、,“,直线,”,换成,“,平面,”,后仍是真命题，则该命题称为,“,可换命题,”.,给出以下四个命题：,垂直于同一平面两直线平行；,垂直于同一平面两平面平行；,平行于同一直线两直线平行；,平行于同一平面两直线平行,.,其中是,“,可换命题,”,是,_.(,填命题序号,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,58/75,由线面垂直性质定理可知,是真命题，且垂直于同一直线两平面平行也是真命题，故,是,“,可换命题,”,；,因为垂直于同一平面两平面可能平行或相交，所以,是假命题，不是,“,可换命题,”,；,由公理,4,可知,是真命题，且平行于同一平面两平面平行也是真命题，故,是,“,可换命题,”,；,因为平行于同一平面两条直线可能平行、相交或异面，故,是假命题，故,不是,“,可换命题,”.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,59/75,10.,在四面体,A,BCD,中，,M,，,N,分别是,ACD,，,BCD,重心，则四面体四个面中与,MN,平行是,_.,答案,解析,平面,ABD,与平面,ABC,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，取,CD,中点,E,，,连结,AE,，,BE,.,则,EM,MA,1,2,，,EN,BN,1,2,，,所以,MN,AB,.,所以,MN,平面,ABD,，,MN,平面,ABC,.,60/75,*11.,在三棱锥,S,ABC,中，,ABC,是边长为,6,正三角形，,SA,SB,SC,15,，平面,DEFH,分别与,AB,，,BC,，,SC,，,SA,交于点,D,，,E,，,F,，,H,.,D,，,E,分别是,AB,，,BC,中点，假如直线,SB,平面,DEFH,，那么四边形,DEFH,面积为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,61/75,如图，取,AC,中点,G,，,连结,SG,，,BG,.,易知,SG,AC,，,BG,AC,，,SG,BG,G,，,故,AC,平面,SGB,，,所以,AC,SB,.,因为,SB,平面,DEFH,，,SB,平面,SAB,，,平面,SAB,平面,DEFH,HD,，,则,SB,HD,.,同理,SB,FE,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,62/75,又,D,，,E,分别为,AB,，,BC,中点，,则,H,，,F,也为,AS,，,SC,中点，,从而得,HF,綊,AC,綊,DE,，,所以四边形,DEFH,为平行四边形,.,又,AC,SB,，,SB,HD,，,DE,AC,，,所以,DE,HD,，,所以四边形,DEFH,为矩形，,其面积,S,HF,HD,(,AC,)(,SB,),.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,63/75,12.,如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,棱,BC,、,CC,1,、,C,1,D,1,、,AA,1,中点,.,求证：,(1),EG,平面,BB,1,D,1,D,；,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,64/75,取,B,1,D,1,中点,O,，连结,GO,，,OB,，,OG,綊,B,1,C,1,，,BE,綊,BC,，,OG,綊,BE,，,四边形,BEGO,为平行四边形，故,OB,EG,，,又,EG,平面,BB,1,D,1,D,，,OB,平面,BB,1,D,1,D,，,EG,平面,BB,1,D,1,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,65/75,(2),平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,证实,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,66/75,由题意可知,BD,B,1,D,1,.,如图，连结,HB,、,D,1,F,，,易证四边形,HBFD,1,是平行四边形，,故,HD,1,BF,.,又,B,1,D,1,HD,1,D,1,，,BD,BF,B,，,所以平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,67/75,13.(,贵州兴义八中月考,),在如图所表示多面体,ABCDEF,中，四边形,ABCD,是边长为,a,菱形，且,DAB,60,，,DF,2,BE,2,a,，,DF,BE,，,DF,平面,ABCD,.,(1),在,AF,上是否存在点,G,，使得,EG,平面,ABCD,，请证实你结论；,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,68/75,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,当点,G,位于,AF,中点时，有,EG,平面,ABCD,.,证实以下：,取,AF,中点,G,，,AD,中点,H,，连结,GH,，,GE,，,BH,.,在,ADF,中，,HG,为中位线，故,HG,DF,且,HG,因为,BE,DF,且,BE,，所以,BE,綊,GH,，,即四边形,BEGH,为平行四边形，,所以,EG,BH,.,因为,BH,平面,ABCD,，,EG,平面,ABCD,，,所以,EG,平面,ABCD,.,69/75,(2),求该多面体体积,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,70/75,连结,AC,，,BD,.,因为,DF,平面,ABCD,，底面,ABCD,是菱形，,所以,AC,平面,BDFE,.,所以该多面体可分割成两个以平面,BDFE,为底面等体积四棱锥,.,即,V,ABCDEF,V,A,BDFE,V,C,BDFE,2,V,A,BDFE,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,71/75,*14.(,南通模拟,),如图所表示，斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，点,D,，,D,1,分别为,AC,，,A,1,C,1,上点,.,(1),当,等于何值时，,BC,1,平面,AB,1,D,1?,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,72/75,如图所表示，取,D,1,为线段,A,1,C,1,中点，此时,1.,连结,A,1,B,，交,AB,1,于点,O,，连结,OD,1,.,由棱柱性质知，四边形,A,1,ABB,1,为平行四边形，,点,O,为,A,1,B,中点,.,在,A,1,BC,1,中，点,O,，,D,1,分别为,A,1,B,，,A,1,C,1,中点，,OD,1,BC,1,.,又,OD,1,平面,AB,1,D,1,，,BC,1,平面,AB,1,D,1,，,BC,1,平面,AB,1,D,1,.,当,1,时，,BC,1,平面,AB,1,D,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,73/75,(2),若平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,，求,值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,74/75,由平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,，,且平面,A,1,BC,1,平面,BC,1,D,BC,1,，,平面,A,1,BC,1,平面,AB,1,D,1,D,1,O,，,得,BC,1,D,1,O,，同理,AD,1,DC,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,75/75,