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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 推理与证明,(选修2-2),人教,A,版数学,21.2演绎推理,1/62,2/62,了解演绎推理概念，掌握演绎推理形式，并能用它们进行一些简单推理，了解合情推理与演绎推理联络与区分,3/62,4/62,本节重点：演绎推理结构特点,本节难点：三段论推理规则,5/62,6/62,1用集合论观点来分析，三段论推理依据是：假如集合,M,中每一个元素都含有属性,P,，且,S,是,M,子集，那么集合,S,中每一个元素都含有属性,P,.,2为了方便，在利用三段论推理时，经常采取省略大前提或小前提表述方式对于复杂论证，总是采取一连串三段论，把前一个三段论结论作为下一个三段论前提,7/62,3合情推理与演绎推理区分,归纳和类比是惯用合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到普通推理；类比是由特殊到特殊推理；而演绎推理是由普通到特殊推理从推理所得结论来看，合情推理结论不一定正确，有待深入证实；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确前提下，得到结论一定正确,8/62,演绎推理是证实数学结论、建立数学体系主要思维过程，但数学结论、证实思绪等发觉，主要靠合情推理所以，我们不但要学会证实，也要学会猜测,三段论公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个普通原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了普通原理和特殊情况内在联络，从而产生了第三个判断结论,9/62,演绎推理是一个必定性推理演绎推理前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实，推理形式是正确，那么结论必定是真实但错误前提可能造成错误结论,10/62,11/62,1演绎推理,从,原理出发，推出,情况下结论推理形式,它特点是：由,推理,它特征是：当,都正确时，,必定正确,普通性,某个特殊,普通到特殊,前提和推理形式,结论,12/62,2三段论推理,在推理中：,“,若,b,c,，而,a,b,，则,a,c,”,，这种推理规则叫三段论推理它包含：,(1,),已知普通性原理,(2,),所研究特殊情况,(3,),依据普通原理，对特殊情况做出判断,推理是演绎推理普通模式,大前提,小前提,结论,三段论,13/62,3,“,三段论,”,惯用格式,大前提：,小前提：,结论：,.,M,是,P,S,是,M,S,是,P,14/62,15/62,例1以下说法正确个数是(),演绎推理是由普通到特殊推理,演绎推理得到结论一定是正确,演绎推理普通模式是,“,三段论,”,形式,演绎推理得到结论正误与大前提、小前提和推理形式相关,16/62,A1,B2,C3,D4,答案,C,解析,由演绎推理概念可知说法,正确，,不正确，故应选C.,17/62,以下几个推理过程是演绎推理是(),A两条直线平行，同旁内角互补，假如,A,与,B,是两条平行直线同旁内角，则,A,B,180,B某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三全部班人数超出50人,C由平面三角形性质，推测空间四面体性质,18/62,答案,A,解析,C是类比推理，B与D均为归纳推理，而合情推理包含类比推理和归纳推理，故B、C、D都不是演绎推理而A是由普通到特殊推理形式，故A是演绎推理.,19/62,20/62,分析即写出推理大前提、小前提、结论大前提可能在题目中给出，也可能是已经学过知识,解析,(1)每个菱形对角线相互垂直大前提,正方形是菱形小前提,正方形对角线相互垂直结论,(2)两个角是对顶角则两角相等大前提,1和2不相等小前提,1和2不是对顶角结论,21/62,22/62,点评在三段论中，,“,大前提,”,提供了普通原理、标准，,“,小前提,”,指出了一个特殊场所情况，,“,结论,”,在大前提和小前提基础上，说明普通标准和特殊情况间联络，平时大家早已能自发地使用三段论来进行推理，学习三段论后我们要主动地了解和掌握这一推理方法,23/62,把以下演绎推理写成三段论形式,(1)在一个标准大气压下，水沸点是100,，所以在一个标准大气压下把水加热到100,时，水会沸腾；,(2)一切奇数都不能被2整除，(2,100,1)是奇数，所以(2,100,1)不能被2整除；,24/62,解析,(1)大前提：在一个标准大气压下，水沸点是100,，,小前提：在一个标准大气压下把水加热到100,，,结论：水会沸腾,25/62,(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，,小前提：2,100,1是奇数，,结论：2,100,1不能被2整除,(3)大前提：三角函数都是周期函数，,小前提：,y,tan,是三角函数，,结论：,y,tan,是周期函数,(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，,小前提：,A,与,B,是两条平行直线同旁内角，,结论：,A,B,180.,26/62,例3指出下面推理中错误,(1)因为自然数是整数，大前提,而6是整数，小前提,所以6是自然数结论,(2)因为中国大学分布于中国各地，大前提,而北京大学是中国大学，小前提,所以北京大学分布于中国各地结论,27/62,分析要判定推理是否正确，主要从三个方面：(1)大前提是否正确；(2)小前提是否正确；(3)推理形式是否正确，只有当上面3条都正确时，结论才正确,解析,(1)推理形式错误，,M,是,“,自然数,”,，,P,是,“,整数,”,，,S,是,“,6,”,，故按规则,“,6,”,应是自然数(,M,)(此时它是错误小前提)，推理形式不对，所得结论是错误,(2)这个推理错误原因是大、小前提中,“,中国大学,”,未保持同一，它在大前提中表示中国各所大学，而在小前提中表示中国一所大学,28/62,点评三段论论断基础是这么一个原理：,“,凡必定(或否定)了某一类对象全部，也就必定(或否定)了这一类对象各部分或个体,”,，简言之，,“,全体概括个体,”,M,，,P,，,S,三个概念之间包含关系表现为：假如概念,P,包含了概念,M,，则必包含了,M,中任一概念,S,(如图甲)；假如概念,P,排斥概念,M,，则必排斥,M,中任一概念,S,(如图乙),29/62,以下推理是否正确，将有错误指犯错误之处,(1)求证：四边形内角和等于360.,证实：设四边形,ABCD,是矩形，则它四个角都是直角，有,A,B,C,D,90909090360.所以，四边形内角和等于360.,30/62,(3)在Rt,ABC,中，,C,90，求证：,a,2,b,2,c,2,.,证实：因为,a,c,sin,A,，,b,c,cos,A,，所以,a,2,b,2,c,2,sin,2,A,c,2,cos,2,A,c,2,(sin,2,A,cos,2,A,),c,2,.,(4)设,a,b,(,a,0，,b,0),等式两边乘以,a,，得,a,2,ab,，,两边减去,b,2,，得,a,2,b,2,ab,b,2,，,两边分解因式，得(,a,b,)(,a,b,),b,(,a,b,)，,两边除以(,a,b,)，得,a,b,b,，,以,b,代,a,，得2,b,b,，,两边除以,b,，得21.,31/62,解析,上述四个推理过程都是错误,(1)犯了偷换论题错误，在证实过程中，把论题中四边形改为矩形,(2)使用论据是,“,无理数与无理数和是无理数,”,，这个论据是假，因为两个无理数和不一定是无理数所以原题真实性仍无法断定,(3)本题论题就是人们熟知勾股定理上述证实中用了,“,sin,2,A,cos,2,A,1,”,这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来，这就间接地用待证命题真实性作为证实论据，犯了循环论证错误,32/62,(4)所得结果显然是错误，错误原因在于以(,a,b,)除等式两边因为,a,b,，而,a,b,0，用0除等式两边，这是错误.,33/62,例4在四边形,ABCD,中，,AB,CD,，,BC,AD,(如图)求证：,ABCD,为平行四边形写出三段论形式演绎推理,34/62,分析原题可用符号表示为(,AB,CD,)且(,BC,AD,),ABCD,.,用演绎推理来证实论题方法，也就是从包含在论据中普通原理推出包含在论题中个别、特殊事实,为了证实这个命题为真，我们只需在假设前提(,AB,CD,)且(,BC,AD,)为真情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，依据推理规则，导出结论,ABCD,为真,35/62,证实,(1)连结,AC,(2)平面几何中边边边定理是：有三边对应相等两个三角形全等这一定理相当于：,对于任意两个三角形，假如它们三边对应相等，则这两个三角形全等大前提,假如,ABC,和,CDA,三边对应相等小前提,则这两个三角形全等结论,符号表示：,(,AB,CD,)且(,BC,DA,)且(,CA,AC,),ABC,CDA,.,36/62,(3)由全等形定义可知：全等三角形对应角相等这一性质相当于：,对于任意两个三角形，假如它们全等，则它们对应角相等大前提,假如,ABC,和,CDA,全等，小前提,则它们对应角相等结论,用符号表示，就是,ABC,CAD,(,1,2)且(,3,4)且(,B,D,),37/62,(4)两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行(平行线判定定理)大前提,直线,AB,，,DC,被直线,AC,所截，若内错角,1,2，,3,4小前提(已证),AB,DC,，,BC,AD,.,(,AB,DC,)且(,BC,AD,)结论(同理),38/62,(5)假如四边形两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形(平行四边形定义)大前提,四边形,ABCD,中，两组对边分别平行，小前提,四边形,ABCD,为平行四边形结论,符号表示为：,AB,DC,且,AD,BC,ABCD,为平行四边形,39/62,点评像上面这么详细地分析一个证实步骤，对于养成严谨推理习惯，发展抽象思维能力，是有一定主动作用但书写起来非常繁琐，普通能够从实际出发，省略大前提或小前提，采取简略符号化写法比如，本例证实，通常能够这么给出：,40/62,41/62,用三段论证实：直角三角形两锐角之和为90.,证实,因为任意三角形三内角之和是180大前提,而直角三角形是三角形小前提,所以直角三角形三内角之和是180结论,设直角三角形两个内角分别为,A,、,B,，则有,A,B,90180,因为等量减等量差相等大前提,(,A,B,90)9018090小前提,所以,A,B,90结论,42/62,43/62,例5(安徽理，18)如图，在多面体,ABCDEF,中，四边形,ABCD,是正方形，,EF,AB,，,EF,FB,，,AB,2,EF,，,BFC,90，,BF,FC,，,H,为,BC,中点,44/62,(1)求证：,FH,平面,EDB,；,(2)求证：,AC,平面,EDB,；,(3)求二面角,B,DE,C,大小,解析,(综正当)(1)证：设,AC,与,BD,交于点,G,，则,G,为,AC,中点，连,EG,，,GH,，,45/62,四边形,EFGH,为平行四边形,EG,FH,，而,EG,平面,EDB,，,FH,平面,EDB,.,(2)证：由四边形,ABCD,为正方形，有,AB,BC,.,又,EF,AB,，,EF,BC,.,而,EF,FB,，,EF,平面,BFC,.,EF,FH,，,AB,FH,.,又,BF,FC,，,H,为,BC,中点，,FH,BC,.,46/62,FH,平面,ABCD,.,FH,AC,.,又,FH,EG,，,AC,EG,.,又,AC,BD,，,EG,BD,G,，,AC,平面,EDB,.,(3)解：,EF,、,FB,，,BFC,90，,BF,平面,CDEF,.,在平面,CDEF,内过点,F,作,FK,DE,交,DE,延长线于,K,，则,FKB,为二面角,BE,C,一个平面角,47/62,48/62,又,BF,FC,，,H,为,BC,中点，,FH,BC,.,FH,平面,ABC,.,以,H,为坐标原点，为,x,轴正向，为,z,轴正向，建立如图所表示坐标系,设,BH,1，则,A,(1，2,0)，,B,(1,0,0)，,C,(1,0,0)，,D,(1，2,0)，,E,(0，1,1)，,F,(0,0,1),49/62,50/62,51/62,52/62,设,m,为实数，求证：方程,x,2,2,mx,m,2,10没有实数根,解析,已知方程,x,2,2,mx,m,2,10判别式(2,m,),2,4(,m,2,1)40，所以方程,x,2,2,mx,m,2,10没有实数根,53/62,点评此推理过程用三段论表述为：,大前提：假如一元二次方程判别式0，那么这个方程没有实数根；,小前提：一元二次方程,x,2,2,mx,m,2,10判别式0；,结论：一元二次方程,x,2,2,mx,m,2,10没有实数根,54/62,55/62,一、选择题,1演绎推理是以以下哪个为前提，推出某个特殊情况下结论推理方法(),A普通原理,B特定命题,C普通命题,D定理、公式,答案,A,解析,考查演绎推理定义，由定义知选A.,56/62,2,“,全部9倍数(,M,)都是3倍数(,P,)，若奇数(,S,)是9倍数(,M,)，故该奇数(,S,)是3倍数,”,上述推理是(),A小前提错误,B大前提错误,C结论错误,D正确,答案,D,解析,大前提是正确，小前提也是正确，推理过程也正确，所以结论也正确故应选D.,57/62,3假如有些人在1985年以后大学毕业，他就一定读过邓小平理论刘明读过邓小平理论，所以(),A刘明可能是1985年以后大学毕业生,B刘明是共产党员,C刘明是1985年以后大学毕业生,D刘明喜欢这本书,答案,A,解析,由实际生活情况知A正确，故应选A.,58/62,二、填空题,4指出三段论,“,自然数中没有最大数字(大前提),9是最大个位数字(小前提)，所以9不是自然数(结论),”,中错误是_,答案,小前提中,S,不是,M,解析,大前提中数字泛指非负整数，而小前提中数字指是个位数，因而得犯错误结论,59/62,5函数,y,2,x,5图象是一条直线，用三段论表示为：,大前提_,小前提_,结论_,答案,一次函数图象是一条直线函数,y,2,x,5是一次函数函数,y,2,x,5图象是一条直线,解析,关键找出大前提和小前提,60/62,三、解答题,6将以下演绎推理写成三段论形式,(1)菱形对角线相互平分,(2)奇数不能被2整除，75不能被2整除，所以75是奇数,答案,(1)平行四边形对角线相互平分大前提,菱形是平行四边形小前提,菱形对角线相互平分结论,(2)一切奇数都不能被2整除大前提,75不能被2整除小前提,75是奇数结论,61/62,62/62,
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