第4章 滤波器设计方法.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章,滤波器设计方法及基本结构,4.1,引言,数字滤波器的总体设计步骤包括：,（,1,）按照设计要求，确定滤波器的性能指标,；,（,2,）采用一个因果、稳定的离散,LTI,系统的系统函数逼近该性能指标,;,（,3,）利用有限精度算法来实现该系统函数,;,（,4,）,采用通用计算机软件、专用或通用的数字信号处理器（,DSP,）,来实现。,本章主要讨论其中的第,（,2,）,项和第,（,3,）,项,中的运算结构等内容,4.2,模拟滤波器的设计,按照频率特性，模拟滤波器可分为低通、高通、带通、带阻和全通等类型。,模拟低通滤波器的传输函数经频率变换可以转换成模拟高通、带通和带阻滤波器。,设计模拟低通滤波器是根据一组设计规范求得模拟系统函数，使其逼近理想低通滤波器的特性。通常可根据滤波器的幅度平方函数进行逼近，也可根据相位特性或群延迟特性进行逼近。,模拟低通滤波器的幅度平方逼近函数有,巴特沃斯型、切比雪夫,型和,椭圆型,函数等。,4.2.1,低通模拟滤波器特性及幅度,平方逼近,1,理想滤波器的幅频特性,上图,给出了各种理想滤波器的幅频特性，这些,特性包括：,(1),通带内传输函数的幅度是常数，相移特性,是线性的；,(2),阻带内传输函数的幅度为零，对相移特性,没有要求；,(3),从通带到阻带有一个过渡带，对于理想滤,波器为零。,2.,低通滤波器的技术指标及其幅频特性,对于模拟低通滤波器，技术指标包括：,通带截止频率 及通带内的最大衰减,（或通带边缘增益 ）或通带波纹 ；,(2),阻带截止频率 及阻带内最小衰减,（或阻带边缘增益 ）或阻带波纹 。,对于单调下降的幅度特性，如果,且 ，则 称为,3dB,截止频率,或半功率截止频率。,通带波纹 用来描述通带内最大和最小增益之差，,即 。,衰减为,。可得 与,的关系为：,阻带波纹 用来描述阻带内的最大增益，,即 。衰减为,dB,，,可得 与,的关系为：,给定技术指标后，模拟滤波器的设计任务就是求,得一个系统函数 ，使其满足该技术指标。,3,由幅度平方函数确定系统函数,模拟滤波器的幅度响应常用幅度平方函数来表示，即,由于滤波器冲激响应是 实信号，,有,，所以,若已知 ，如何求得,呢？,由于 为实信号，其系统函数中的极点（或零,点）必以共轭对形式出现。又由于实际可实现的滤波器,都是稳定的，其系统函数 的极点一定位于,s,左半平,面，而 的极点一定位于,s,右半平面，即左半平面,的极点属于 ，而右半平面的极点属于 。,4.2.2,巴特沃斯滤波器设计,1,巴特沃斯滤波器的特性,巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为：,式中，,N,为正整数，表示滤波器的阶数，为,3dB,截止频率。,应用巴特沃斯幅度平方函数描述的低通滤波,器具有如下特点。,（,1,）当 时，。,（,2,）,当 时，,或 。,（,4,）,当 时，即过渡带和阻带内，也随,着 的增大单调减小，但比通带内衰减的速度快得,多，且,N,越大，衰减速度越快，过渡带也就越陡峭，,如图所示。,（,3,）,当 时，即通带内，随着 的,增加单调减小，且,N,越大，实际越慢，通带也就越平,坦。,巴特沃斯滤波器幅度特性及其与,N,的关系,2,巴特沃斯滤波器的系统函数,将 代入,式,中，可得：,可见，巴特沃斯滤波器是一个全极点型滤波器。共,有,2N,个极点，每个极点表示如下：,由上可看出，的极点分布特点为：,（,1,）极点在,s,平面是象限对称的，分布在半径为 的,圆（巴特沃斯圆）上，共有,2N,个极点。极点间的角度间,隔为 。,（,2,）,极点绝不能落在虚轴上，这样滤波器才有可能稳,定。,（,3,）,N,为奇数时，实轴上有极点；,N,为偶数时，实轴上,无极点。,选取在左半平面上的极点作为 的极点，因此,有：,例,4-1,导出三阶巴特沃斯型低通滤波器,的系统函数，已知,解,该巴特沃斯型低通滤波器的幅度平方函数为：,即,各极点为：,即,极点的分布如图所示。,取,s,平面左半平面的极点 、和 组,成 ：,3,巴特沃斯模拟滤波器的设计方法,确定技术指标，包括：通带截止频率 及通带,内的最大衰减 ，阻带截止频率 及阻带内最,小衰减 。,根据,式,得到：,从而得到：,则,当 时，简化得：,例,4-2,已知一个模拟低通滤波器通带截,止频率 通带最大衰减,阻带起始频率 ，阻带最小衰,减 ，试根据上述要求设计巴特,沃斯低通滤波器。,解,（,1,）确定滤波器的阶数,因为 ，由 及,可求得,则,取阶数,N,5,。,因为,所以,（,2,）计算,s,左半平面上的,N,个极点,（,3,）写出滤波器的系统函数,4.2.3,切比雪夫,I,型滤波器设计,1,切比雪夫滤波器的特性,若切比雪夫滤波器的幅度特性在通带内是等波纹的，,而在阻带内是单调的，则称之为切比雪夫,I,型滤波器，,如图,所示,若幅度特性在通带内是单调的，而在阻带内是等波纹,的，则称之为切比雪夫,II,型滤波器。,这里主要介绍切比雪夫,I,型滤波器的设计。,N,阶切比雪夫,I,型滤波器形状,N,阶模拟切比雪夫,I,型滤波器，其幅度平方函数定义为：,式中，参数 为小于,1,的正数，为低通滤波器的截止频率,（不一定是,3dB,频率）。是,N,阶切比雪夫多项式，定义为：,可知，幅度平方函数由阶数,N,和参数 确定。,2,切比雪夫模拟滤波器的设计方法,模拟切比雪夫,I,型滤波器的阶数,N,可由下式确定：,式中，由阻带边缘增益 （,如图所示,）计算得到：,参数 由通带边缘增益计算得到：,则系统函数为：,线性增益频谱图,例,4-3,一个模拟低通滤波器，要求通带截止频率为,3kHz,，,通带最大衰减为,0.1dB,，,阻带截止频率为,12kHz,，,阻带最小衰减为,60dB,。,应用切比雪夫,I,型滤波器的设计,方法求该滤波器的幅度函数。,解,由,，求得 ，则,由,，求得 。则,所需滤波器的阶数为：,取,N,=5,，,则该模拟低通滤波器的幅度表示为：,4.3,无限冲激响应（,IIR,）,数字滤波器设计,无限冲激响应滤波器也称为递归滤波器，其所,对应的差分方程如下：,一般,IIR,滤波器的传输函数为：,具有,M,个零点和,N,个极点，可见递归滤波器不能保证其稳定性。所以，稳定性检验是许多,IIR,滤波器设计的重要组成部分。,递归滤波器很难实现非递归滤波器所具有的线性,相位；,递归滤波器的优势在于，在实现类似的性能要,求时，递归滤波器比非递归滤波器所需要的系数,（或阶数）要小得多。,设计,IIR,数字滤波器一般有以下两种方法。,递归滤波器与非递归滤波器之间的区别还包括：,（,1,）先按照技术指标设计一个模拟滤波器 ，然后再按,照一定的映射关系将 转换成数字滤波器的 。,（,2,）计算机辅助设计法。这是一种最优化的设计方法。这,种设计需要进行大量的迭代运算，故需要计算机的支持。,我们主要介绍第一种方法，即利用模拟滤波器设计,数字滤波器。那么，如何将模拟滤波器的传输函数,转换成数字滤波器的传输函数 呢？,模拟滤波器到数字滤波器的转换可以在时域实现，也可以在频域实现。,时域转换法是使数字滤波器的时域响应与模拟滤波器的时域,采样值相等，具体方法有：,冲激响应不变法、阶跃响应不变法和,匹配,z,变换法。,频域变换法是使数字滤波器在范围内的幅度特性与模拟滤波,器在范围内的幅度特性一致，具体方法有：双线性变换法、微分,映射法。,上述方法中得到广泛使用的有冲激响应不变法和双线性变换法。,无论采用哪种方法，为了保证由 转换得到的,仍然满足技术指标并具有稳定性，复变量,s,到复,变量,z,之间的映射关系必须满足以下两个基本要求：,（,1,）的频率响应要能够模仿 的频率响应。,（,2,）因果稳定的 能够映射成因果稳定的 。,4.3.1,冲激响应不变法,1,变换原理,冲激响应不变法是依据数字滤波器的冲激响应,与模拟滤波器的冲激响应 在采样点上值,相等，即,如果令 是 的拉普拉斯变换，是,的,z,变换，则由模拟系统的系统函数 求拉普,拉斯逆变换得到模拟的冲激响应 ，然后采样得,到 ，再取,z,变换得 。,s,平面和,z,平面之间的对应关系,：,下图显示了冲激响应不变法的,s,域到,z,域的映射关系。,若将 和 代入 ，可得,分析结果表明：,（,1,）当 ，即 时，即,s,平面的虚轴映射到,z,平面的单位圆上；,（,2,）当 时，即,s,平面的左半平面映射到,z,平面的单位圆内；,（,3,）当 时，即,s,平面的右半平面映射到,z,平面的单位圆外。,分析,图,不难发现，从,s,平面到,z,平面是一种多值映射关系，,因此，要求 必须在 内严格带限，且带限于折,叠频率以内时，即,2,混叠失真,时才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤,波器的频率响应而不产生混叠失真，即,但是，任何严格设计的模拟滤波器的频率响应都不是严,格带限的，变换后会产生周期延拓分量的频谱交叠。,由于 是实数，因而 的极点必成共轭对存在，,则 变成 的映射关系为：,，,3,模拟滤波器数字化,例,4-4,已知模拟滤波器的系统函数为,试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函,数。,解,根据冲激响应不变法中,z,平面和,s,平面的映射关系可知，相应,的数字滤波器在 处有一对极点，其系统函数为：,这是一个二阶递归滤波器，在 处有一对共轭极,点，在 和 处有两个零点。,将进行部分分式展开得,4,冲激响应不变法的优缺点,冲激响应不变法的最大优点是保持了模拟滤波器的时域瞬,态特性，具有良好的时域逼近，而且模拟频率和数字频率之,间呈线性映射关系。,冲激响应不变法的主要缺点是有频域混叠，所以它只适,用于带限的模拟滤波器。,4.3.2,双线性变换法,冲激响应不变法是使数字滤波器在时域上模仿,模拟滤波器，但是由于从,s,平面到,z,平面是多值映射,关系，所以产生了频率响应的混叠失真。,为了克服这一缺点，可以采用双线性变换法。,1,变换原理,双线性变换法是使数字滤波器的频率响应 与模拟,滤波器的频率响应 相近似的一种变换方法。它通过将,整个,s,平面压缩变换到某一中介的,s,1,平面的一条横带里（宽度,为 ，即 ），然后再通过标准变换关,系 将此横带变换到整个,z,平面上去，如图所示，,4.3.2,双线性变换法,双线性变换法的映射关系,将,s,平面整个 轴压缩到,s,1,平面轴 上的 ,一段上，可以通过以下的正切映射来实现：,从而得到,s,平面和,z,平面的单值映射关系为：,则这两式就是,s,平面与,z,平面之间的单值映射关系，这种变换方法称为双线性变换法。,(1),(2),将,和 代入,式,得到模拟角频率,和数字角频率 之间的变换关系：,上式的逆双线性变换式为：,下面讨论双线性变换法对变换条件的可满足性：,（,1,）将 代入,式,(1),，可得,即,s,平面的虚轴映射成,z,平面的单位圆。,（,2,）将 代入,式,(2),，可得,因此有,可见，当 时，；当 时，；,当 时，。,因此，稳定的模拟滤波器经过双线性变换后，所得的,数字滤波器也一定是稳定的。,2.,频率预畸变,双线性变换的最大优点是避免了频率响应的混,叠现象。,但是，由于 变换关系是非线性,的，所以 和 之间存在着严重的非线性关系，,这种非线性关系要求模拟滤波器的幅度响应必须是,分段恒定的。,对应分段恒定的滤波器，经过双线性变换后，,仍得到幅频特性为分段恒定的滤波器，但是各个分,段边缘的临界频率点产生了畸变。,这种现象可以通过频率的预畸变来加以校正，,也就是将临界频率事先加以畸变（利用公,式 ），然后再经过双线性变换后,映射到所需要的频率上。,3.,模拟滤波器数字化,模拟滤波器的数字化可以由模拟滤波器的系统函,数 通过,式（,1,）,，得到数字滤波器的系统函,数 ，即,也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统或,级联的子系统，使每个子系统函数都变成低阶的,（如一、二阶），然后再对每个子系统函数分别采,用双线性变换法。,例,4-5,已知模拟滤波器的系统函数,为 ，试利用双线性变换法将其转,换成数字滤波器 。,解,当,T=1,或 时，则,1,冲激响应不变法设计数字低通滤波器,步骤如下：,4.3.3,低通数字滤波器设计,（）确定待求通带边缘频率 、待求阻带边缘频率 和待求,阻带边缘增益 ，通带边缘频率一般对应,3dB,增益。,（）用 把以,Hz,为单位,表示的待求边缘频,率转换成以,rad,为单位的数字频率，得到 和 。,（）模拟频率 和数字频率 之间的转换关系为线性关,系，即：，或 ，求得,和 ，单位是,rad/s,。,（）,由已知的阻带边缘增益,dB,，,确定阻带边缘增,益 。,（）用下式计算所需滤波器的阶数。,（）将代入,N,阶巴特沃斯滤波器的传输函数中，求出的,N,个极点。,（,7,）用下面公式求得所需数字滤波器的传输函数。,2,双线性变换法设计数字低通滤波器,步骤如下：,（）,确定待求通带边缘频率 、待求阻带边,缘频率 、待求的通带边缘增益,dB,和,待求阻带边缘增益,dB,。,（,注意：这时，通带边缘频率不必一定对应,-3dB,增益。）,（）用公式 把以,Hz,为单位的待求边,缘频率转换成以,rad,为单位的数字频率，得到,和 。,（）计算预扭曲模拟频率，以避免双线性变换带,来的失真。由 求得 和 ，,单位是,rad/s,。,（,4,）,由指定的通带边缘增益,dB,，,确定,通带边缘增益 ，并由下式计算参数 ：,（,5,）由指定的阻带边缘增益,dB,，,确定阻带边,缘增益 ，并用下式确定 。,（,6,）用下式确定所需滤波器的阶数,N,。,（,7,）,把 和 代入,N,阶切比雪夫,I,型滤波器,的传输函数 中（由于系统函数通常非常复,杂所以一般借助于滤波器设计软件来完成），并,对 进行双线性变换得到,N,阶数字系统函,数 。,（,8,）把 代入下式即可得到数,字滤波器幅频特性 。,4.3.4,高通、带通和带阻,IIR,数字滤波,器设计,实际应用中的高通、带通和带阻数字滤波器的设,计主要有如图所示的三种方法。,（,a,）,方法一：先进行模拟域频率变换，再数字化,（,b,）,方法二：先数字化，再进行数字域频率变换,（,c,）,方法三：直接对模拟原型进行数字化,方法一,：先进行模拟域频率变换，再数字,化,设计步骤如下：,（,1,）将设计中所给出的数字技术指标转换为模拟,技术指标。,冲激响应不变法采用的转换公式为：,双线性变换法采用的转换公式为：,（,2,）将模拟指标对截止频率进行归一化。,（,3,）将其它类型模拟滤波器（高通、带通和带,阻）的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。,模拟高通滤波器到模拟低通滤波器,（）的技术指标转换方法如图所示。,模拟高通到模拟低通滤波器的技术指标转换,模拟带通滤波器到模拟低通滤波器（）,的技术指标转换方法如图所示。,模拟带阻滤波器到模拟低通滤波器,（）的技术指标转换方法如图所,示。,模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟高通滤波器,的系统函数：,模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带通滤波,器的系统函数：,（,4,）将模拟低通滤波器的系统函数转换为其它类型,模拟滤波器的系统函数（包括去归一化）。,若以上各式中的为归一化后的模拟低通滤波器的,系统函数，则 。,（,5,）模拟滤波器的数字化,采用冲激响应不变,法或双线性变换法。,模拟低通滤波器的系统函数转换为模拟带阻滤波,器的系统函数：,2.,方法二：先数字化，再进行数字域频率,变换,具体转换公式如表所示。,3.,方法三：直接对模拟原型进行数字化,具体转换公式如表所示。,4.4,有限冲激响应（,FIR,）,数字滤,波器设计,4.4.1,FIR,数字滤波器的线性相位特性,由于不同输入频率分量通过滤波器所产生的输出,相位延迟不同，从而产生了相位失真。,确保不产生相位失真的唯一办法是，,使不同输入,频率的信号通过滤波器时有相同的输出相位延迟。,1,相位失真,当信号通过线性滤波器后，输出信号的幅度和相,位会发生改变。,保证所有输出相位延迟相等的方法有两种：,一种是使滤波器所有频率分量的相位特性为零，,但这是不实际的；,另一种方法是随着频率的变化而改变滤波器的,相位特性，则可使所有频率的相位延迟保持恒,定，这种方法可通过使滤波器相位特性为频率,的线性函数来实现。,下面讨论如何设计具有线性相位特性的滤,波器，及为了获得线性相位，,FIR,滤波器应该,满足的条件。,2.,线性相位条件,FIR,滤波器的频率响应为：,用欧拉恒等式展开为,因为 为实序列，则 的相位特性为,有两类线性相位，其定义分别为：,l,第一类线性相位,式中，为用采样点数来表示的与 无关的常数。,l,第二类线性相位,式中，为起始相位。严格地说，这样的 不具有,线性相位，但它的群延迟仍是一个常数，即,所以仍可将其视为具有线性相位，有时也称其为准,线性相位。,对于第一类线性相位，当 时，则有,整理后有,当 时，对称中心为 。,这样，使上式成立的条件是 关于 偶,对称，即要求,对于第二类线性相位，当 时，可用类,似的方法得到,式中余弦函数 为偶对称函数，,当 时，对称中心也为 。这,样，使上式成立的条件是 关于 奇对,称，即要求,FIR,数字滤波器的线性相位特性仅取决于,的对,称性，而与 的取值无关。但其幅频特性取决于,的取值。,所以设计线性相位,FIR,滤波器时，在保证 的,对称性条件下，只需考虑幅度的逼近。,3.,线性相位,FIR,滤波器的频率特性,将频率特性 表示成：,其中 为幅频特性，是一个纯实数，为相,位特性。,已知,FIR,滤波器的冲激响应满足,式,或,式,，因而系,统函数可表示为,进一步改写为,下面分两种情况讨论,FIR,滤波器的频率特性。,（,1,）,当 偶对称，即 时，,频率特性函数为,则幅频特性函数为,相位特性函数为,1),当,N,为奇数时,因为 对于 偶对称，所以 对于,也为偶对称，即,由于在 、和 时，所以可用来,设计低通、高通、带通或带阻滤波器。,2),当,N,为偶数时,因为 对于 奇对称，所以 对于,也为奇对称，即,由于在 和 时，而 时，,所以可用来设计低通或带通滤波器。,（,2,）,当 奇对称，即 时，,频率特性为,则幅频特性函数为,相位特性函数为,1),当,N,为奇数时,因为 对于 奇对称，所以 对于 也为,奇对称，即,由于在 、和 时，所以只能用它设计,带通滤波器。,2),当,N,为偶数时,因为 对于 偶对称，所以 对于 也,为偶对称，即,由于在 和 时，而在 时，,所以可用来设计高通或带通滤波器。,4.4.2,窗函数设计法,1,窗函数设计法的基本思想,FIR,数字滤波器的设计一般是先给出所要求的理,想的滤波器频率响应 ，然后寻找一,组 ，使由其所确定的频率响应,逼近 。,2.,截断效应（吉布斯效应）,用窗函数 对进行直接截断，得到有限长序,列 ，并以 替代 ，肯定会引起误,差，表现在频域就是通常所说的截断效应或吉布斯,效应。,下面以矩形窗为例分析截断效应对信号幅频特性的,影响。,由于,所以，应用复卷积定理可以得到（,1,）式,其中,式中,是矩形窗的幅度函数，在,范围内形成主瓣，两侧形成许多逐渐衰减的旁瓣，,如图所示。,将 和 代入,式（,1,）,中得,其中,上面两式表明，的相位特性函数,是线性的，幅度特性 是理想低通滤波器的幅度,特性 与矩形窗的幅度特性,的卷积，其,卷积过程如图（,a,）（,f,）,所示。,从图中可以看出，对,加矩形窗处理后，其,幅频特性 与原理想低通滤波器的幅频特性,有着明显的区别：,（,2,）在截止频率 的两边 （即过,渡带两侧）形成了逐渐衰减的波纹，在,处达到最大正肩峰，在 处形成最大负肩,峰。,（,1,）在理想特性不连续点 附近形成了过渡,带，过渡带的宽度近似为窗函数频率响应 的,主瓣宽度，即 。,以上两点就是窗函数直接截断 引起的,截断效应在频域的反应。,截断效应直接影响滤波器的性能，因此，减,少截断效应也是,FIR,数字滤波器设计的关键之一。,3.,常用的窗函数,一个理想的窗函数应满足以下两项要求：,（,1,）,窗函数的幅频特性的主瓣要尽可能地窄，以获得较陡的过渡带；,（,2,）窗函数的幅频特性的最大旁瓣的幅度要尽,可能地小，从而使主瓣包含尽可能多的能量。,3.,常用的窗函数,一个理想的窗函数应满足以下两项要求：,常用的窗函数有以下几种：,（,1,）,矩形窗,，,，,矩形窗所对应的冲激响应 如图所示。,矩形窗的冲激响应,矩形窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频,特性如图所示。,（,a,）,矩形窗幅频特性,（,b,）,滤波器幅频特性,（,2,）,汉宁窗,当,N1,时，有,汉宁窗的冲激响应,汉宁窗所对应的冲激响应如图所示。,汉宁窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特,性如图所示。,（,a,）,汉宁窗幅频特性,（,b,）,滤波器幅频特性,（,3,）,海明窗,当,N,1,时，有,海明窗的冲激响应,海明窗所对应的冲激响应如图所示。,海明窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图所示。,（,a,）,海明窗幅频特性 （,b,）,滤波器幅频特性,（,4,）,布莱克曼窗,当,N,1,时，有,布莱克曼窗冲激响应,布莱克曼窗所对应的冲激响应如图所示。,布莱克曼窗的幅频特性及加窗后得到的滤波器的幅频特性如图,4.25,所示。,（,a,）,布莱克曼窗幅频特性 （,b,）,滤波器幅频特性,（,5,）,凯塞窗,其中 为第一类零阶修正贝塞尔函数。定义为：,是一个可以自由选择的参数，它可以同时,调整主瓣宽度与旁瓣电平。越大，则,窗越窄，而幅频特性的旁瓣越小，但主瓣宽度也相,应增加。因而改变 值就可以对主瓣宽度和旁瓣,衰减进行选择。,4.4.3,线性相位,FIR,滤波器的设计,1.,窗函数法的设计步骤,（,1,）,给定所要求的频率响应函数 。,（,2,）求 ，为了保证线性相,位，将 右移 个采样点，使此滤波器,为因果的。,（,3,）,由过渡带宽度和阻带最小衰减的要求，,选择窗函数 的形状及,N,的大小。,窗函数形式的选择原则是：在保证阻带衰减满足要,求的条件下，尽量选择主瓣窄的窗函数。,（,4,）,求得所设计的,FIR,滤波器的单位冲激响应。,（,5,）,求 ，并检验是否满足,设计要求，若不满足，则需要重新设计，选择其他的,窗函数 或改变窗口长度,N,，,重复（,3,）、（,4,）、,（,5,）步。,2.,低通,FIR,数字滤波器的设计举例,举例来说明线性相位,FIR,低通数字滤波器的,设计过程。,例,4-6,根据下列指标设计,FIR,低通数字滤波器：,（,1,）通带边缘频率,2kHz,（,2,）,阻带边缘频率,3kHz,（,3,）,阻带衰减,40db,（,4,）,采样频率,10kHz,解,（,1,）,求出各对应的数字频率。,通带截止频率为,阻带截止频率为,阻带衰减为,dB,（,2,）,确定频率响应函数 。,其中：,（,3,）,确定 ，并进行因果化。,其中,（,4,）,由阻带衰减 确定窗函数，由过渡带宽度,确定窗口长度,N,。,因为阻带衰减为,40db,，,所以可以选择汉宁窗、海,明窗和布莱克曼窗。考虑布莱克曼窗 的过大，,而在 比较接近的情况下，汉宁窗的阻带衰减不,及海明窗，所以选择了海明窗：,海明窗的过渡带宽度归一化因子 ，从而,可确定窗口长度,N,为：,N,取为最接近的奇数，即,N,35,。,（,5,）,求得所设计的,FIR,滤波器的单位冲激响,应。,因为,则,所以有,（,6,）,由 求 ，并,检验各项指标是否满足设计要求，如不满足要求，则,需要 选择其他的窗函数 或改变窗口长度,N,，,来,重新进行设计。,的图形在图中给出，它已经满足设计要求。,设计出的线性相位,FIR,低通滤波器的幅频特性,（海明窗，,N,35,）,4.4.4,高通、带通和带阻,FIR,数字滤波,器的频率移位设计法,1.,高通和带通,FIR,数字滤波器的设计,如果将频域中的单个脉冲函数置于待求滤波器的,中心频率处，则脉冲函数与低通滤波器形状的卷积,就可把双边低通滤波器形状的副本移位到新的位,置，结果就可得到与低通原型有相同形状的高通或,带通滤波器。,下图正说明了这种关系。,以下是高通和带通,FIR,数字滤波器的频率移位设计步骤。,（,1,）,将高通或带通滤波器的设计要求转换为低,通滤波器的设计要求。,1),高通到低通的技术指标的转换,如图所示,高通到低通的技术指标的转换,具体转换内容包括：,高通滤波器的通带边缘频率对应低通滤波器的,通带边缘频率,高通滤波器的阻带边缘频率对应低通滤波器的阻带边缘频率,高通滤波器关于该点对称的中心频率为，对应低通滤波器的原点处；,高通滤波器的过渡带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。,2),带通到低通的技术指标的转换,如图,所示,具体转换内容包括：,l,带通滤波器的通带边缘频率（通带上截止频,率）对应低通滤波器的通带边缘频率；,l,带通滤波器的阻带边缘频率（阻带上截止频率）对应低通滤波器的阻带边缘频率；,l,带通滤波器的中心频率介于之间，对应低通滤波器的原点处；,l,带通滤波器的过渡带宽度等于低通滤波器的过渡带宽度。,带通到低通的技术指标转换,（,2,）,按照低通,FIR,数字滤波器的设计步骤，确定,窗函数 ，并计算该低通数字滤波器的冲激响,应 。,（,3,）,将低通数字滤波器的冲激响应 与,相乘，即可得到相应的高通或带通滤,波器的冲激响应 和 。,对于高通滤波器，此中心频率 ，,即 。则有,2),对于带通滤波器 为其中心频率，介于,之间，即 。则有,2.,带阻,FIR,数字滤波器的设计,对于带阻滤波器，只要选择了准确的通带边缘频,率，通过把低通和高通滤波器结合起来，就可以构造,出带阻滤波器。,低通滤波器为带阻滤波器的低端规定了通带边缘频,率，同时，高通滤波器为带阻滤波器的高端设定了通,带边缘频率，,如图所示。,带阻滤波器的等效低通和高通滤波器,高通滤波器和低通滤波器的冲激响应 和,可以用前面的方法得出。,带阻滤波器的冲激响应就是低通和高通滤波器的,冲激响应之和,。,例,4-7,根据下列指标设计带阻滤波器：,（,1,）通带边缘上截止频率,3.5kHz,（,2,）通带边缘下截止频率,0.5kHz,（,3,）,阻带中心频率,2kHz,（,4,）,过渡带宽度,500Hz,（,5,）,阻带衰减,50db,（,6,）,采样频率,10kHz,解,为了实现该带阻滤波器，需要构造一个低通滤波,器和一个高通滤波器。,（,1,）构造低通滤波器,根据前面的例子可知，该低通滤波器的设计采用海明,窗，窗口长度,N,69,，,所以该低通滤波器的冲激响应,为：,应用例,4-13,的方法，则该等效低通滤波器的设计也采,用海明窗，窗口长度也为,N,69,，,其冲激响应,为 ：,（,2,）构造高通滤波器,因为该高通滤波器的中心频率 ，所以其,冲激响应 为：,如图所示,（,3,）求得带阻滤波器的冲激响应,带阻滤波器的冲激响应和幅频特性,4.4.5,频率采样法,1.,频率采样法的设计思想,频率采样法的基本设计思想是使所设计的滤波,器的频率特性在某些离散的频率点上的值，准确地等,于所需滤波器在这些频率点上的值，在其他频率处的,特性则有较好的逼近。,频率采样法的基本设计流程如图：,其中,上面讨论的是频率采样法的基本设计思想，但在应,用频域采样法设计滤波器时，还需要考虑以,下两个问题：,（）为了保证 具有线性相位，对采样频率,应加以怎样的约束条件。,（）如何确定并减少迫近误差。,2,线性相位的约束,正如在,4.4.1,节中所论述的，具有线性相位的,FIR,滤波器，其单位冲激响应 是实序列，且满足线,性相位的条件：,那么满足第一类和第二类线性相位的幅度特性和相,位特性,，,就是对采样 的约束条件。,首先，将 写成幅度和相位的形式：,式中,这里主要讨论一下当 时 的,取值，具体分为,N,为奇数和 数两种情况。,当,N,为奇数时，对于,偶对称，即,则有,这就是幅度特性 必须满足的约束条件。,对于相位，因为,，所以,若以 代替上式中的 ，则有,当,N,为奇数时，为偶数，因此有,所以，当,N,为奇数时，频域采样值的幅度和相位的约束为：,同理，当,N,为偶数时，频域采样值的幅度和相位,约束为：,3,设计误差及内插公式,（,1,）,时域分析,如果带设计的滤波器的频率响应 对应的,单位冲激响应 为：,根据频域采样定理，对 在频域,0,2,等,间隔的,N,个采样值进行,IDFT,所得到的 应是,以,N,为周期进行 延拓后的主值区间，即,（,2,）,频域分析,频域等间隔采样值 经,IDFT,变换后得,到 ，其,z,变换 和 的关系为：,将 代入上式，得,的内插公式,其中,则,的内插公式,4.4.6,FIR,滤波器的最优化设计,最优化的设计应是将所有采样值作为变量，在,某一优化准则下，通过计算机进行迭代运算得到的,最优结果。,设计,FIR,滤波器的最优化准则有两种，即均方,误差最小准则和最大误差最小化准则。,应用两类线性相位的条件，将四种形式的线性,相位,FIR,滤波器的幅频响应用统一的公式表达为：,1.,线性相位,FIR,滤波器频率响应的统一表示,利用三角函数恒等变换，可将 写成两项相,乘的形式，其中一项是,的固定函数 ，另一,项为余弦求和式 ，即,2.,最大误差最小化准则及其数学模型,最大误差最小化准则的加权切比雪夫等波纹逼近方,法是根据设计要求，导出一组条件，使整个逼近区域,（通带和阻带）上的逼近误差最小。,为了统一使用最大误差最小化准则，采用误差函数加,权的方法，设定一个误差加权函数,在不同的,频带可以取不同的值。,加权逼近误差函数定义为：,因为,所以,令,则可得到如下数学模型,上式即是加权逼近误差函数的最终表达式。,3.,交错定理,定理,1,：若 是,r,个余弦函数的线性组合，,即,A,为闭区间 内的一个闭区间（包括各通带和,阻带，但不包括过渡带），,是,A,上的一个连,续函数。,那么，,是,的唯一地和最佳地加权切,比雪夫逼近的充要条件是：,加权逼近误差函数,在区域,A,上至少有（,r,+1,）,个极值频率点，即在区域,A,上必须存在（,r,+1,）,点 ，且 ，使,得,其中,若,为理想低通滤波器，用切比雪夫逼近法,得到的幅频特性如图,所示。,的极值包括以下两种：,（,1,）的极值点；,（,2,）单有的极值点（不属于 的极值点）。,以第一种类型的线性相位滤波器为例来研究 的,极值点的最大数目。,4.,极值点数目的限制,第一类线性相位的幅频函数为：,利用三角公式将余弦的倍角化为余弦的多项式形,式，即,由,上两式可得,令 ，并将式中 的同次幂合并，,则上式可表达为,上式中 是与 和 有关的常系数，通,过合并 的同次幂项系数而得到。为求极值频,率，取 对 的导数，,可得,对线性相位,FIR,滤波器第一种情况，的极值点,数目 应满足 ，同样可求得其他三,种情况的极值点数目 。,其次，我们来看 单独具有的极值点。可以看,出，如果要在几个频带上求逼近问题，很显然在每,个频带的端点上误差函数会得到一个极值，而且这,些点一般不是 的极值点（和,除外）。,预先知道极值点的最大数目很重要，根据交错定,理，我们可以预先给出闭区间,A,上的,r,+1,个极值点的,初始猜测位置，然后用计算机辅助设计的方法，最,后确定这些极值频率点的位置。,在,CAD,中，瑞米兹（,Remez,）交换算法是其中最,为实用和有效的算法，它可以设计任何最优线性相,位,FIR,滤波器。,5.,瑞米兹交换算法,这一算法是给定单位冲激响应长度,N,、,通带截止,频率,和阻带截止频率 来进行设计的。其算法,原理框图如图所示。,第一步：设定（,r,+1,）,个极值点频率,的初始猜测值，并计算极值点上的最优化误差 。,第二步：运用内插法计算 。,第三步：计算误差函数 并求出,处的新的极值点。,如果在这组频率的所有频率上都有 ，,则最佳逼近已经找到，计算即可结束。,如果发现在某些频率点上 时，就必须,找出误差曲线上的（,r,+1,）,个极值频率点，以它们作,为新的极值频率点代替初始猜测值，再次重复进行,上面的计算，从而构成新一轮的迭代。,由于每次迭代得到的新交错点形成的一组频率都,是 的局部极值点频率，因此 是递增的，通,过多次迭代，最后收敛于自己的上界，所以当 与,其前一次迭代的值 相同时迭代即终止，此时问题,得到求解。,通过瑞米兹迭代运算可求得 ，且 满,足 。因为 是实数，所以,有,第四步：计算 的系数,（或 、）。,若要求出单位冲激响应 ，就要求得 。多项,式 的系数 通常是通过计算 的,个采样值 的,IDFT,得到，即,从而可确定滤波器的单位冲激响应 。,4.5,数字滤波器的基本结构,一个数字滤波器可以用传输函数 表示，也可以用差,分方程描述。那么，一个滤波器在具体实现时，也可以有以,下两种方法：,（,1,）,软件实现：把滤波器所要完成的运算编成程序让计算机执行。,（,2,）,硬件实现：设计专用的数字硬件、专用的数字信号处理器或采用通用的数字信号处理器来实现。,无论用软件还是用硬件，实现一个数字滤波都需要,以下几种基本的运算单元：,（,1,）,加法器,（,2,）,乘法器,（,3,）,延迟单元,其信号流图如下：,4.5.1 IIR,数字滤波器的基本结构,无限冲激响应（,IIR,）,滤波器系统所对应的是递归,差分方程：,即,IIR,滤波器的基本结构有：,直接,I,型、直接,II,型、级联型和并联型。,1,直接,I,型实现,下图是按照上式直接画出的流图，其中 。,这种形式的流图被称为递归差分方程的直接,I,型实现。,例,4-8,画出下列差分方程所描述的递归数字滤波器的直接,I,型流图：,解,可以画出流图如图所示。,将差分方程重新排列如下：,2.,直接,II,型实现,这一实现需要用中间信号 代替过去的,M,个,输入和,N,个输出，仅记录,max,（,N,M,）,个中间信号,的采样值以产生新的滤波器输出。,直接,I,型滤波器的结构对于,IIR,非递归差分方程的,实现不是最有效的方法。如果采用直接,II,型，所用,的存储器要少得多。,定义直接,II,型实现的方程为：,其中假设 。,把以上两个方程结合起来，就可以产生入如下,图所示的输入为 、输出为 的直接,II,型结构流图。,颠倒,图,中的信息流，可以得到直接,II,型流结构的,转置型结构，它给出了另一种通用的实现模型,，,如,图所示。,由于减少了过去输入和输出状态的存储，直接,II,型,较直接,I,型节省了存储单元（软件实现）或寄存器,（硬件实现），而且也减少了延迟单元，所以直接,II,型又称为典范型。,例,4-9,写出该流图的差分方程。,解,由上图所得的滤波器的差分方程为：,4.5.2 FIR,数字滤波器的基本结构,有限冲激响应（,FIR,）,滤波器系统所对应的是非递,归差分方程：,即,根据差分方程，可得到,FIR,型滤波器的基本结构如下,图所示：,例,4-10,画出下列差分方程的结构流图：,解,以上差分方程的结构流图,如图所示,。,与,IIR,型滤波器一样，,FIR,型滤波器在实现时系数,量化也会受到有限字长效应的影响，从而产生误差。,为了减少这些误差，有效的方法也是把高阶滤波,器分解成若干个二阶或一阶（阶数为奇数的情况,下）滤波器子系统，然后再将它们级联起来。,下图,为,FIR,滤波器的级联型结构。,例,4-11,写出下图所示的级联型结构,流图的差分方程。,解,第二级的差分方程为：,第一级的差分方程为：,第三级的差分方程为：,因为第一级的输出等于第二级的输入，,即 ；第二级的输出等于第三级的输,入，即 ，则可求得级联系统总的输,出 与输入 之间的关系。,将第二级的输出代入第三级有：,同样，将第一级的输出代入上式有：,