高数-无穷级数3.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、函数项级数的一般概念,1.定义:,2.收敛点与收敛域:,3.和函数:,二、幂级数及其收敛性,1.定义:,2.收敛性:,证明,由(1)结论,几何说明,收敛区域,发散区域,发散区域,推论,定义:,正数,R,称为幂级数的,收敛半径,.,幂级数的收敛域称为幂级数的,收敛区间,.收敛区间可以是下列四种情形之一:,规定,则,这个幂级数的收敛半径为,证明,由比值审敛法,定理证毕.,例,2,求下列幂级数的收敛区间:,解,缺少偶次幂的项,级数收敛,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为,三、幂级数的运算,1.代数运算性质:,(,1)加减法,(其中,(2)乘法,(其中,柯西乘积,2.和函数的分析运算性质:,注意,:如果收敛区间包含端点,则和函数在区间的端点处单侧连续.,逐项积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径.,逐项求导后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径.,解,两边积分得,解,收敛区间(-1,1),常用已知和函数的幂级数,四、小结,2.幂级数的收敛性:,收敛半径,R,3.幂级数的运算:,分析运算性质,1.函数项级数的概念:,思考题,幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？,思考题解答,不一定.,例,它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是,练 习 题,练习题答案,