概率论基础第二版第四章 数字特征与特征函数.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,概率论,Probability Theory,中央民族大学理学院,xuciwen,徐赐文,第四章 数字特征与特征函数,内容提要,数学期望,方差、协方差、相关系数,随机变量的不相关,中心矩、原点矩,特征函数,典型问题,掌握数学期望的定义、性质、求法及应用,掌握方差、相关系数的定义、性质、求法,了解特征函数的定义、性质、求法及应用,我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地描述了随机变量的统计规律,.,但在许多实际问题中,这样的全面描述并不使人感到方便,许多情况下也不必要,.,1,数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,例,0,有,A,，,B,两射手，他们的射击技术如表所,示，试问哪一个射手本领较好？,0.3,0.5,0.2,0.6,0.1,0.3,概率,10,9,8,10,9,8,击中环数,B,A,射手名称,5,4,16,21,28,17,10,3,只数,N,k,3,2,1,0,-1,-2,日,走时误差,x,k,则抽查到的,100,只手表的平均日走时误差为,即,例,00,某手表厂在出厂产品中,抽查了,N=100,只手表的日走时误差,其数据如表,:,频率,频率,定义,4.4.1,设离散型随机变量,x,的概率分布为,如若,则称,为随机变量,x,的,数学期望,记为,E,x,.,如果,则称随机变量,x,的,数学期望不存在,.,即此时,E,x,=,注,随机变量,x,的,数学期望由,x,的,概率分布惟一确定,.,所以,A,的射击技术较,B,的好,.,0.3,0.5,0.2,0.6,0.1,0.3,概率,10,9,8,10,9,8,击中环数,B,A,射手名称,例,0,有,A,，,B,两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？,解,A,射击平均击中环数为,B,射击平均击中环数为,解,分布律为：,X,0,1,2,3,P,0.3,0.4,0.2,0.1,平均废品数为：,例,2(p173,例,5),设随机变量,x,具有如下的分布，求,E,x,.,解,虽然有,收敛,但,发散,因此,E,x,不存在,.,（,1,）,0-1,分布数学期望,设,x,的分布列为：,x,0,1,P,q,p,则,其中,注,在伯努利试验中,这里的,（,2,）,二项分布数学期望,设随机变量,x,服从二项分布,即,则随机变量,x,的数学期望,E,x,=n p,.,证明,（,3,）泊松分布数学期望,证明,设随机变量,x,服从泊松分布,即,则随机变量,x,的数学期望,E,x,=,.,（,4,）,超几何分布的数学期望,设,（,5,）几何分布的数学期望,设随机变量,x,服从几何分布,即,证明,其中,0q=1-p1,k=1,2,则随机变量,x,的数学期望,E,x,=1/p.,例,3(p174,例,6),押宝,一种赌博形式,规则如下：由庄家摸出一只棋子放在密封的盒中，这只棋子可以是红或黑的将、士、象、车、马、炮之一。赌客把钱押在赌台上的这,12,个字上。押定开盒，凡押中者,(,字和颜色都对,),。以一比十的得到奖金。不中者押金归庄家,(,假设每次押,1,元,),。,看看你得钱,x,的分布列：,因此 其数学期望为,Ex=,11/12,。支出（,1,元）和期望收入（,11/12,）明显“吃亏”。,二、离散型随机变量的数学期望的应用,例,4(p174,例,7)(,彩票,),彩票的发行,每张面值,1,元,设,x=,“,每一张彩,票可能的获奖数,(,元,)”,其概率分布如下,求,E,x,解,=0.5(,元,),即平均每张彩票获奖,0.5(,元,),例,5(p175,例,8)(,保险,),这里主要问题是如何,确定保险费,.,在保险,学中,收取保险费的原则是,:,被保险人交的“纯保险费”与他们所能,得到的赔偿金的期望值相等。,分析,设,N,个人参加保险，每人交的纯保险费，,a,元，出事的,概率为,p,，出事赔偿金为,b,元，则,a,与,b,有如下关系,：,设,x=,“N,个人中出事的人数,”，,则,x,B,(,N,p,),，且有：,由收取保险费的原则可知：,Na=,bE,x,=,bNp,即：,a=b p,确定,保费,例,6(p175,例,9)(,投资之决策,),投资总具有一定的风险，通过计算,期望收益来,确定投资方向。,某人有,10,万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为,30%,，可得利润,8,万元，失败的机会为,70%,，将损失,2,万元，若,存入银行，同期间的利率为,5%,，问是否应作此项投资？,分析,设,x,为投资利润，则,x,的概率分布为：,因而投资期望收益为：,而同期存入银行的收收益为,=10*5%=0.5(,万元,),值得冒险,投资！,例,7(p176,例,10)(,一种验血新技术,),在一个人数很多的单位中普,查某疾病,N,个人去验血,.,对这些人的血的化验可以用两种办法进,行,.(1),每个人的血分别化验,这时需化验,N,次,;(2),把,k,个人的血混,在一起进行化验,.,如,结果是阴性,的,那么对这,k,个人只作,一次,检验,就够了,;,如,结果是阳性,必须对这,k,个人再逐个分别化验，此时共,需,k,+1,次,化验,.,假定每个人化验呈阳性反应的概率为,p,且每个人反,应是独立的,则当,p,相当小时采用办法,(2),能减少化验次数。,分析,设,x,为每个人的血化验次数,(,k,个人一组,),q,=1-,p,则,x,的概率,分布为,:,因此,所以，当,化验次数减少。,三、连续型随机变量的数学期望,我们已知,离散型随机变量,x,的数学期望为,E,x,=,自然要问连续型随机变量的数学期望是什么,?,设,p(,x,),是连续型随机变量,x,的密度函数,取分点,x,0,x,1,0,常数,),求,W,的数学期望,.,解,因为随机变量,V,的密度函数为,所以,例,12(p181,例子,4),（,报童问题,）,设某报童每日的,潜在,卖报数,服从参数为,l,的泊松公布。如果每卖出一份报可得报酬,a,，卖,不掉而退回则每份赔偿,b.,若某日该报童买进,n,份报，试求其期,望所得，进一步，还要求最佳的卖出份数,n.,解 设实卖报数为,x,，则实卖报数与潜在卖报数的关系：,由已知条件可得：,解（续）设所得为,h,，则所得与实卖报数的关系为：,所以期望所得为：,例,13,（,p182,例,15,）,假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的,需求量,是随机变量,x,(,吨,),且,x,U2000,4000.,设每售出这种商品,1,吨，可为国家挣得外汇,3,万元,，但假如销售不出而屯积于仓库，则每吨需浪费保养费,1,万元,，问题是要确定应组织多少货源，才能获利最大,?,解,以,y(,吨,),表示进货数,则所得收益为（万元）：,x,的概率密度为,由,得：当,y=3500(,吨,),时，期望利益达最大。,于是,定义,4.1.4,随机向量 的数学期望为,其中,六、多维随机变量的数学期望,这里，为 的联合分布函数，为,注,若,则,七、数学期望的基本性质,性质,1,若,a,x,b,则,a,E,x,b,；,特别地，,E,(c)=c,c,为常数。,性质,2,（线性性）,对任意常数,重新计算,超几何分布的数学期望,设,背景,在一袋中有,N,件产品,其中次品,M,件,现进行不放回地取,n,件产品，求次品数为,x,的数学期望。易知,令,则,且,本节书面作业,习题四（,P245,）,第,1-1,、,2,、,3,、,5-1,、,7-1,8,、,9,、,10,、,11-1,题,2,方差、相关系数、矩,例,0,A,，,B,两种手表的日走时误差分别具有如下的分布律,：,易知,E(X,A,)=E(X,B,)=0.,由数学期望无法判别两种手表的优劣,.,但直觉告诉我们,A,优于,B,怎么样用数学的方法把这种直觉表达出来呢,?,一、方差,分析,A,手表之所以优于,B,手表,是因为,A,手表的日走时较,B,手表稳定,.,其日走时与其日平均误差的偏离程度小,.,研究,随机变量与其均值的偏离程度,是有必要的,.,怎么样去度量这个偏离程度呢,?,(1),x,k,-E(X),表示,x,k,与,E(X),之间的偏差;,(2),EX-E(X),不能反映,X,与,E(X),之间的整体偏差;,(3)E|X-E(X)|,可以度量,X,与,E(X),之间的整体偏差,但运算不方便,;,(4)E,X-E(X),2,可以度量,X,与,E(X),之间的整体偏差,且运算也较方便,.,定义,4.2.1,设,x,是一个随机变量,若,E,x,-E,x,2,存在,则称它为,x,的,方差,(variance),.,记为,D,x,或,Var(,x,),即,D,x,=,Var(,x,)=E,x,-E,x,2,称为,x,的,标准差,或,均方差或根方差,.,定理,证明,D,x,=E,x,-E,x,2,=E,x,2,-2,x,E,x,+E,x,2,=E,x,2,-2E,x,E,x,+E,x,2,=E,x,2,-E,x,2,方差实际上是随机变量,x,的函数,f(,x,)=,x,-E,x,2,的数学期望,.,于是,对于离散型随机变量,x,若,P,x,=,x,k,=,p,k,k=1,2,则,对于连续型随机变量,x,若其概率密度为,p(,x,),则,例,0,A,，,B,两种手表的日走时误差分别具有如下表的分布律,.,问哪种手表质量好些,?,解,易知,E(X,A,)=E(X,B,)=0.,所以,由于,D(X,A,)0=0,从而,P|,x,E,x,|=0=1,即,P,x,=C,=1.,为什么,四、,随机变量的协方差,E,(,x,h,)=(,E,x,E,h,),只反映了,x,与,h,各自的平均值,但二维概率密度,p,(,x,y,),或分布列,p,ij,全面地描述了,(,x,h,),的统计规律,也包含有,x,与,h,之间关系,的信息,.,(,x,h,),的方差,(,D,x,D,h,),只反映了,x,与,h,各自离开均值的,偏离程度,它们对,x,与,h,之间相互关系不提供任何信息,.,由于,若 相互独立,则有,所以,特别,若,x,与,h,独立,有,即,定义,4.4.2-1,任意两个随机变量,x,和,h,的,协方差,记为,Cov,(,x,h,),定义为,Cov,(,x,h,z,)=,Cov,(,x,z,)+,Cov,(,h,z,),Cov,(,x,h,)=,Cov(,h,x,),简单性质,Cov,(,a,x,b,h,)=,ab,Cov(,x,h,),a,b,是常数,Cov(,x,h,)=,E,x,E,x,h,E,h,证明,(1),Cov(,x,h,)=,E(,x,E,x,)(,h,E,h,),=,E(,h,E,h,)(,x,E,x,),=,Cov(,h,x,),证明,(2),Cov(,a,x,b,h,)=,E,(,a,x,E,(,a,x,)(,b,h,E(,b,h,),=,E,a,(,x,E,x,),b,(,h,E,h,),=,abE,x,E,x,h,E,h,=,ab,Cov(,x,h,),证明,(3),Cov(,x,h,z,),=,E,(,x,h,)-,E,(,x,h,),z,E,z,=,E,(,x,E,x,),(,h,E,h,),z,E,z,=,E,x,-E,x,z,E,z,+,h,E,h,z,E,z,=,E,x,E,x,z,E,z,+,E,h,E,h,z,E,z,=,Cov(,x,z,)+Cov(,h,z,),Cov,(,x,h,)=,E,xh,E,x,E,h,可见，若,x,与,h,独立，,Cov,(,x,h,)=0.,计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov,(,x,h,)=,E,x,E,x,h,E,h,=,E,xh,E,x,E,h,E,h,E,x,E,x,E,h,=,E,xh,E,x,E,h,即,若,x,1,x,2,x,n,两两独立,，有,D,(,x,+,h,)=,D,x,+,D,h,+2,Cov,(,x,h,),随机变量,和的方差与协方差的关系,特别,n,维随机变量 的,协方差,矩阵,令,此时,此时下列矩阵称为 的,协方差矩阵,:,简记为,:,可证明,B,是,一个,非负定矩阵,协方差的数值在一定程度上反映了,x,与,h,相互间的联系,但它受,x,与,h,本身数值大小的影响,.,如令,x,*,=,k,x,h,*,=,k,h,这时,x,*,与,h,*,间的相互联系和,x,与,h,的相互联系应该是一样的,但是,Cov(,x,*,h,*,)=,k,2,Cov(,x,h,),为了克服这一缺点,在计算,x,与,h,的协方差之前,先对,x,与,h,进行标准化,:,再来计算,x,*,和,h,*,的协方差，这样就引进了相,关系数,的概念,.,五、随机变量的相关系数,定义,4.2.3,设二维随机变量,(,x,h,),的方差,D,x,0,D,h,0,协方差,Cov(,x,h,),均存在,则称,为随机变量,x,与,h,的,相关系数,(correlation coefficient).,注意,当,x=,C,时，认为,x,与任意随机变量,h,的相关系数为,0,。,定理,4.2.1(,柯西,-,施瓦兹不等式,),对于二维随机向量,(,x,h,),若,E,x,2,E,h,2,存在,则有,|,E,xh,|,2,E,x,2,E,h,2,证明,考虑实变量,t,的二次函数,h(t)=,E,(t,x,h,),2,=t,2,E,x,2,2t,E,xh,+,E,h,2,因为对一切,t,有,(,t,x,h,),2,0,所以,h(t)0.,从而二次方程,h(t)=0,或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得,|,E,xh,|,2,E,x,2,E,h,2,相关系数的性质,性质,1,随机变量,x,和,h,的相关系数满足,|r,xh,|1.,性质,2,|,r,xh,|=1,的充要条件是,存在常数,a,b,使得,P,h,=,a,+,b,x,=1.,性质,3,若,x,与,h,相互独立,则,r,xh,=0.,性质,1,随机变量,x,和,h,的相关系数满足,|r,xh,|1.,证明 令,则,从而,|r,xh,|1.,性质,2|,r,xh,|=1,的充要条件是,存在常数,a,b,使得,P,h,=,a,x,+,b,=1,证明,令,由,r,xh,2,=,E,(,x,*,h,*,),2,E,(,x,*2,),E,(,h,*2,)=1,知,|,r,xh,|=1,等价于,E,(,x,*,h,*,),2,E,(,x,*2,),E,(,h,*2,)=0,它又等价于,h(t)=,E,(t,x,*,h,*,),2,=0,有重根,t,0,.,又因为,E,(t,0,x,*,h,*,)=t,0,E,(,x,*,),E,(,h,*,)=0,所以,D(t,0,x,*,h,*,)=0,由方差的性质知它等价于,Pt,0,x,*,h,*,=0=1,即,P,h,=,a,x,b,=1,其中,a,=t,0,(,h,)/(,x,),b=,E,(,h,),t,0,E,(,x,),(,h,)/(,x,).,性质,3,若,x,与,h,相互独立,则,r,xh,=0.,证明,若,x,与,h,相互独立,则,E,(,xh,)=,E,x,E,h,又,Cov(,x,h,)=,E,(,xh,),E,x,E,h,所以,相关系数的含义,考虑以,x,的线性函数,a,b,x,来近似表示,h,.,以均方误差,e,=,E,h,(,a,b,x,),2,=,E,h,2,b,2,E,x,2,a,2,2,bE,xh,2,abE,x,2,aE,h,来衡量以,a,b,x,近似表达,h,的好坏程度,.,e,的值越小表示,a,b,x,与,h,的近似程度越好,.,为此令,从而得,解得,相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量,.,当,|,r,xh,|=1,时,说明,x,与,h,间存在着线性关系,(,除去一个零概率事件以外,).,当,|,r,xh,|1,时,这种线性相关程度随着,r,xh,的减小而减弱,.,定义,4.2.4,(1),当,r,xh,=1,时,称,x,与,h,正线性相关,;,(2),当,r,xh,=,1,时,称,x,与,h,负线性相关,;,(3),当,r,xh,=0,时,称,x,与,h,不相关,.,注,(1),x,与,h,不相关,只是意味着,x,与,h,不线性相关,但可能存在着,别的函数,关系,;,(2),若,r,xh,存在,则当,x,与,h,独立时,x,与,h,一定不相关,;,但,x,与,h,不相关时,x,与,h,不一定独立,.,定理,4.2.2,对随机变量,x,与,h,，,下面各项等价：,(1),Cov(,x,h,)=0,;,(2),x,与,h,不相关,;,(3),E,xh,=,E,xEh,;,(4),D,(,x,+,h,),=,D,x,D,h,.,定理,4.2.3,若随机变量,x,与,h,独立,，,则,x,与,h,不相关。,o,x,h,o,o,o,x,x,x,h,h,h,0,r,1,1,r,0,r,=1,r,=,1,相关情况示意图,例,4,设随机变量,q,U,又,x,=,sin,q,h,=,cos,q,试求,x,与,h,的相关系数,r,.,解,这时有,有,Cov(,x,h,)=,E,xh,E,x,E,h,=0,即,r,=0.,从而,x,与,h,不相关,没有线性关系,;,但是,x,与,h,存在另一个函数关,x,2,+,h,2,=1,从而,x,与,h,是不独立,的,.,例,5,设,(,x,h,),N,(,a,1,a,2,s,1,2,s,2,2,r,),求,x,和,h,的相关系数,.,解,设,(,x,h,),的概率密度为,p,(,x,y,),则,作变量替换：,即,所以,例,6,设,(,x,h,),N,(,a,1,a,2,s,1,2,s,2,2,r,),求,x,和,h,的相关系数,.,解（续）,注,若,(,x,h,),服从二维正态分布,则,x,和,h,相互独立的充要条件是,r,=0,(,即,x,和,h,不相关,).,例,7(p194,例,8),（,学生自做,）（此例边际分布是正态分布,而联合分布不是正态分布）,二维正态随机变量的协方差矩阵,例,8(p195,例,9)(,在抽样调查中的应用,）袋中有,N,张卡片，各记以,不放回地从中抽出,n,张,求其和的数学期望与方差。,抽样调查,(sample survey),以随机的方式抽取若干个体作调 查，利用所得数据算出估计值，并给出估计值的精度。,简单随机抽样,总体由有限个个体组成且满足,:(1),每一个个体被抽到的机会相同,;(2),每一个个体与总体的分布相同。,解,取一张时，其数字,x,的均值及方差分别为,及,若以 记,n,张卡片的数字之和，以 记第,i,次抽得的卡片上的数字，则,解（续）,因此,所以,下面求得上式最后的协方差即可：当,n=N,时，,因此,故,最后有,有限修正因子,例,9,（,p196)(,现代证券组合理论,Markowitz,均值,方差理论,）（,学生自看,）,定义,4.2.5,设,x,和,h,是随机变量,(1),若,E,x,k,(,k,=1,2,),存在,则称它为,x,的,k,阶原点矩,简称,k,阶矩,.,(2),若,E,x,-,E,x,k,(,k,=1,2,),存在,则称它为,x,的,k,阶中心矩,.,(3),若,E,(,x,k,h,l,)(,k,l,=1,2,),存在,则称它为,x,和,h,的,k,+,l,阶混合矩,.,(4),若,E,x,-,E,x,k,h,-,E,h,l,(,k,l,=1,2,),存在,则称它为,x,和,h,的,k,+,l,阶混合中心矩,.,六、矩,(moment),设,n,维随机变量,(,x,1,x,2,x,n,),其协方差矩阵,C,和向量,X,与,分别为,若,(,x,1,x,2,x,n,),的密度函数为,则称,(,x,1,x,2,x,n,),是,n,维正态的随机向量,或服从,n,维正态分布,记为,N,(,C),.,n,维正态分布的性质,(1),n,维随机变量,(,x,1,x,2,x,n,),服从,n,维正态分布的充要条件是,x,1,x,2,x,n,的任意线性组合,k,1,x,1,+,k,2,x,2,+,k,n,x,n,服从一维正态分布,.,(2),若,(,x,1,x,2,x,n,),服从,n,维正态分布,设,h,1,h,2,h,m,是,x,j,(j=1,2,n),的线性函数,则,(,h,1,h,2,h,m,),服从,m,维正态分布,.,(3),若,(,x,1,x,2,x,n,),服从,n,维正态分布,则“,x,1,x,2,x,n,相互独立”与“,x,1,x,2,x,n,两两不相关”是等价的,.,定义,1,如果,离散型随机变量,x,在,h,=,y,j,的条件下的条件分布列为,P,x,=,x,i,|,h,=,y,j,又若,则称,为,x,在,h,=,y,j,的条件下的,条件数学期望,简称为条件期望,并记作,E,x,|,h,=,y,j,.,类似地有,E,h,|,x,=,x,i,的定义,.,七、条件数学期望,定义,2,如果连续型,随机变量,x,在条件,h,=,y,下的条件概率密度为,p,x,|,h,(,x,|,y,),若,则称,为,x,在条件,h,=,y,下的条件数学期望,或简称为条件期望,.,类似地有,E,h,|,x,=,x,的定义,.,例,设,(,x,h,),N,(,m,1,s,1,2,;,m,2,s,2,2,;,r,),如果已知,h,=,y,试求,E,x,|,h,=,y,.,解 由第三章同理,可求得：,这是,N,(,m,1,+,rs,1,(,y,m,2,)/,s,2,s,1,2,(,1,r,2,),分布的密度函数,因而均值为,E,x,|,h,=,y,=,m,1,+,rs,1,(,y,m,2,)/,s,2,条件数学期望的应用,设,(,x,h,),是二维随机向量,如果已知其中某个随机变量的取值,h,=,y,要据此去,估计或预测,另一个随机变量,x,的取值,.,条件数学期望,E,x,|,h,=,y,是在已知,h,=,y,发生的条件下,对,x,的一个“合理”的预测,.,一般情形下,由,(,E,x,|,h,=,y,y,),或,(,x,E,h,|,x,=,x,),可以得到平面上的两条曲线,称它们为,回归曲线,或简称为,回归,(,第一类回归,),.,把条件数学期望,E,x,|,h,=,y,作为在已知,h,=,y,发生的条件下,对,x,的一个预测是“合理”,.,下面讨论其合理性,.,已知,E,x,|,h,是,h,的函数,现在不妨设还有,h,的函数,f,(,h,),可以作为,对,x,的估计,.,这时要求,E,x,f,(,h,),2,=min,.,如果,(,x,h,),的密度函数为,p,(,x,y,),就有,由方差的性质,(,C,E,x,时,有,E,x,E,x,2,E,(,x,C,),2,),知,当,f,(,h,)=,E,x,|,h,=y,时,达到最小,从而当,f,(,h,)=,E,x,|,h,时也可使,E,x,f,(,h,),2,达到最小,.,对离散型也可类似证明这个结论,.,在实际应用中,常只要求在,L,(,h,)=,a,h,+,b,中能使均方误差达到最小,即确定常数,a,b,使,(,a,b,)=,E,x,(,a,h,b,),2,=min,为此令,解此方程组得,其中,s,1,是,x,的标准差,s,2,是,h,的标准差,r,是,x,与,h,的相关系数,.,于是,在线性函数类中得到均方误差最小的线性估计是,通常称为,第二类回归,.,最佳线性估计,的均方误差称为,剩余方差,剩余方差为,定理,把,E,x,|,h,=,y,看成是,h,的函数,当,h,=,y,时这个函数取值为,E,x,|,h,=,y,记这个函数为,E,x,|,h,它是一个随机变量,则有,E,(,E,x,|,h,)=,E,x,.,本节书面作业,习题四（,P245,）,第,1-2,、,5-2,、,7-2,、,11-2,、,14,15,、,23,、,25,、,28,、,31,题,5,特征函数,特征函数是处理许多概率论问题的有力工具,.,它能把寻求独立随机变量和的分布的卷积运算转换成乘法运算,.,它能把求分布的各阶原点矩,(,积分运算,),转换成微分运算,.,它能把寻求随机变量序列的极限分布转换成一般的函数极限问题,.,它能完全决定分布函数,.,它具有良好的分析性质,函数,一、,特征函数的定义,定义,1,设,x,与,h,是某概率空间的实值随机变量，则称,z,=,x,+,i,h,为,复随机变量,。,注,（,1,）,Ez,=,Ex,+,i,E,h,注,（,2,）欧拉公式,定义,2,设,随机变量,x,的分布函数为 则称,为,x,的,特征函数,（,characteristic function,）,.,注,（,2,）特征函数的定义域为实数空间，且由分布函数惟一确定。,二、,特征函数的计算,常用分布的,特征函数,三、,特征函数的性质,证明,证明,证明,证明,证明,常用分布的,特征函数,证明,证明,证明,证明,证明,四、,分布函数的再生性,本节书面作业,习题四（,P245,）,第,48,、,50,、,52,、,57,题,