行列式的概念(1).ppt

,Zhouxl,在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为,线性的,和,非线性的,两大类。线性代数主要是研究,线性函数,，把问题化为求解线性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以计算的,高阶线性代数方程组,的解可以很快地算出来，这就促进了线性代数的广泛应用和发展。,行列式,和,矩阵,是讨论和解线性方程组的重要工具。,10.1 n,阶行列式,1.1,二阶行列式,设二元线性方程组为,1.,二、三阶行列式,用消元法求得,当,时,可得该方程组的惟一解,化为,定义,1,规定式,并称该式左端为,二阶行列式,右端为,二阶行列式的展开式,a,ij,(,i=,1,2,;j=,1,2),称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列,其中,i,为行标，,j,为列标。,=3,5,24,例,1,计算下列行列式,解原式,=,解原式,=15,8,=,1.2,三阶行列式,定义,2,定义用,3,2,个数组成的记号,“,对角线法,”,例,2,计算下列三阶行列式：,练习（书,P233,）,1.3,余子式和代数余子式,行列式中，将元素,a,ij,所在的行与列划掉，剩余的元素保,持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素,a,ij,的,余子式,，,记为,M,ij,定义元素,a,ij,的,代数余子式,为,如，三阶行列式,的代数余子式,，,练习：求下列行列式的代数余子式,（,1,）,（,2,）,解：,解：,2.,、阶行列式,定义,3,阶行列式已经定义，规定,4,阶行列式,2,、,n,阶行列式,通常，把上述定义简称为按行列式的第,1,行展开,解 因为,a,12,=,a,13,=0,所以由定义,2.,2,、,n,阶行列式,一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，,，依此类推，一般地，可以用,n,个,n,-1,阶行列式来定义,n,阶行列式，下面给出,n,阶行列式的定义：,定义,设,n,-1,阶行列式已经定义，规定,n,阶行列式,其中,A,1j,=(-1),1+j,M,1j,(,j,=1,2,n,),这里,M,1j,为元素,a,1,j,的余子式，即为划掉,A,的第,1,行第,j,列后所得的,n,-1,阶行列式，,A,1j,称为,a,1j,的代数余子式,例,4,计算行列式,(,下三角行列式,),.,解,由定义，将,D,n,按第一行展开，得,行列式,D,与它的转置行列式,D,T,的值相等,如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和,3,、行列式的性质,性质,1,性质,2,如果把行列式,D,的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数,k,则此行列式的值等于,kD,也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零,“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数,k,，使,a,li,=,ka,lj,(,l,=1,2,n,),性质,3,性质,4,推论,性质,5,如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的,k,倍，则所得行列式与原行列式的值相等,由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：,1.,以（,r,）,代表行，（,c,）,代表列,2.,把第,i,行（或第,i,列）的每一个元素加上第,j,行（或第,j,列）对应元素的,k,倍，记作（,r,i,）,+,k,（,r,j,）,或（,c,i,）,+,k,（,c,j,）,3.,互换,i,行（列）和,j,行（列），记作（,r,i,）,（,r,j,）,或（,c,i,）,（,c,j,）,性质,6,0,4,3,2,0,-1,-1,1,0,4,4,7,0,0,-1,6,0,0,0,11,行列式,D,等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,D,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,a,i,n,A,i,n,（,i,=1,2,n,）,行列式,D,的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即,a,j,1,A,i,1,+,a,j,2,A,i,2,+,a,j,n,A,i,n,=0,（,i,j,=1,2,n,ij,）,例,按第三行展开计算行列式,性质,7,推论,例,9,：求四阶行列式,中元素,的余子式和代数余子式，并计算行列式的值。,本堂课主要内容,1.,二、三阶行列式,2.n,阶行列式,3.,行列式的性质,