行列式的概念(1).ppt

Zhouxl,在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为,线性的,和,非线性的,两大类。线性代数主要是研究,线性函数,，把问题化为求解线性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以计算的,高阶线性代数方程组,的解可以很快地算出来，这就促进了线性代数的广泛应用和发展。,行列式,和,矩阵,是讨论和解线性方程组的重要工具。,10.1 n,阶行列式,1.1,二阶行列式,设二元线性方程组为,1.,二、三阶行列式,用消元法求得,当,时,可得该方程组的惟一解,化为,定义,1,规定式,并称该式左端为,二阶行列式,右端为,二阶行列式的展开式,a,ij,(,i=,1,2,;j=,1,2),称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列,其中,i,为行标，,j,为列标。,=3,5,24,例,1,计算下列行列式,解原式,=,解原式,=15,8,=,1.2,三阶行列式,定义,2,定义用,3,2,个数组成的记号,“,对角线法,”,例,2,计算下列三阶行列式：,练习（书,P233,）,1.3,余子式和代数余子式,行列式中，将元素,a,ij,所在的行与列划掉，剩余的元素保,持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素,a,ij,的,余子式,，,记为,M,ij,定义元素,a,ij,的,代数余子式,为,如，三阶行列式,的代数余子式,，,练习：求下列行列式的代数余子式,（,1,）,（,2,）,解：,解：2.,、阶行列式,定义,3,阶行列式已经定义，规定,4,阶行列式,2,、,n,阶行列式,通常，把上述定义简称为按行列式的第,1,行展开,解 因为,a,12,=,a,13,=0,所以由定义,2.,2,、,n,阶行列式,一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，,，依此类推，一般地，可以用,n,个,n,-1,阶行列式来定义,n,阶行列式，下面给出,n,阶行列式的定义：,定义,设,n,-1,阶行列式已经定义，规定,n,阶行列式,其中,A,1j,=(-1),1+j,M,1j,(,j,=1,2,n,),这里,M,1j,为元素,a,1,j,的余子式，即为划掉,A,的第,1,行第,j,列后所得的,n,-1,阶行列式，,A,1j,称为,a,1j,的代数余子式,例,4,计算行列式,(,下三角行列式,),.,解,由定义，将,D,n,按第一行展开，得,行列式,D,与它的转置行列式,D,T,的值相等,如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和,3,、行列式的性质,性质,1,性质,2,如果把行列式,D,的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数,k,则此行列式的值等于,kD,也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零,“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数,k,，使,a,li,=,ka,lj,(,l,=1,2,n,),性质,3,性质,4,推论,性质,5,如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的,k,倍，则所得行列式与原行列式的值相等,由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：,1.,以（,r,）,代表行，（,c,）,代表列,2.,把第,i,行（或第,i,列）的每一个元素加上第,j,行（或第,j,列）对应元素的,k,倍，记作（,r,i,）,+,k,（,r,j,）,或（,c,i,）,+,k,（,c,j,）,3.,互换,i,行（列）和,j,行（列），记作（,r,i,）,（,r,j,）,或（,c,i,）,（,c,j,）,性质,6,0,4,3,2,0,-1,-1,1,0,4,4,7,0,0,-1,6,0,0,0,11,行列式,D,等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,D,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,a,i,n,A,i,n,（,i,=1,2,n,）,行列式,D,的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即,a,j,1,A,i,1,+,a,j,2,A,i,2,+,a,j,n,A,i,n,=0,（,i,j,=1,2,n,ij,）,例,按第三行展开计算行列式,性质,7,推论,例,9,：求四阶行列式,中元素,的余子式和代数余子式，并计算行列式的值。,本堂课主要内容,1.,二、三阶行列式,2.n,阶行列式,3.,行列式的性质,