D7_6高阶微分方程.ppt

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,可降阶高阶微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第六节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解.,型的微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.1,求微分方程 的通解.,解：,对所给方程两端依次积分三次，可得,其中,C,1,C,2,C,3,为任意常数.,例6.2,求微分方程 满足下列初值条件的解.,解：,将所给方程积分一次，可得,其中,C,1,为任意常数.,由 得,C,1,=0,从而,再积分一次，得,其中,C,2,为任意常数.,由 得,C,2,=0,于是所求特解为,例.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.3,求方程 满足下列初值条件的解.,解：,令,带入所给方程得,用分离变量法解得,其中,C,1,为任意常数.,由 得,C,1,=3,从而,其中,C,2,为任意常数.,由 得,C,2,=1,故所求特解为,例6.4,鱼雷攻击问题.某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷.敌舰以常速度,v,逃逸，鱼雷始终指向敌舰，追击速度为敌舰速度的2倍.问敌舰逃出多远时将被击毁？,解：,以我舰的初始位置为坐标原点(0,0),敌舰的初始位置,为点,A,(1,0)，建立直角坐标系，如图,设鱼雷的轨迹方程为,y,=,y,(,x,)，则其满足初始条件,在时刻,t,鱼雷的位置是,P,(,x,y,)，敌舰的位置是,Q,(1,vt,).依题意，点,Q,应位于轨迹,y,(,x,)过点,P,的切线上.该切线的方程为,而鱼雷在,t,时刻已走过的距离为,上述两个方程联立消去,vt,得,两端关于,x,求导得,这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程.此方程不显含,y,令,代入上述方程得,分离变量后积分并利用初始条件 有,上述两式相减并将,p,=,y,代入，得到,两端积分，并利用初始条件 有,这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程.因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标,x,=1,代入上述方程得纵坐标,y,=2/3,即敌舰逃至距离点,A,(1,0)正北2/3海里处时将被鱼雷击毁.,例.,求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对于,型方程(,n,2)，可以令,得,如果能求出其通解,逐次积分,n,-1次，就可得到原方程的通解,其中,C,1,C,2,.,C,n,为任意常数.,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,.,5,求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,6,.,6,绳索仅受,重力作用而下垂,解:,取坐标系如图.,考察最低点,A,到,(,:密度,s,:,弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点,M,(,x,y,),弧段的受力情况:,A,点受水平张力,H,M,点受切向张力,T,两式相除得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬 链 线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.7,求 的通解.,解：,此方程无法解出,可引入参数,t,，令,则,其中,C,1,C,2,为任意常数.,两端再积分可得参数形式的解为,例.,解初值问题,解:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(A),1,(,1,),(,4,),(,8,),;,2,(3),;,作业,习题7.6,第七节 目录 上页 下页 返回 结束,