刚体绕定轴转动微分方程.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6-1,刚体定轴转动微分方程,6-2,转动惯量,*,6-3,刚体平面运动微分方程,第六章刚,体定轴转动微分方程,设定轴转动刚体某瞬时的角速度为,，角加速度为,设其上第,i,个质点所受的外力为 ，内力为,因刚体作定轴转动，故只考虑力矩的效应,第,i,个质点所受的力,F,i,对转轴,z,轴之矩为,6-1,刚体定轴转动微分方程,z,r,i,m,i,对整个刚体,令,即,刚体对,z,轴的,转动惯量,它是转动刚体惯性的度量,定轴转动刚体转动惯量与转动角加速度的乘积等于作用于刚体上的所有外力对转轴之矩的代数和。,刚体定轴转动微分方程,O,R,6-2,转动惯量,一、简单形体的转动惯量,均质细直杆,dx,x,均质薄圆环,R,z,O,均质圆板,m,i,二、回转半径,(,惯性半径,),r,dr,l,x,z,O,三、平行轴定理,r,i,y,z,x,O,m,i,J,z,=,J,C,+,m,d,2,刚体对任一定轴,z,轴的转动惯量,J,z,，等于它对通过质心,C,且与,z,轴平行的,C,轴的转动惯量,J,C,，加上其质量,m,与两轴间的距离,d,的平方乘积。,z,轴过质心,C,则,C,z,x,y,d,r,i,【,证明,】,设质心,C,的坐标为,(,x,C,y,C,),则任一点,m,i,的坐标满足,:,x,i,=,x,C,+,x,i,y,i,=,y,C,+,y,i,即,显然,【,例,6-1】,图示,质量为,m,长度为,l,的均质直杆,OA,和质量为,m,半径为,R,的均质,圆,盘,C,在,A,点刚,性连,接,，,求系统对垂直于图面且过,O,点的轴的转动惯量,。,【,解,】,J,O,=,J,O,(,OA,),+,J,O,(,C,),O,C,A,四、例题,6-3,刚体平面运动微分方程,由质心运动定理得,刚体的平面运动可视为随质心（基点）的平动和绕质心的转动的合成。,由相对于质心的动量矩定理得,C,r,C,应用时多取投影式,D,O,一、运动微分方程,【,例,6-6】,均质圆轮,C,质量为,m,，其上绕以细绳，绳的一端固定于,O,点。求其下降时质心,C,的加速度和绳的拉力。,O,C,【,解,】1,）轮,C,作平面运动运动微分方程为,T,C,m,g,2,）轮,C,左边沿与绳接触点,I,为瞬心,3,）求解,I,二、例题,A,O,【,例,6-7】,均质圆盘,O,和,C,的质量分别为,M,和,m,，半径分别为,R,和,r,。圆盘,O,可绕通过点,O,的水平轴转动，绳的一端绕在圆盘,O,上，另一端绕在圆盘,C,上。求当圆盘,C,下落时质心,C,的加速度及绳,AB,段的张力。,T,C,B,T,m,g,M,g,N,【,解,】1,）轮,O,作定轴转动,其平面运动微分方程为,点,C,的绝对加速度,2,）轮,C,作平面运动,点,B,为相对瞬心,4,）求解,点,A,的加速度,其平面运动微分方程为,【,例,6-8】,长为,l,质量为,m,的均质直杆,A,端用细绳悬挂于天花板上，,B,端静止放置于光滑水平面上。求突然剪断绳时点,B,的加速度及杆,AB,的角加速度。,O,A,B,C,m,g,N,a,C,【,解,】,1,）,AB,杆作平面运动列平面运动微分方程,2,）分析,B,点的加速度,因,=0,，故,求,a,B,的投影,3,）求解,a,C,A,O,C,B,r,【,例,6-9】,图示半径为,r,质量为,m,的均质圆轮上缠以无重水平细绳，,A,端固定。轮心,O,处作用一水平常力,F,O,，轮与水平地面间的动滑动摩擦因数为,f,。设力,F,O,足够大，使轮心,O,水平向右运动，轮子转动使不可伸长细绳展开。,求在,F,O,作用下轮心,O,从静止开始走过,s,段路程时轮子的角速度和角加速度。,F,C,m,g,N,F,F,O,【,解,】1,）列轮子运动方程,4,）摩擦条件：,F,=,Nf,2,）,C,为瞬心，则满足,a,O,=,r,，,v,O,=,r,5,）求解：,3,）匀变速运动学条件,a,O,C,【,例,6-10】,质量为,m,半径为,r,的均质圆柱,C,无初速的放在质量为,M,倾角为,的斜面上，斜面与地面光滑接触。不计滚动阻力，求斜面的加速度、圆柱中心,C,点的相对加速度和角加速度。,m,g,N,a,r,a,e,a,e,【,解,】1,）若斜面与圆柱光滑接触，圆柱受力如图。,整体的动量在水平方向守恒,求解：,显然圆柱只滑不滚。,C,m,g,N,a,r,a,e,F,a,e,2,）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作纯滚动。,整体动量水平方向守恒,求解,圆柱的牵连运动为平动,C,m,g,N,a,r,a,e,F,a,e,3,）若斜面与圆柱粗糙接触，圆柱作既滑动又滚动。,整体动量水平方向守恒,求解,摩擦条件：,