数理方程—横向纵向振动问题、波动方程.ppt

*,/16,弦的横向振动问题,细杆的纵向振动问题,波动方程的定解条件,数学物理方程,物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系,。,物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各,阶导数与自变量的关系,。,牛顿第二定律,:,F=m a,a,物体加速度,;,F,合外力,;,m,物体质量,虎克定律,:,(1),f=k x,;,f,弹力,;,k,弹性系数,;,x,弹簧伸长,(2),p=Y,u,x,;,Y,杨氏模量,;,u,x,弹性体相对伸长,单摆的数学模型,:,一阶,偏导数,:,几何意义,曲线的切线斜率,二元,函数,:,u=u,(,x,t,),几何意义,曲线曲率近似,二阶偏导数,:,二阶偏导数 物理意义,物体运动加速度,弦的横向振动问题,一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端,沿,x,轴拉紧固定在,x,轴上的,L,处,，,受到扰动,，,开,始沿,x,轴,(,平衡位置,),作微小横振动,(,细弦线上各,点运动方向垂直于,x,轴,).,试建立细弦线上任意点位移,函数,u,(,x,t,),所满足的规律,.,u,x,T,1,T,2,O,x,x+,d,x,g,d,s,d,s,设细弦上各点线密度为,细弦上质点之间相互作用力为张力,T,(,x,，,t,),水平合力为零,T,2,cos,2,T,1,cos,1,=0,cos,1,cos,2,1,T,2,T,1,T,铅直合力,:,F,=,m a,T,(sin,2,sin,1,)=,d,s,u,tt,sin,1,tan,1,T,(tan,2,tan,1,),=,d,s,u,tt,d,s,d,x,其中,一维波动方程,:,u,tt,=a,2,u,xx,考虑有恒外力密度,f,(,x,，,t,),作用时,，,可以得到一维波动方程的非齐次形式,u,tt,=a,2,u,xx,+f,(,x,t,),T,u,x,(,x+,d,x,，,t,),u,x,(,x,，,t,)=,d,s,u,tt,u,tt,=a,2,u,xx,细杆的纵向振动问题,细杆纵向振动时,，,细杆各点伸缩,，,质点位移,u,(,x,，,t,),改变,，,质点位移相对伸长为,u,x,，,截面应力,P=Y,u,x,Y,是杨氏模量,。,截面的张力,T=SP,。,u,(,x,t,),u,(,x+dx,t,),x,x+dx,L,O,均匀细杆长为,L,，,线密度为,，,杨氏模量为,Y,，,杆的,一端固定在坐标原点,，,细杆受到沿杆长方向的扰动,(,沿,x,轴方向的振动,),杆上质点位移函数,u,(,x,，,t,),T,(,x,t,)=,SY,u,x,(,x,t,),T,(,x+,d,x,t,)=,SY,u,x,(,x+,d,x,t,),SY,u,x,(,x+,d,x,t,),u,x,(,x,t,),用牛顿第二定律,SY,u,x,(,x+,d,x,，,t,),u,x,(,x,，,t,)=,S,d,xu,tt,令,a,2,=,Y,/,。,化简,，,得,u,tt,=a,2,u,xx,或,由,弦振动问题定解条件,细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在,x,轴上的,L,处,.,受到垂直于,x,轴方向的扰动,作微小横振动,。,初始条件包括初始位移和初始速度,u,(,x,t,)|,x,=0,=0,u,(,x,t,)|,x,=,L,=0,或,:,u,(0,t,)=0,u,(,L,t,)=0,初始条件,:,u,(,x,t,)|,t,=0,=,(,x,),u,t,(,x,t,)|,t,=,0,=,g,(,x,),或,:,u,(,x,0)=,(,x,),u,t,(,x,0)=,g,(,x,),边界条件,表示端点状态,初始条件,表示历史状态,O,L,L,/2,h,x,u,波动方程定解条件,I,波动方程定解条件,II,细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在,x,轴上的,L,处,.,弦的中点受到垂直于,x,轴方向的冲量,I,的作用,作微小横振动,。,函数,u,(,x,t,),表示位移,波动方程定解条件,III,L,u,(,L,t,),O,细杆,在,x,=0,点固定,在,x=L,处受外力,F,(,t,),作用,F,(,t,),SY,u,x,(,L,t,)=0,波动方程定解条件,IV,弦的一端固定在原点,另一端与,x,轴上,L,处的弹簧相接,.,受到扰动,作上下微小横振动,。,在右,端点处,(,张力,=,弹性力,):,Tu,x,=,-,Ku,令,=,T/K,得,u+,u,x,x,=L,=,0,习题,2.1,（,P.22,）,1,、,2,、,3,、,4,偏微分方程定,解,条件小结,:,第一种情况,:,初始条件,(,求解区域为无界区域,),第二种情况,:,初边值条件,(,求解区域为有界区域,),第一类边界条件,:,给定函数在边界上的函数值,第二类边界条件,:,给定函数在边界上的导数值,第三类边界条件,:,给定函数在边界上的函数值和导数值的线性组合,思考题,弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？,弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数,u,(,x,t,),有何不同,？,举一个实例简述第二类边界条件的物理背景,