高中数学圆锥曲线问题解题技巧.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中数学圆锥曲线问题解题技巧,(2004全国东北理科卷)设双曲线的焦点在,x,轴上,两条渐近线为,y,=,x,，则该双曲线的离心率,e,=(),A.5 B.C.D.,=1+,k,2,.,其中,k,为双曲线渐近线的斜率.,C,e,2,=5/4.,(2005全国卷文科)已知双曲线 的一条准线为 ，则该双曲线的离心率为 (),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,b,a,将,k,2,=,e,2,-,1代入上式,整理得,9,e,4,-,9,e,2,-,4=0,e,2,=4/3.,D,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b,0),的焦点，过,F,2,作垂直于,x,轴的直线交,双曲线于,P,且,P,F,1,F,2,30(,如图,),求双,曲线的渐近线方程,.,x,y,o,P,F,1,F,2,4,即,ec,3,a,e,2,3,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b,0),的焦点，过,F,2,作垂直于,x,轴的直线交双曲线于,P,且,P,F,1,F,2,30(,如图,),求双曲线的渐近线方程,.,x,y,o,P,F,1,F,2,|,PF,1,|2|,PF,2,|，,ex,P,+,a,=2(,ex,P,-,a,)，,ex,P,3,a,k,2,=,e,2,-,1=2.,y,=,x,.,(2005福建理科)已知,F,1,、,F,2,是双曲线,-=,1(,a,0,b,0)的两焦点,以线段,F,1,F,2,为边作正三角形,MF,1,F,2,若边,MF,1,的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 (),A.4+2 B.,-,1 C.D.+1,x,y,o,F,1,F,2,M,A,30,x,1,由已知,|,AF,1,|=,c,|,AF,2,|=,c,即,ex,1,-,a,=,c,ex,1,+,a,=,c,两式相减：2,a,=(,-,1),c,两边同除以,a,得,e,=,(2005福建理科)已知,F,1,、,F,2,是双曲线 (,a,0,b,0)的两个焦点，以线段,F,1,F,2,为边作,正三角形,MF,1,F,2,若边,MF,1,的,中点,在双曲线上,则双曲线的离心率是()A.4+2 B.,-,1 C.D.+1,因为|,NF,1,|=,ex,N,-,a,=,c,即,ex,N,+,a,=,c,y,x,o,M,F,2,N,F,1,又|,NF,2,|=|,NF,1,|,D,2,ex,N,=(+1),c,将,x,N,=,c,/2代入即得.,要点提炼：,设双曲线的离心率为,e,一条有较小倾斜角,的渐近线的斜率为,k,则双曲线的如下性质在解题时十分有用：,过焦点作一条渐近线的垂线,垂足在双曲线的准线上,垂线段的长等于半虚轴长；,arccos(1/,e,),；,e,2,k,2,1,.此外,双曲线的焦半径公式：,r,1,|,ex,0,a,|，,r,2,|,ex,0,a,|,在处理涉及双曲线的焦半径问题时是十分有用的,必须要学生熟记它.,设,设而不求,(1994全国),设,F,1,F,2,为双曲线 的两个焦点，点,P,在双曲线上，且,F,1,PF,2,=90,则,F,1,PF,2,的面积是,(),A.1 B.,C.2,D.,=1.,A,x,y,o,F,1,F,2,P,以,F,1,F,2,为直径的圆的方程是：,x,2,+,y,2,=5,(2005全国,卷,)已知双曲线 的焦点为,F,1,、,F,2,点,M,在双曲线上且,MF,1,MF,2,=0,则点,M,到,x,轴的距离为(),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,M,x,2,+,y,2,=3,MF,1,MF,2,=0,MF,1,MF,2,x,2,+,y,2,=3,2,x,2,-,y,2,=2,y,=,平几知识的应用,C,已知,F,1,、,F,2,为双曲线,(,a,0,b,0),的焦点，,M,为双曲线上的点,若,F,1,M,F,2,90,则,F,1,M,F,2,的面积等于,_,.,x,y,o,F,1,F,2,M,一般化,x,2,+,y,2,=,c,2,b,2,x,2,-,a,2,y,2,=,a,2,b,2,c,2,y,2,=,b,2,(,c,2,-,a,2,)=,b,4,y,=,b,2,/,c,S,F,1,M,F,2,=,b,2,.,(2005全国,卷,)已知双曲线 的焦点为,F,1,、,F,2,点,M,在双曲线上且,MF,1,MF,2,=0,则点,M,到,x,轴的距离为(),A B C D,x,y,o,F,1,F,2,M,C,S,F,1,MF,2,=,b,2,=2,设点,M,到,x,轴的距离为,d,则,cd,=,S,d,=,将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的,不变量,.,(1995,全国,),直线,l,过抛物线,y,2,a,(,x,+1),(,a,0),的焦点,并且与,x,轴垂直,若,l,被抛物线截得的线段长为,4,则,a,.,直线,l,过抛物线,y,2,4(,x,+1),的焦点,并且与,x,轴垂直,若,l,被抛物线截得的线段长为,.,4,4,y,2,a,(,x,-,3),（2003 新课程卷）设,a,0，,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的倾斜角的取值范围为 ，则点,P,到曲线,y,=,f,(,x,)对称轴距离的取值范围为(),A.B.C.D.,曲线,y,=,f,(,x,)在点,P,(,x,0,f,(,x,0,)处的切线的斜率,k,=2,ax,0,.,依题意,0,k,1,即,0,2,ax,0,1.,B,f,(,x,)=2,ax,将直角坐标系中的曲线平移(或平移坐标轴)，曲线上任意两点之间的距离（弦长）、两条定弦之间的夹角、以及曲线上任一点处的切线的斜率，都是平移变换下的不变量.,(1989全国)自点A(-3,3)发出的光线 l 射到x轴上被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线 l 所在直线的方程.,y|=1.,(2004天津理科卷)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 ，相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|.,过点P且平行于l的直线与椭圆相交于另一点M.,AP=(-x1,m-y1),PB=(x2,y2-m),由已知,始点的对称点终点 -反射线；,曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0)处的切线的斜率 k=2ax0.,A B C D,直线l过抛物线 y24(x+1)的焦点,并且与x轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 .,(2004天津理科卷)椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2 ，相应于焦点F(c,0)的准线l与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|.,B.,c2y2=b2(c2-a2)=b4,C.,3x2+4y2=12m2,x,y,o,F,P,y,=,ax,2,y,=,-,y,=2,ax,y,|=1.,证明：点,P,处的切线斜率为1,x,y,o,F,P,证明：点,P,处的切线斜率为1,法一,：,由,y,2,=2,px,2,yy,=2,p,法二,：,由,F,回 顾,y,2,=2,px,PF,=,p,x,y,o,A,x,=-,命题,1,设抛物线,y,2,=2,px,(,p,0),的通径为,PQ,，,则抛物线在点,P,、,Q,处的切线的斜率分别为,1,和,-,1,且切线通过抛物线的准线与,x,轴的交点.,x,y,O,P,Q,F,x=,-,M,x,y,o,F,P,(2004 全国东部卷)设抛物线,y,2,=8,x,的准线与,x,轴交于点,Q,，若过点,Q,的直线,l,与抛物线有公共点，则直线,l,的斜率的取值范围是(),A.B.,-,2,2,C.,-,1,1 D.,-,4,4,y,2,=18,x,y,2,=8(,x,-,6),C,已知,F,为抛物线,C,：,y,2,4,x,的焦点，,P,为,C,上的任一点，过点,F,且斜率为1的直线与,C,交于,A,、,B,两点，若,PAB,的面积为4 ，则这样的点,P,有(),(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个,AB,：,x,-,y,-,1=0,求得|,AB,|=8,；,取点,M,(1,2),MAB,的面积为4,C,点,M,到直线,AB,的距离为,x,y,o,A,B,F,M,引申,1,椭圆通径一个端点处切线的斜率,x,y,o,F,1,P,由,得,引申,2,双曲线通径端点处切线的斜率为,e,.,引申,3,过椭圆 上一点,P,(,x,0,y,0,)的切线方程为：,引申,4,过双曲线 上一点,P,(,x,0,y,0,)的切线方程为：,引申,5,过抛物线,y,2,=2,px,上一点,P,(,x,0,y,0,)的切线方程为：,y,0,y,=,p,(,x+x,0,),y,0,y,=,p,(,x+x,0,),k,切,=,命题,2,若,PQ,为焦点在,x,轴上的圆锥曲线的通径，则曲线在点,P、Q,处的切线的斜率为,e,和,-,e,，且切线通过相应准线与,x,轴的交点,.,或表述为：过焦点在,x,轴上的圆锥曲线的准线与,x,轴的交点，且斜率为,e,(或,-,e,)的直线，与圆锥曲线相切，且切点为圆锥曲线一条通径的端点.,x,y,o,作离心率为1/2的椭圆,x,y,o,F,A,B,|,OF,|,c,|,FA,|,b,|,OA,|,a.,c,|,AB,|2,ab,|,AB,|,作离心率为2的双曲线,(2004湖南理科卷)如图，过抛物线,x,2,=4,y,的对称轴上任一点,P,(0,m,)(,m,0)作直线与抛物线交于,A,，,B,两点，点,Q,是点,P,关于原点的对称点.,(,I,)设点,P,分有向线段,AB,所成的比为,，证明,QP,(,QA,-,QB,)；,(,II,),设直线,AB,的方程是,x,-,2,y,+12=0,，,过,A,、,B,两点,的圆,C,与抛物线在点,A,处有,共同的切线，求圆,C,的方程,.,x,y,o,A,P,B,Q,x,y,o,A,P,B,Q,(0,-,m,),(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,),AP,=(,-,x,1,m,-,y,1,),PB,=(,x,2,y,2,-,m,),由已知,x,1,=,-,x,2,y,1,-,m,=,-,(,y,2,-,m,).,即,因为,A,、,P,、,B,共线,且,AP,=,PB,.,QP,=,QA,+,QB,=,(,QA,+,QB,).,欲证,QP,(,QA,-,QB,),只须证,QP,(,QA,-,QB,)=0,即证|,QA,|,2,-,2,|,QB,|,2,=0.,而|,QA,|,2,-,2,|,QB,|,2,=+(,y,1,+,m,),2,-,2,+(,y,2,+,m,),2,光 的 反 射,基本原理:,(,)光的传播遵循“,光行最速原理,”;,(,)光的反射应满足：“,入射角=反射角”,;,由此推得,入射线与反射线关于,法线,对称;,投影线为水平线时,k,入射线,+,k,反射线,=0.,光 的 反 射,基本技巧:,始,点,终,点,入射线,;,始,点,终,点的对称点,反射线.,始,点的对称点,终,点,(1989全国)自点,A,(-3,3)发出的光线,l,射到,x,轴上被,x,轴反射，其反射光线所在直线与圆,x,2,+,y,2,-,4,x,-,4,y,+7=0相切,求光线,l,所在直线的方程.,(,x,-2),2,+(,y,-2),2,=1,x,1,y,o,1,-,1,.,.,A,.,.,A,始点的对称点,终,点 -,反射线,；,终,点的对称点,始,点 -,入射线,.,(2005江苏)点,P,(,-,3,1)在椭圆 的左准线上,过点,P,且方向为,a,=(2,-,5)的光线,经直线,y,=,-,2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(),A.B.C.D.,x,y,o,P,(,-,3,1),F,(,-,c,0),M,N,l,解法一：,依题意,入射线方程为,y,-,1=,-,(,x,+3),令,y,=,-,2,得,M,(,-,-,2);,令,y,=0,得,N,(,-,0).,F,(,-,1,0),a,2,=3,x,y,o,P,(,-,3,1),F,(,-,c,0),M,N,l,解法二：,点,F,关于直线,y,=,-,2的对称点为,Q,(,-,c,-,4).,c=,1,a,2,=3,依题意,k,PQ,=,-,Q,要点提炼：,光反射的理论依据，是物理学中的,光行最速原理,；数学中处理这类问题的基本方法是运用平面几何中的,对称性,，这就是“,通法,”.只有把握住“通法”，不论题目如何变化，你才能在解题时得心应手，游刃有余.,(2004江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点是,F,(,-,m,0)(,m,是大于零的常数).,(,)求椭圆方程；,(,)设,Q,是椭圆上的一点，且过点,F,，,Q,的直线,l,与,y,轴交于点,M,，若|,MQ,|=2|,QF,|，求直线,l,的斜率.,(,),高中数学圆锥曲线问题解题技巧,椭圆通径一个端点处切线的斜率,已知F1、F2为双曲线 (a 0,b 0)的焦点，M为双曲线上的点,若F1MF290,则F1MF2的面积等于_.,已知F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上的任一点，过点F且斜率为1的直线与C交于A、B两点，若PAB的面积为4 ，则这样的点P有(),投影线为水平线时,x y-3=0,证明：FM=-FQ.,终点的对称点始点 -入射线.,x1=-x2,y1-m=-(y2-m).,()由对称性，我们只须研究如图的情况.,4+2 B.,(1)当yB=-4yA时，,b2x2-a2y2=a2b2,-2,2,(3+4k2)x2+8k2mx+4k2m2-12m2=0,设|AB|=2c,则A(-c,0),C(,yC),又设E(x0,y0),b2x2-a2y2=a2b2,(,),x,y,o,M,Q,F,|,MQ,|=2|,QF,|,(,),分析：,由题设，|,x,M,-,x,Q,|=2|,x,Q,-,x,F,|，,即|,x,Q,|=2|,x,Q,+,m,|，,即,x,Q,=,-,2,m,或,x,Q,=,-,m,.,3,x,2,+4,y,2,=12,m,2,y,=,k,(,x,+,m,),(3+4,k,2,),x,2,+8,k,2,mx,+4,k,2,m,2,-,12,m,2,=0,令,x,=,-,2,m,，得,k,=0；,令,x,=,-,m,，得,k,=,2 .,(2004东北理科卷)给定抛物线,C,：,y,2,=4,x,，,F,是,C,的焦点，过点,F,的直线,l,与,C,相交于,A,、,B,两点.,(,)设,l,的斜率为1，求,OA,与,OB,的夹角；,(,)设,BF,=,FA,若,4,9，求,l,在,y,轴上截距的变化范围.,x,y,o,A,B,F,(,)由对称性，我们只须研究如图的情况.,x,y,o,A,B,F,(1)当,y,B,=,-,4,y,A,时，,y,A,=1,m,=.,令,x,=0，得,y,1,=,(2)当,y,B,=,-,9,y,A,时，同理可得,y,2,=,m,C,D,A,B,E,(2000新课程卷)如图,已知梯形,ABCD,中,|AB|=2,|,CD,|,点,E,分有向线段,AC,所成的比为,，双曲线过,C,、,D,、,E,三点，且以,A,、,B,为焦点.当 时，求双曲线离心率,e,的取值范围.,由|,AE|=,|EC|,x,y,设,|AB|=,2,c,则,A,(,-,c,0),C,(,y,C,),又设,E,(,x,0,y,0,),得,x,0,+,c,=,(,-,x,0,),x,0,=,|EC|,=(,ex,C,+,a,),-,(,-,ex,0,-,a,)=2,a,+,e,(,x,C,+,x,0,),因为,|EC|=|AC|,-,|AE|,因为,|EC|,=(,ex,C,+,a,),-,(,-,ex,0,-,a,)=2,a,+,e,(,x,C,+,x,0,),|,AE|=,|EC|,x,0,=,所以,-,ex,0,-,a,=,2,a,+,e,(,+,x,0,),t,=,-,2,e,t,-,2=,4+,e,(,e,+2,t,),2,e,(+1),t,=,-,(,e,2,+4,+2),将,代入,两边同乘以,e,2,(,-,2)=,-,(,e,2,+4,+2),e,2,=,因为,所以 7,e,2,10,得,(2004天津理科卷)椭圆的中心是原点,O,，它的短轴长为2 ，相应于焦点,F,(,c,0)的准线,l,与,x,轴相交于点,A,，|,OF,|=2|,FA,|.过点,A,的直线与椭圆相交于,P,、,Q,两点.,(,)求椭圆的方程及离心率；,(,)若,OP,OQ,=0，求直线,PQ,的方程；,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,.证明：,FM,=,-,FQ,.,M,A,P,Q,O,F,x,y,e,=,x,y,-,3=0,M,A,P,Q,O,F,x,y,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,.证明：,FM,=,-,FQ,.,？,分析,设,P,(,x,1,y,1,),Q,(,x,2,y,2,),则,M,(,x,1,-,y,1,).又,F,(2,0),由已知,x,1,-,3=,(,x,2,-,3),y,1,=,y,2,.,=,-,(3,-,x,2,-,y,2,),FM,=(,x,1,-,2,-,y,1,)=(,(,x,2,-,3)+1,-,y,1,),FQ,=(,x,2,-,2,y,2,).,欲证,FM,=,-,FQ,，只须证,或,M,A,P,Q,O,F,x,y,AP,=,AQ,(,1).,目标：,条件：,(3,0),x,1,-,3,=,(,x,2,-,3),y,1,=,y,2,x,+3,y,=6,x,+3,y,=6.,-,2,:,将,式代入上式，整理得：,x,2,0,M,A,P,Q,O,F,x,y,(,)设,AP,=,AQ,(,1).过点,P,且平行于,l,的直线与椭圆相交于另一点,M,.证明：,FM,=,-,FQ,.,？,还须证：,M,、,F,、,Q,三点共线.,