高中数学化归与类比的数学思想解题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高中数学化归与类比的数学思想解题,把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。实现转化的关键是要构造转化的方法。下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。,一、新授,（一）正与反的转化：有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。,A B C2 D2,空间问题平面问题,【分析】：将方程写成 ，并且用函数的观点认识，则m就成了x的二次函数，m的取值范围就是在定义域 上，函数值的范围。,解：7个“1”之间插四个板,2x+p恒成立的x的取值范围,则 的值为：_,K=3,A B C2 D2,即 可得,且 ,于是K=2,（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）,（略解：）他四次射击未中1次的概率P144,如：S2、S1、S3成等差，求q的值.,即 可得,据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理,且 ,于是K=2,只需视为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：,例1：某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为,分析：至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：一次都未中,来求解,（略解：）他四次射击未中1次的概率P,1,44,他至少射击击中目标1次的概率为1P,1,=10,.,1,4,=0,.,9999,例,2,：求常数,m,的范围，使曲线,y,=,x,2,的所有弦都不能被直线,y,=,m,(,x,3),垂直平分.,（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线,y,=,x,2,存在关于直线,y,=,m,(,x,3)对称的两点，求,m,的范围。,y,=,m,(,x,3)对称，则,（略解）：抛物线,y,=,x,2,上存在两点 关于直线,即 消去,x,2,得,存在,上述方程有解,=,0,0,从而,m,因此，原问题的解为,m,|,m,当m=0的时候,直线y=0则y=显然不可能被直线y=0平分,x,2,（二）一般与特殊的转化,当面临的数学问题由一般情况难以解决，可以从特殊情况来解决，反之亦然，这种方法在选择，填空题中非常适用。,例,1,：设等比数列,a,n,的公比为,q,，前,n,项和为,S,n,，若,S,n,+1,、,S,n,、,S,n,+2,成等差数列，则,q,=_.,【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求,q,的值.如：,S,2,、,S,1,、,S,3,成等差，求,q,的值.这样就避免了一般性的复杂运算.,(略解)：,(,a,1,0),q,=,2,或,q,=0,（舍去）,A,B,C,2 D,2,11,5,11,5,-,【分析】：直线,l,的斜率一定，但直线是变化的，又从选项来看，必为定值。可见直线,l,的变化不会影响的值。因此我们可取,l,为来求解的值。,例2：已知平面上的直线,l,的方向向量,e,，点O(0，0)和,A,(1,2)在,l,上的射影分别为 ,若 ,则为（）,O,A,(略解)：设,l,则,可得,即 可得,=,2,【分析】,P,、,Q,运动,四棱锥,B,PAQC,1,是变化的，但从选项,来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决,例3：设三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的体积为,V,，,P,、,Q,分别是侧棱,AA,1,、,CC,1,上的点，且,PA,=,QC,1,，则四棱锥,B,PAQC,1,的体积为：,A,V,B,V,C,V,D,V,【略解】取,P,与,A,重合，,Q,与,C,1,重合的特殊情况,（三）主与次的转化,利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。,例1：0对上 恒成立，求实数,a,的取值范围.,例2：对任何 函数 的值总大于0，则实数,x,的取值范围是：_,对于例1：令 则从图像知,1a1,0,0,对于例,2,：我们也可以变化为例,1,的形式,只需视为关于,a,的函数，问题就可以转化为例,1,的情况：,令 为关于,a,的一次函数，,由图像知,或,x,1,或,x,3,0,0,【分析】：将方程写成 ，并且用函数的观点认识，则,m,就成,了,x,的二次函数，,m,的取值范围就是在定义域 上，函数值的范围。,【略解】将方程转化为 作出图像如图上和每一个,m,都有不同的两个不同的,x,1,，,x,2,与之对应。,例,4,：关于,x,的二次方程 在,上有两个不等的实根，求,m,的范围。,-,2,2,3+m=0,-,x,x,（四）数学各分支之间的转化,数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。,例1：在四面体,ABCD,内部有一点,O,，使得直线,AO,，,BO,，,CO,，,DO,与四面体的面,BCD,，,CDA,，,DAB,，,ABC,分别交于,A,1,、,B,1,、,C,1,、,D,1,四点，且满足,:,求,K,可能的取值。,【分析】立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“,ABC,内部有一点,O,，使得直线,AO,、,BO,、,CO,与三角形的三边,BC,、,CA,、,AB,交于点,A,1,、,B,1,、,C,1,，且满足求,K,的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中,据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理,且 ,于是,K,=2,数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。,1已知下列三个方程：,（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）,据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理,即 可得,多元问题一元问题,利用主元与参变量的关系，视参变量为主元（即变量与主元的角色换位）常常可以简化问题的解决，先看下面两题。,（略解：）他四次射击未中1次的概率P144,（分析）：直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：在曲线y=x2存在关于直线y=m(x3)对称的两点，求m的范围。,主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。,9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为,令 为关于a的一次函数，,可见直线l的变化不会影响的值。,据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理,【解析】在四面体中，有,且,K,=3,（五）陌生与熟悉的转化,例1：学校将召开学生代表大会，高三有7个代表名额,要分配给5个班，每班至少有一个名额，问名额分配方法有多少种？,解：（插板法)：,例2：方程 的正整数解的组数为多少,解：7个“1”之间插四个板,C,4,6,C,4,6,二、练习：,1已知下列三个方程：,至少有一个方程有实根，求实数,a,的取值范围。,2过抛物线,y,2,=4,x,的焦点的直线交抛物线,A,、,B,两点，,O,为坐标原点，,则 的值为：_,A12 B12 C3 D3,3对于满足|,P,|2的所有实数,P,，求使不等式,2,x,+,p,恒成立的,x,的取值范围,a,|,a,-1或,a,x,|,x,1,或,x,3,D,4在平面中，三角形具有性质：三角形的中线平分三角形的面积，试将该性质推广到空间，写出相应的一个真命题_,三、小结：,我们学习了化归与转化思想：,我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有该种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。,类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在转化和类比。将问题由难转易，由陌生的问题转为熟悉的问题，从而从问题得到解决，类比与转化的类型很多，归纳如下：,（过三棱锥的顶点及底面的中线的截面平分三棱锥的体积）,高次问题,低次问题,多元问题,一元问题,超越运算,代数运算,无限问题,有限问题,空间问题,平面问题,几何问题,代数问题,复,杂,问 题,简 单,问 题,未,知,问 题,已 知,问 题,转 化,转 化,精品课件,！,精品课件,！,谢谢指导,