2019届江苏专用高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.3直线平面平行的判定与性质讲义理苏教版.ppt

,8.3,直线、平面平行的判定与性质,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,如果平面外一条直线和,的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行,(,简记为,“,线线平行,线面平行,”,),，,，,，,_,1.,线面平行的判定定理和性质定理,知识梳理,这个平面内,l,a,a,l,l,性质,定理,如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和,平行,(,简记为,“,线面平行,线线平行,”,),，,，,，,l,b,交线,l,l,b,2.,面面平行的判定定理和性质定理,文字语言,图形语言,符号语言,判定,定理,如果一个平面内有两条,都平行于另一个平面，那么这两个平面平行,(,简记为,“,线面平行,面面平行,”,),，,，,，,，,，,相交直线,a,b,a,b,P,a,b,性质,定理,如果两个平行平面同时和第三个平面,，那么所得的两条,平行,，,，,，,a,b,相交,交线,a,b,知识拓展,重要结论,(1),垂直于同一条直线的两个平面平行，即若,a,，,a,，则,；,(2),垂直于同一个平面的两条直线平行，即若,a,，,b,，则,a,b,；,(3),平行于同一个平面的两个平面平行，即若,，,，则,.,思考辨析,判断下列结论是否正确,(,请在括号中打,“,”,或,“”,),(1),若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面,.,(,),(2),若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线,.(,),(3),如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行,.,(,),(4),如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面,.,(,),(5),若直线,a,与平面,内无数条直线平行，则,a,.(,),(6),若,，直线,a,，则,a,.(,),考点自测,1.(,教材改编,),下列命题中不正确的有,_.,若,a,，,b,是两条直线，且,a,b,，那么,a,平行于经过,b,的任何平面；,若直线,a,和平面,满足,a,，那么,a,与,内的任何直线平行；,平行于同一条直线的两个平面平行；,若直线,a,，,b,和平面,满足,a,b,，,a,，,b,，则,b,.,答案,解析,中，,a,可以在过,b,的平面内；,中，,a,与,内的直线可能异面；,中，两平面可相交；,中，由直线与平面平行的判定定理知，,b,，正确,.,2.,设,l,，,m,为直线，,，,为平面，且,l,，,m,，则,“,l,m,”,是,“,”,的,_,条件,.,答案,解析,必要不充分,当平面与平面平行时，,两个平面内的直线没有交点，,故,“,l,m,”,是,“,”,的必要条件；,当两个平面内的直线没有交点时，,两个平面可以相交，,l,m,是,的必要不充分条件,.,3.(2016,盐城模拟,),下列命题中，正确的序号为,_.,平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个,平面平行；,平行于同一个平面的两个平面平行；,若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行；,若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面,.,答案,解析,由面面平行的判定定理和性质知,正确,.,对于,，位于两个平行平面内的直线也可能异面,.,4.(,教材改编,),如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,为,DD,1,的中点，则,BD,1,与平面,ACE,的位置关系为,_.,答案,解析,平行,连结,BD,，设,BD,AC,O,，连结,EO,，,在,BDD,1,中，,O,为,BD,的中点，,所以,EO,为,BDD,1,的中位线，,则,BD,1,EO,，而,BD,1,平面,ACE,，,EO,平面,ACE,，,所以,BD,1,平面,ACE,.,5.,如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形,EFGH,为截面，则四边形,EFGH,的形状为,_.,答案,解析,平行四边形,平面,ABFE,平面,DCGH,，,又平面,EFGH,平面,ABFE,EF,，平面,EFGH,平面,DCGH,HG,，,EF,HG,.,同理,EH,FG,，,四边形,EFGH,的形状是平行四边形,.,题型分类深度剖析,题型一直线与平面平行的判定与性质,命题点,1,直线与平面平行的判定,例,1,如图，四棱锥,P,ABCD,中，,AD,BC,，,AB,BC,AD,，,E,，,F,，,H,分别为线段,AD,，,PC,，,CD,的中点，,AC,与,BE,交于,O,点，,G,是线段,OF,上一点,.,(1),求证：,AP,平面,BEF,；,证明,连结,EC,，,AD,BC,，,BC,AD,，,BC,綊,AE,，,四边形,ABCE,是平行四边形，,O,为,AC,的中点,.,又,F,是,PC,的中点，,FO,AP,，,FO,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,，,AP,平面,BEF,.,(2),求证：,GH,平面,PAD,.,证明,连结,FH,，,OH,，,F,，,H,分别是,PC,，,CD,的中点，,FH,PD,，,FH,平面,PAD,.,又,O,是,BE,的中点，,H,是,CD,的中点，,又,FH,OH,H,，,平面,OHF,平面,PAD,.,又,GH,平面,OHF,，,GH,平面,PAD,.,OH,AD,，,OH,平面,PAD,.,几何画板展示,命题点,2,直线与平面平行的性质,例,2,(2017,镇江,月考,),如图，四棱锥,P,ABCD,的底面是边长为,8,的正方形，四条侧棱长均为,.,点,G,，,E,，,F,，,H,分别是棱,PB,，,AB,，,CD,，,PC,上共面的四点，平面,GEFH,平面,ABCD,，,BC,平面,GEFH,.,(1),证明：,GH,EF,；,证明,因为,BC,平面,GEFH,，,BC,平面,PBC,，,且平面,PBC,平面,GEFH,GH,，所以,GH,BC,.,同理可证,EF,BC,，因此,GH,EF,.,(2),若,EB,2,，求四边形,GEFH,的面积,.,解答,如图，连结,AC,，,BD,交于点,O,，,BD,交,EF,于点,K,，连结,OP,，,GK,.,因为,PA,PC,，,O,是,AC,的中点，所以,PO,AC,，,同理可得,PO,BD,.,又,BD,AC,O,，且,AC,，,BD,都在底面内，,所以,PO,底面,ABCD,.,又因为平面,GEFH,平面,ABCD,，,且,PO,平面,GEFH,，所以,PO,平面,GEFH,.,因为平面,PBD,平面,GEFH,GK,，,所以,PO,GK,，且,GK,底面,ABCD,，,从而,GK,EF,.,所以,GK,是梯形,GEFH,的高,.,由,AB,8,，,EB,2,得,EB,AB,KB,DB,1,4,，,从而,KB,DB,OB,，即,K,为,OB,的中点,.,再由,PO,GK,得,GK,PO,，,即,G,是,PB,的中点，且,GH,BC,4.,由已知可得,OB,，,所以,GK,3.,故四边形,GEFH,的面积,S,GK,判断或证明线面平行的常用方法,(1),利用线面平行的定义,(,无公共点,),；,(2),利用线面平行的判定定理,(,a,，,b,，,a,b,a,),；,(3),利用面面平行的性质定理,(,，,a,a,),；,(4),利用面面平行的性质,(,，,a,，,a,，,a,a,).,思维升华,跟踪训练,1,如图所示，,CD,，,AB,均与平面,EFGH,平行，,E,，,F,，,G,，,H,分别在,BD,，,BC,，,AC,，,AD,上，且,CD,AB,.,求证：四边形,EFGH,是矩形,.,证明,CD,平面,EFGH,，而平面,EFGH,平面,BCD,EF,，,CD,EF,.,同理,HG,CD,，,EF,HG,.,同理,HE,GF,，,四边形,EFGH,为平行四边形,.,CD,EF,，,HE,AB,，,HEF,为异面直线,CD,和,AB,所成的角,.,又,CD,AB,，,HE,EF,.,平行四边形,EFGH,为矩形,.,题型二平面与平面平行的判定与性质,例,3,(2016,镇江模拟,),如图所示，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,AC,，,A,1,B,1,，,A,1,C,1,的中点，求证：,(1),B,，,C,，,H,，,G,四点共面；,证明,G,，,H,分别是,A,1,B,1,，,A,1,C,1,的中点，,GH,是,A,1,B,1,C,1,的中位线，,GH,B,1,C,1,.,又,B,1,C,1,BC,，,GH,BC,，,B,，,C,，,H,，,G,四点共面,.,(2),平面,EFA,1,平面,BCHG,.,证明,E,，,F,分别是,AB,，,AC,的中点，,EF,BC,.,EF,平面,BCHG,，,BC,平面,BCHG,，,EF,平面,BCHG,.,A,1,G,綊,EB,，,四边形,A,1,EBG,是平行四边形，,A,1,E,GB,.,A,1,E,平面,BCHG,，,GB,平面,BCHG,，,A,1,E,平面,BCHG,.,A,1,E,EF,E,，,平面,EFA,1,平面,BCHG,.,引申探究,1.,在本例条件下，若,D,为,BC,1,的中点，求证：,HD,平面,A,1,B,1,BA,.,证明,如图所示，连结,HD,，,A,1,B,，,D,为,BC,1,的中点，,H,为,A,1,C,1,的中点，,HD,A,1,B,，,又,HD,平面,A,1,B,1,BA,，,A,1,B,平面,A,1,B,1,BA,，,HD,平面,A,1,B,1,BA,.,2.,在本例条件下，若,D,1,，,D,分别为,B,1,C,1,，,BC,的中点，求证：平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,证明,如图所示，连结,A,1,C,交,AC,1,于点,M,，,四边形,A,1,ACC,1,是平行四边形，,M,是,A,1,C,的中点，连结,MD,，,D,为,BC,的中点，,A,1,B,DM,.,A,1,B,平面,A,1,BD,1,，,DM,平面,A,1,BD,1,，,DM,平面,A,1,BD,1,.,又由三棱柱的性质知，,D,1,C,1,綊,BD,，,四边形,BDC,1,D,1,为平行四边形，,DC,1,BD,1,.,又,DC,1,平面,A,1,BD,1,，,BD,1,平面,A,1,BD,1,，,DC,1,平面,A,1,BD,1,，,又,DC,1,DM,D,，,DC,1,，,DM,平面,AC,1,D,，,平面,A,1,BD,1,平面,AC,1,D,.,证明面面平行的方法,(1),面面平行的定义；,(2),面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；,(3),利用垂直于同一条直线的两个平面平行；,(4),两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；,(5),利用,“,线线平行,”,、,“,线面平行,”,、,“,面面平行,”,的相互转化,.,思维升华,跟踪训练,2,如图所示，四边形,ABCD,与四边形,ADEF,都为平行四边形，,M,，,N,，,G,分别是,AB,，,AD,，,EF,的中点,.,求证：,(1),BE,平面,DMF,；,证明,如图所示，连结,AE,，设,DF,与,GN,交于点,O,，,连结,AE,，则,AE,必过,O,点，,连结,MO,，则,MO,为,ABE,的中位线，,所以,BE,MO,.,因为,BE,平面,DMF,，,MO,平面,DMF,，所以,BE,平面,DMF,.,(2),平面,BDE,平面,MNG,.,证明,因为,N,，,G,分别为平行四边形,ADEF,的边,AD,，,EF,的中点，所以,DE,GN,.,因为,DE,平面,MNG,，,GN,平面,MNG,，,所以,DE,平面,MNG,.,因为,M,为,AB,的中点，,所以,MN,为,ABD,的中位线，所以,BD,MN,.,因为,BD,平面,MNG,，,MN,平面,MNG,，,所以,BD,平面,MNG,.,因为,DE,与,BD,为平面,BDE,内的两条相交直线，,所以平面,BDE,平面,MNG,.,题型三平行关系的综合应用,例,4,(2016,盐城模拟,),如图所示，在三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,D,是棱,CC,1,的中点，问在棱,AB,上是否存在一点,E,，使,DE,平面,AB,1,C,1,？若存在，请确定点,E,的位置；若不存在，请说明理由,.,解答,几何画板展示,方法一存在点,E,，且,E,为,AB,的中点时，,DE,平面,AB,1,C,1,.,下面给出证明：,如图，取,BB,1,的中点,F,，连结,DF,，,则,DF,B,1,C,1,，,AB,的中点为,E,，连结,EF,，,ED,，,则,EF,AB,1,，,B,1,C,1,AB,1,B,1,，,平面,DEF,平面,AB,1,C,1,.,而,DE,平面,DEF,，,DE,平面,AB,1,C,1,.,方法二假设在棱,AB,上存在点,E,，使得,DE,平面,AB,1,C,1,，,如图，取,BB,1,的中点,F,，连结,DF,，,EF,，,ED,，则,DF,B,1,C,1,，,又,DF,平面,AB,1,C,1,，,B,1,C,1,平面,AB,1,C,1,，,DF,平面,AB,1,C,1,，,又,DE,平面,AB,1,C,1,，,DE,DF,D,，,平面,DEF,平面,AB,1,C,1,，,EF,平面,DEF,，,EF,平面,AB,1,C,1,，,又,EF,平面,ABB,1,，平面,ABB,1,平面,AB,1,C,1,AB,1,，,EF,AB,1,，,点,F,是,BB,1,的中点，,点,E,是,AB,的中点,.,即当点,E,是,AB,的中点时，,DE,平面,AB,1,C,1,.,利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决,.,思维升华,跟踪训练,3,(2016,南京模拟,),如图所示，在四面体,ABCD,中，截面,EFGH,平行于对棱,AB,和,CD,，试问截面在什么位置时其截面面积最大？,解答,几何画板展示,AB,平面,EFGH,，,平面,EFGH,与平面,ABC,和平面,ABD,分别交于,FG,，,EH,.,AB,FG,，,AB,EH,，,FG,EH,，同理可证,EF,GH,，,截面,EFGH,是平行四边形,.,设,AB,a,，,CD,b,，,FGH,(,即为异面直线,AB,和,CD,所成的角或其补角,).,又设,FG,x,，,GH,y,，则由平面几何知识可得,，,两式相加得,1,，即,y,(,a,x,),，,S,EFGH,FG,GH,sin,x,(,a,x,)sin,x,(,a,x,).,x,0,，,a,x,0,且,x,(,a,x,),a,为定值，,当且仅当,x,a,x,时等号成立,.,此时,x,，,y,.,即当截面,EFGH,的顶点,E,、,F,、,G,、,H,分别为棱,AD,、,AC,、,BC,、,BD,的中点时截面面积最大,.,典例,(14,分,),如图，在四棱锥,S,ABCD,中，已知底面,ABCD,为直角梯形，其中,AD,BC,，,BAD,90,，,SA,底面,ABCD,，,SA,AB,BC,2,，,tan,SDA,.,(1),求四棱锥,S,ABCD,的体积；,(2),在棱,SD,上找一点,E,，使,CE,平面,SAB,，并证明,.,立体几何中的探索性问题,答题模板系列,5,规范解答,答题模板,解,(1),SA,底面,ABCD,，,tan,SDA,，,SA,2,，,AD,3.,2,分,由题意知四棱锥,S,ABCD,的底面为直角梯形，,且,SA,AB,BC,2,，,V,S,ABCD,SA,(,BC,AD,),AB,2,(2,3),2,.,6,分,(2),当点,E,位于棱,SD,上靠近,D,的三等分点处时，,可使,CE,平面,SAB,.,8,分,证明如下：,取,SD,上靠近,D,的三等分点为,E,，,取,SA,上靠近,A,的三等分点为,F,，连结,CE,，,EF,，,BF,，,则,EF,綊,AD,，,BC,綊,AD,，,BC,綊,EF,，,CE,BF,.,12,分,又,BF,平面,SAB,，,CE,平面,SAB,，,CE,平面,SAB,.,14,分,返回,解决立体几何中的探索性问题的步骤,第一步：写出探求的最后结论；,第二步：证明探求结论的正确性；,第三步：给出明确答案；,第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范,.,返回,课时作业,1.(2016,南通模拟,),有下列命题：,若直线,l,平行于平面,内的无数条直线，则直线,l,；,若直线,a,在平面,外，则,a,；,若直线,a,b,，,b,，则,a,；,若直线,a,b,，,b,，则,a,平行于平面,内的无数条直线,.,其中真命题的个数是,_.,答案,解析,1,命题,，,l,可以在平面,内，不正确；,命题,，直线,a,与平面,可以是相交关系，不正确；,命题,，,a,可以在平面,内，不正确；,命题,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2016,苏北四校联考,),如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形,ABCD,是正方形，,E,，,F,分别为,PA,，,PD,的中点,.,在此几何体中，给出下列四个结论：,直线,BE,与直线,CF,是异面直线；,直线,BE,与直线,AF,是异面直线；,直线,EF,平面,PBC,；,平面,BCE,平面,PAD,.,其中正确结论的序号为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,因为,EF,綊,AD,，,AD,綊,BC,，所以,EF,綊,BC,，,所以,E,，,B,，,C,，,F,四点共面，所以,BE,与,CF,共面，所以,错误；,因为,AF,平面,PAD,，,E,平面,PAD,，,E,直线,AF,，,B,平面,PAD,，,所以,BE,与,AF,是异面直线，所以,正确；,因为,EF,BC,，,EF,平面,PBC,，,BC,平面,PBC,，,所以,EF,平面,PBC,，所以,正确；,由于不能推出线面垂直，,故平面,BCE,平面,PAD,不成立，所以,错误,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.,对于空间中的两条直线,m,，,n,和一个平面,，下列命题中的真命题是,_.,若,m,，,n,，则,m,n,；,若,m,，,n,，则,m,n,；,若,m,，,n,，则,m,n,；,若,m,，,n,，则,m,n,.,答案,解析,对,，直线,m,，,n,可能平行、异面或相交，故,错误；,对,，直线,m,与,n,可能平行，也可能异面，故,错误；,对,，,m,与,n,垂直而非平行，故,错误；,对,，垂直于同一平面的两直线平行，故,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.(2016,南京、徐州、连云港联考,),设,m,，,n,是两条不同的直线，,，,是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是,_.,若,m,n,，,m,，则,n,；,若,m,n,，,m,，则,n,；,若,m,，,m,，则,；,若,n,，,n,，则,.,答案,解析,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这一平面，,正确；,若,m,n,，,m,，则,n,或,n,，,不正确；,若,m,，,m,，则,，,可能平行也可能相交，,不正确；,若,n,，,n,，则,，,不正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.,如图，,L,，,M,，,N,分别为正方体对应棱的中点，则平面,LMN,与平面,PQR,的位置关系是,_.,答案,解析,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，分别取另三条棱的中点,A,，,B,，,C,，,将平面,LMN,延展为平面正六边形,AMBNCL,，,因为,PQ,AL,，,PR,AM,，,且,PQ,与,PR,相交，,AL,与,AM,相交，,所以平面,PQR,平面,AMBNCL,，,即平面,LMN,平面,PQR,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.(2016,全国甲卷,),，,是两个平面，,m,，,n,是两条直线，有下列四个命题：,如果,m,n,，,m,，,n,，那么,；,如果,m,，,n,，那么,m,n,；,如果,，,m,，那么,m,；,如果,m,n,，,，那么,m,与,所成的角和,n,与,所成的角相等,.,其中正确的命题有,_.,答案,解析,当,m,n,，,m,，,n,时，两个平面的位置关系不确定，故,错误，,经判断知,均正确，,故正确答案为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.,设,，,，,是三个不同的平面，,m,，,n,是两条不同的直线，在命题,“,m,，,n,，且,_,，则,m,n,”,中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题,.,，,n,；,m,，,n,；,n,，,m,.,可以填入的条件有,_.,答案,解析,或,由面面平行的性质定理可知，,正确；,当,n,，,m,时，,n,和,m,在同一平面内，,且没有公共点，所以平行，,正确,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.,在正四棱柱,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,O,是底面,ABCD,的中心，,P,是,DD,1,的中点，设,Q,是,CC,1,上的点，则点,Q,满足条件,_,时，有平面,D,1,BQ,平面,PAO,.,答案,解析,Q,为,CC,1,的中点,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,假设,Q,为,CC,1,的中点,.,因为,P,为,DD,1,的中点，,所以,QB,PA,.,连结,DB,，因为,O,是底面,ABCD,的中心，,所以,D,1,B,PO,，,又,D,1,B,平面,PAO,，,QB,平面,PAO,，且,PA,PO,于,P,，,所以,D,1,B,平面,PAO,，,QB,平面,PAO,，,又,D,1,B,QB,于,B,，所以平面,D,1,BQ,平面,PAO,.,故点,Q,满足条件，,Q,为,CC,1,的中点时，有平面,D,1,BQ,平面,PAO,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.,将一个真命题中的,“,平面,”,换成,“,直线,”,、,“,直线,”,换成,“,平面,”,后仍是真命题，则该命题称为,“,可换命题,”,.,给出下列四个命题：,垂直于同一平面的两直线平行；,垂直于同一平面的两平面平行；,平行于同一直线的两直线平行；,平行于同一平面的两直线平行,.,其中是,“,可换命题,”,的是,_.(,填命题的序号,),答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由线面垂直的性质定理可知,是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故,是,“,可换命题,”,；,因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以,是假命题，不是,“,可换命题,”,；,由公理,4,可知,是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故,是,“,可换命题,”,；,因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故,是假命题，故,不是,“,可换命题,”,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.,空间四边形,ABCD,的两条对棱,AC,、,BD,的长分别为,5,和,4,，则平行于两条对棱的截面四边形,EFGH,在平移过程中，周长的取值范围是,_.,答案,解析,(8,10),GH,5,k,，,EH,4(1,k,),，,周长,8,2,k,.,又,0,k,1,，,周长的取值范围为,(8,10).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.,在三棱锥,S,ABC,中，,ABC,是边长为,6,的正三角形，,SA,SB,SC,15,，平面,DEFH,分别与,AB,，,BC,，,SC,，,SA,交于点,D,，,E,，,F,，,H,.,D,，,E,分别是,AB,，,BC,的中点，如果直线,SB,平面,DEFH,，那么四边形,DEFH,的面积为,_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，取,AC,的中点,G,，,连结,SG,，,BG,.,易知,SG,AC,，,BG,AC,，,SG,BG,G,，,故,AC,平面,SGB,，,所以,AC,SB,.,因为,SB,平面,DEFH,，,SB,平面,SAB,，,平面,SAB,平面,DEFH,HD,，,则,SB,HD,.,同理,SB,FE,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,又,D,，,E,分别为,AB,，,BC,的中点，,则,H,，,F,也为,AS,，,SC,的中点，,从而得,HF,綊,AC,綊,DE,，,所以四边形,DEFH,为平行四边形,.,又,AC,SB,，,SB,HD,，,DE,AC,，,所以,DE,HD,，,所以四边形,DEFH,为矩形，,其面积,S,HF,HD,(,AC,)(,SB,),.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.,如图，,E,、,F,、,G,、,H,分别是正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,的棱,BC,、,CC,1,、,C,1,D,1,、,AA,1,的中点,.,求证：,(1),EG,平面,BB,1,D,1,D,；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,取,B,1,D,1,的中点,O,，连结,GO,，,OB,，,OG,綊,B,1,C,1,，,BE,綊,BC,，,OG,綊,BE,，,四边形,BEGO,为平行四边形，故,OB,EG,，,又,EG,平面,BB,1,D,1,D,，,OB,平面,BB,1,D,1,D,，,EG,平面,BB,1,D,1,D,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2),平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由题意可知,BD,B,1,D,1,.,如图，连结,HB,、,D,1,F,，,易证四边形,HBFD,1,是平行四边形，,故,HD,1,BF,.,又,B,1,D,1,HD,1,D,1,，,BD,BF,B,，,所以平面,BDF,平面,B,1,D,1,H,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.,如图，四棱锥,P,ABCD,中，,PD,平面,ABCD,，底面,ABCD,为正方形，,BC,PD,2,，,E,为,PC,的中点，,CB,3,CG,.,(1),求证：,PC,BC,；,证明,因为,PD,平面,ABCD,，,BC,平面,ABCD,，所以,PD,BC,.,因为四边形,ABCD,是正方形，所以,BC,CD,.,又,PD,CD,D,，所以,BC,平面,PCD,.,因为,PC,平面,PDC,，所以,PC,BC,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2),AD,边上是否存在一点,M,，使得,PA,平面,MEG,？若存在，求,AM,的长；若不存在，请说明理由,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,连结,AC,，,BD,交于点,O,，连结,EO,，,GO,，,延长,GO,交,AD,于点,M,，连结,EM,，,则,PA,平面,MEG,.,证明如下：因为,E,为,PC,的中点，,O,是,AC,的中点，,所以,EO,PA,.,因为,EO,平面,MEG,，,PA,平面,MEG,，,所以,PA,平面,MEG,.,因为,OCG,OAM,，所以,AM,CG,，,所以,AM,的长为,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*14.(2016,南通模拟,),如图所示，斜三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，点,D,，,D,1,分别为,AC,，,A,1,C,1,上的点,.,(1),当,等于何值时，,BC,1,平面,AB,1,D,1?,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图所示，取,D,1,为线段,A,1,C,1,的中点，此时,1.,连结,A,1,B,，交,AB,1,于点,O,，连结,OD,1,.,由棱柱的性质知，四边形,A,1,ABB,1,为平行四边形，,点,O,为,A,1,B,的中点,.,在,A,1,BC,1,中，点,O,，,D,1,分别为,A,1,B,，,A,1,C,1,的中点，,OD,1,BC,1,.,又,OD,1,平面,AB,1,D,1,，,BC,1,平面,AB,1,D,1,，,BC,1,平面,AB,1,D,1,.,当,1,时，,BC,1,平面,AB,1,D,1,.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,(2),若平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,，求,的值,.,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由平面,BC,1,D,平面,AB,1,D,1,，,且平面,A,1,BC,1,平面,BC,1,D,BC,1,，,平面,A,1,BC,1,平面,AB,1,D,1,D,1,O,，,得,BC,1,D,1,O,，同理,AD,1,DC,1,，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,